Fondamenti di automatica

Introduzione 25-02-25

Un segnale è tutto ciò che porta con sé delle informazioni. I segnali possono essere di natura diversa (meccanica, come le onde sonore, o elettromagnetiche, come le onde radio).

In base al loro comportamento, i segnali si dividono in due categorie:

• Deterministici: è possibile prevedere il suo valore in qualunque istante a piacere;
• Aleatori: non è possibile prevedere il suo valore in qualunque istante a piacere.

I segnali possono essere rappresentati attraverso funzioni analitiche. Noi ci concentreremo su segnali del tipo e cioè descritti in funzione del tempo. I segnali fisici sono del tipo (), () ∈ ℝ, ma ci imbatteremo anche in segnali ideali del tipo () ∈ ℂ.

In base alla continuità o discretezza della loro funzione analitica, i segnali si dividono nelle seguenti categorie:

• Tempo continuo, ampiezza continua: Segnale analogico;
• Tempo discreto, ampiezza continua: Sequenza;
• Tempo continuo, ampiezza discreta: Segnale quantizzato;
• Tempo discreto, ampiezza discreta: Segnale binario.

In base al loro comportamento nel tempo, i segnali si dividono in due categorie:

• Periodici: si ripetono nel tempo;
• Aperiodici: non si ripetono nel tempo.

Comunicare significa trasmettere un’informazione. La comunicazione digitale avviene in questo modo:

Si ha una fonte di informazioni, che produce un segnale binario, detto message signal, contenente una certa informazione.

Il message signal viene inviato al sistema di comunicazione digitale, che è costituito da 3 elementi:

• Un trasmettitore, che partendo dal message signal produce un segnale analogico (es. un’onda elettromagnetica) e lo trasmette. Questo è costituito da 3 elementi:
  • Un source encoder, che comprime il message signal in modo da ridurre la quantità di dati da trasmettere, producendo in uscita un segnale binario chiamato source codeword;
  • Un channel encoder, che codifica il source codeword in modo da garantire l’integrità dei dati quando questi verranno trasmessi, producendo in uscita un segnale binario chiamato channel codeword;
  • Un modulatore, che sulla base del channel codeword produce un segnale analogico, o lo modula ad una certa frequenza e lo trasmette.
• Il canale su cui il segnale analogico viene trasmesso;
• Un ricevitore, che riceve il segnale analogico trasmesso sul canale e genera una stima del message signal. È costituito da elementi che svolgono le operazioni opposte a quelle svolte dagli elementi di cui è composto il trasmettitore.

Il segnale generato dal ricevitore viene infine mandato all’usufruitore dell’informazione.

La fonte di informazioni può produrre il message signal a partire da un segnale analogico. Per passare dal segnale ricevuto dalla fonte di informazioni, analogico, al message signal, binario, devono avvenire dunque diversi passaggi.

Supponiamo di avere un microfono che riceve un segnale acustico. Per convertirlo in segnale binario, succede questo:

• Il microfono percepisce un segnale acustico ();
• Il trasduttore del microfono trasforma in una tensione () ();
• L’amplificatore del microfono amplifica dando in uscita la tensione (), ();
• Il convertitore analogico-digitale del microfono converte in un segnale binario. ()

Questo convertitore è costituito da due componenti:

• Un campionatore, che campiona con un intervallo di campionamento o (), Commentato [SC1]: Ogni quanto tempo viene campionato il segnale, dando così in uscita la sequenza [];
• Un quantizzatore che, scelto un numero di bit, divide il codominio di o Commentato [SC2]: [] NB: con indicherò [] ( = ), in livelli, ciascuno con associato un certo valore dei bit, e a seconda ℬ. = 2 Se quindi ho e devo ricavarmi l’espressione () del livello in cui si trova ogni campione gli associa il valore dei bit corrispondente, di basta sostituire [], = ., dando così in uscita un segnale binario.

Si vedrà in futuro che, scegliendo un sufficientemente piccolo, il campionatore non porta ad alcuna perdita di informazioni.

Il quantizzatore, invece, dividendo il codominio della sequenza ricevuta in ingresso in livelli, porterà necessariamente a una perdita di informazioni. Inoltre, affinché non si abbia perdita di informazione, è necessario che, nello stesso intervallo di tempo in cui riceve un nuovo campione, il quantizzatore faccia uscire tutti gli bit associati a tale campione.

I campioni arrivano in ingresso al quantizzatore ogni e indicando con ogni quanto tempo, il quantizzatore manda in uscita un bit, è necessario dunque che:

= · 1

Oppure, in maniera equivalente, indicando con la velocità con cui i campioni = [] 1 arrivano al quantizzatore e con la velocità con cui i bit escono dal quantizzatore, = [] è necessario che:

= · Commentato [SC3]: Regola pratica per le temporizzazioni: la velocità in uscita è sempre uguale alla velocità in ingresso moltiplicata per il rapporto tra il numero di cose in uscita e il numero di cose in ingresso.

Il canale è una risorsa condivisa, per cui va gestito attraverso un protocollo di accesso multiplo. Alcuni protocolli di accesso multiplo sono i seguenti:

• TDMA: a divisione di tempo;
• FDMA: a divisione di frequenza;
• CDMA: a divisione di codice.

Ripasso analisi 1

Numeri complessi

Possiamo esprimere un numero complesso in due modi:

• Attraverso la sua rappresentazione cartesiana: = + Dove: è la parte reale; o ∈ ℝ è la parte immaginaria. o ∈ ℝ;
• Attraverso la sua rappresentazione polare: = = · (cos() + sen()) Dove: (o è il modulo; o ||) (o è la fase. o ∠()).

Come si può osservare dal disegno:

• È possibile passare dalla rappresentazione cartesiana alla rappresentazione polare in questo modo: arctan > 0 ( ) arctan + < 0 ( ) 2 2 = + = √ = 0 > 0 2 − = 0 < 0 { 2;
• È possibile passare dalla rappresentazione polare alla rappresentazione cartesiana in questo modo: = · cos() = · sen().

Vediamo alcune operazioni con i numeri complessi:

• Somma algebrica ± In forma cartesiana (più comodo): o ± = ( + ) ± ( + ) 1 2 1 1 2 2 ± = ( ± ) ± ( + ) 1 2 1 2 1 2. In forma polare: o ± = ± 1 2 1 2 1 2;
• Complesso coniugato ∗. In forma cartesiana: o ∗ = −. In forma polare: o ∗ − =;
• Moltiplicazione ·. In forma cartesiana: o · = ( + ) · ( + ) 1 2 1 1 2 2 · = − + ( − ) 1 2 1 2 1 2 1 2. In forma polare (più comodo): o · = · 1 2 1 2 1 2 ( + ) Commentato [SC4]: · = NB: da questo si ricava che: 1 2 1 2 1 2 - Il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli; Valgono le seguenti relazioni: - La fase del prodotto è la somma delle fasi. ∗ 2 o · =;
• Divisione. In forma cartesiana: o 1 Moltiplico e divido per ∗ = 22 ∗ · 1 1 2 ∗ 2 · = | | = 2 2 2 ∗ · 2 2 2 ∗ · 1 1 2 = 2 | | 2 2. In forma polare (più comodo): o 11 1 = 22 2 ( − ) 1 1 Commentato [SC5]: = NB: da questo si ricava che: 1 2 2 2 - Il modulo del quoziente è il quoziente dei moduli; () - Derivata e integrale ()∫ - La fase del quoziente è la differenza delle fasi.

Data una funzione complessa () = () + ():

() () () o = + o () = () + () Commentato [SC6]: NB: da questo si può osservare che: ∫ ∫ ∫ - Il coniugato di una derivata è la derivata del coniugato; - Il coniugato di un integrale è l’integrale del coniugato.

Formule trigonometriche

• Identità fondamentale della trigonometria 2 2 sen + cos = 1 () ();
• Formule di addizione o sen( ± ) = sen()cos() ± cos()sen() o cos( ± ) = cos()cos() ∓ sen()sen();
• Formule di Werner 1 o sen()sen() = (cos( − ) − cos( + )) 2 1 o cos()cos() = (cos( − ) + cos( + )) 2;
• Formule di duplicazione o sen(2) = 2sen()cos() 2 2 o cos(2) = cos − sen() ().

Da cui si ricava:

1−cos(2) 2 o sen = () 2 1+cos(2) 2 o cos = () 2

• Formule di Eulero − − o sen() = 2 − + o cos() = 2;
• Archi associati o cos ( + = −sen(), sen ( + = cos()) ) 2 2 o cos( + ) = −cos(), sen( + ) = −sen() 3 3 Commentato [SC7]: NB: per ricordare, la funzione o cos ( + = sen(), sen ( + = −cos()) ) 2 2 trigonometrica corrispondente avrà come argomento solo o cos(−) = cos(), sen(−) = −sen() .

Integrali

A questo punto, guardando l’argomento della funzione trigonometrica di partenza:

• Immaginando che sia un angolo +1- 3 = del primo quadrante, se sommandogli , o l’angolo ∫ +1 2 2 risultante sarebbe tale per cui la funzione 1 - = ∫ trigonometrica di partenza avrebbe valore negativo, - Allora alla funzione trigonometrica corrispondente cos() = sen() ∫ andrà premesso il −; - sen() = −cos() ∫ 32;
• Se viene sommato o , allora la funzione 2 2.

Partendo da questi, e sfruttando le formule trigonometriche, possiamo calcolare tutti gli altri integrali trigonometrica corrispondente sarà del tipo “duale” di quella di partenza (e cioè, se quella di partenza è un coseno, la corrispondente sarà un seno, e viceversa). Altrimenti, sarà dello stesso tipo di quella di partenza.

Es.

1+cos(2) 1 cos(2) 1 12 cos = = + = + sen(2) ()∫ ∫ ∫ ∫ Commentato [SC8]: NB: può contenere anche . 2 2 2 2 2 1+cos(2) 2 cos = () 2

Grandezze relative ai segnali analogici

Dato un segnale analogico vediamo le grandezze tipiche con cui avremo a che fare. (),

Energia

L’energia del segnale è definita come:

() +∞ Commentato [SC9]: NB: se allora 2() ∈ ℝ, = |()|2 = |()|∫ 2 ()−∞

I segnali fisici sono caratterizzati da < +∞.

Potenza media

Definiamo il segnale troncato del segnale come:

()() {() − ≤ ≤ =() 2 2 0

Definiamo inoltre la potenza media del segnale troncato come:

() =

A questo punto, la potenza media del segnale è definita come:

() +∞ + 1 1 2 2 2 = lim = lim = lim = lim | |()|()|∫ ∫ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ −−∞ 2 per e . = 0 < >() 2 2

L’integrale dunque è diverso da 0 solo per , dove − ≤ ≤ = ()() 2 2 +1 2 2 ==> = lim |()|∫ →+∞ −2

I segnali fisici, avendo sono caratterizzati da < +∞, = 0.

Segnali analogici notevoli 04-03-25

Vediamo alcuni segnali analogici con cui avremo spesso a che fare.

Segnale costante

Il segnale costante è caratterizzato dalla seguente funzione analitica:

() =

Calcoliamo l’energia e la potenza media :

+∞ +∞ 2 2 = = = +∞;; |()|∫ ∫ −∞ −∞

Dunque 2 2 ∈ ℝ, = || 2+ +1 1 2 22 2 2 = lim = lim = lim = ; |()|∫ ∫ →+∞ →+∞ →+∞ − −2 2

Dunque 2 2 ∈ ℝ, = ||

Segnale cosinusoidale

Il segnale cosinusoidale è caratterizzato dalla seguente funzione analitica:

() = cos(2 + ) 0

Dove:

• È detta ampiezza; Commentato [SC10]: NB: data una funzione la (),
• È detta frequenza delle oscillazioni; funzione 0;
• È detta fase. Sarà centrata () = (± ± (±)), 0 nell’ per cui e quindi nell’ tale che () = (0), ± ±1.

Il grafico è una cosinusoide che oscilla tra e con periodo , centrata in : −, = − = − = 0. 0 0 0 20 0

In questo caso, data () = cos(2 ), 0 possiamo vedere () = cos(2 + ) 0 come traslata nel tempo, e quindi () come che sarà centrata nel () = ( + ), 0 tale che . + = 0 ==> = −0 0

Per calcolare , calcoliamo ( + ): 0 0 = ( + cos(2 ( + ))) 0 0 0 = cos(2 + 2 ) 0 0 0

E sostituendo le rispettive espressioni:

() = ( + ), 0 cos(2 + ) = cos(2 + 2 ) 0 0 0 0

Affinché i due membri siano uguali, , = 2 0 0 da cui si ricava = 0 20

Calcoliamo l’energia e la potenza media . Per semplicità, calcoliamole per = 0 (ma si può verificare che il risultato vale anche per ≠ 0):

+∞ 2 dunque 2 2 2 = |()| cos(2 ) ∈ ℝ, )| = cos )(2∫ |cos(20 0 0 −∞

+∞ 2 2 = cos ) (2∫ 0−∞

+∞ 1+cos(2·2 ) 2 2 2 0 cos ) = = cos ) (2(2∫ 0 0 2−∞

+∞ 1 + cos(2 · 2 ) 02 = ∫ 2−∞

+∞ 2 = 1 + cos(2 · 2 ) ∫ 02 −∞

+∞ +∞ 2 2 = 1 + cos(2 · 2 ) ∫ ∫ 02 2−∞ −∞

2 sen(2 · 2 sen(2 · 2(+∞)) (−∞))0 0 = +∞ + − = +∞ ( ) 2 2 · 2 2 · 20 01

Oscilla tra (per entrambi i seni uguali a − −1) 201 e (per entrambi i seni uguali a 1) 20

+1 2 2 = lim dunque 2 2 2 |()|∫ cos(2 ) ∈ ℝ, )| = cos )(2|cos(2 0 0 0→+∞ −2

+1 2 2 2 = lim cos ) (2∫ 0→+∞