Fluidodinamiche e macchine

MACCHINE

LEZIONE 1: Aerodinamica dei corpi

Un aspetto che per noi è importante concettualmente da capire è che questo

studio dei fluidi a noi interessa in quanto vogliamo studiare dei campi di moto

che sono disuniformi ovviamente. Questa disuniformità poi vi ricordate noi

individuando le tipologie di flusso che possiamo avere, avevamo diviso queste

tipologie in una prima suddivisione tra flussi esterni e flussi interni. I flussi

esterni sono quelli attorno alle ali di un corpo e i flussi interni sono quelli dentro

dei condotti, dei canali e così via. Quindi l'essenza alla fine per noi di questa

disuniformità del fluido è il fatto, e qui arriviamo alle macchine, è il fatto che

questo fluido nel caso delle turbomacchine si muove all'interno di una

macchina, nel caso delle ali, l'ala è investita da un fluido e quindi l'aspetto

importante è l'interazione che noi abbiamo tra la macchina e il fluido. Quindi

l'interazione che noi abbiamo tra la macchina e il fluido la si realizza attraverso

lo strato limite, ovvero il fluido che è in contatto con il pezzo di ferro della

nostra macchina vedrà la formazione di uno strato limite.

SLIDE 3 Abbiamo visto che questo strato limite, e avete qui una

rappresentazione schematica tipica della lastra piana, questo strato limite è

composto da una zona con un forte gradiente di velocità all'interno della quale

non è possibile trascurare gli effetti viscosi e quindi le nostre equazioni di

Navier-Stokes non si può applicare.

La parte è elevata agli sforzi di taglio, perché questi sforzi di taglio hanno

un'entità che è paragonabile con le forze di inerzia e con la pressione; quindi,

non possono essere trascurati se noi vogliamo arrivare a delle previsioni che

siano realistiche. È in genere uno strato piuttosto sottile, è funzione del numero

di Reynolds e in particolare aumentando il numero di Reynolds lo spessore del

nostro strato limite si assottiglia, il numero di Reynolds noi siamo abituati a

vederlo come un rapporto fra le forze di inerzia, parte non viscosa e euleriana,

e le forze viscose, cioè quelle legate a ciò che accade in maniera intensa in

questo strato limite, quindi aumentando il numero di Reynolds per così dire la

parte di inerzia diventa sempre più pesante rispetto alla parte viscosa, il nostro

strato limite si assottiglia e il flusso diciamo si avvicina sempre di più a un

comportamento nel quale diciamo, se non trascurabile, è limitato l'effetto dello

strato limite, viceversa se ci spostiamo verso Reynolds bassi ci sarà una forte

prevalenza o importanza anche nello spazio in termini di quantità del nostro

campo di moto che sono interessate da effetti importanti della viscosità.

Gli effetti legati alla viscosità sono quelli legati alla formazione dello strato

limite, quindi allo sforzo di taglio a parete, di conseguenza attriti e perdita di

quantità di moto.

Quando noi attraversiamo la nostra macchina, avevamo fatto anche l'esempio

estremo nel quale il numero di Reynolds è così alto che lo spessore dello strato

limite comincia ad avere una dimensione caratteristica che assomiglia a quella

dell'agitazione molecolare. Nel caso del volo ipersonico, cioè quando si rientra

in atmosfera, il gas è molto rarefatto e si va a diverse decine di migliaia di

chilometri all'ora. Allora, in quel caso si può mettere in discussione il modello

continuo, quindi prescindere dal fatto che il nostro fluido è composto di

molecole.

SLIDE 4 Li possiamo classificare principalmente in due categorie: flussi laminari

e flussi turbolenti. I flussi laminari sono quelli che, diciamo, in un flusso

laminare stazionario ha una distribuzione velocità è costante. Mentre nella

maggior parte se avessi un sensore che vi dà un valore istantaneo della mia

velocità, e si fa un grafico nel tempo di come evolve la velocità, troverei, nel

caso del flusso turbolento, un valore medio che è costante, che è la u media,

quella segnata con la barretta sopra, più una componente fluttuante, quella

appunto delle fluttuazioni attorno al valore medio. Questo è causato dal fatto

che si formano delle fluttuazioni. Queste fluttuazioni sono spesso legate alla

formazione di vorticini: per così dire, si può immaginare facilmente un vorticino

che si muove nello spazio; questo vorticino, siccome è una circolazione della

mia velocità, quando passa prima provoca un aumento della velocità e poi una

diminuzione, o viceversa a seconda della sua posizione. Allo stesso modo,

quando si caratterizza la turbolenza, essa va definita in termini di intensità, che

ha a che fare con le variazioni di velocità, e di lunghezza scala, che riguarda la

dimensione tipica che possono avere questi vorticini.

Per quanto riguarda le macchine in generale i flussi laminari sono flussi che

nascono e si evolvono solo fino a un certo numero di Reynolds. Cioè, se il

numero di Reynolds è basso, il flusso può rimanere laminare; se il numero di

Reynolds aumenta, il flusso generalmente passa da laminare a turbolento.

Prima considerazione: qual è il valore di Reynolds a partire dal quale avviene

questo passaggio? Non c'è un valore universale di Reynolds a partire dal quale

possiamo dire in generale quando il flusso è laminare e quando è turbolento.

Dipende ovviamente dalle applicazioni che consideriamo. Se uno va a guardare

la letteratura caratteristica, sul diagramma di Moody si parla di qualche

migliaio. Se uno va a guardare una macchina, come la lettura di una turbina a

gas, sappiamo che il numero di Reynolds tipico è da 100.000 in giù.

Tipicamente, l'andamento nel quale si sviluppa il passaggio da laminare a

turbolento, a range che vanno da 50, 80, 100 mila fino a 200 mila; dopodiché, il

flusso tende, sopra i 200 mila, a diventare ragionevolmente turbolento. Quindi,

se uno volesse tirare fuori un numero per le macchine, diciamo ordini di

grandezza, sotto il mezzo milione dobbiamo porci il tema di avere una certa

parte di macchina che funziona in regime laminare. Se invece siamo sopra il

mezzo milione, possiamo tener conto che la stragrande maggioranza della

parte della nostra macchina funzionerà in regime turbolento. Ripeto: dipende

dalle applicazioni che facciamo, anche perché, a seconda delle applicazioni, si

scelgono delle grandezze diverse per definire il numero di Reynolds. Non ci

sono dubbi, per esempio, sulla velocità; dubbi possono nascere sulle

dimensioni. Cosa usiamo come dimensione? Se studiamo un meato, come

dimensione in generale si prende in considerazione l'altezza del nostro meato.

Se invece si studia una turbomacchina, in genere, come numero di Reynolds si

prende a riferimento la corda della palettatura. Sono grandezze

completamente diverse, quindi anche questo va tenuto presente. Quando si

dice 1200-1300 sui tubi, si riferisce al diametro del tubo; quando si dice mezzo

milione su una turbina a gas, si riferisce alla corda della palettatura. Già una

forte differenza tra questi numeri nasce in base alla grandezza che si individua

per definire il nostro numero di Reynolds. Senz'altro tutta la parte legata alla

lubrificazione, siccome ha velocità non alte e meati molto piccoli, la potremo

ragionevolmente affrontare con il modello del flusso laminare. Il modello del

flusso laminare, che peraltro è l'unico caso nel quale possiamo effettivamente

studiare in maniera rigorosa e quindi arrivare in fondo alla soluzione delle

nostre equazioni, perché nel caso del flusso turbolento dobbiamo ricorrere a dei

modelli di turbolenza che ci consentano di modellizzare ciò che avviene dove il

campo di moto è turbolento.

Nel grafico di sotto è riportato un andamento di come si evolve lo strato limite;

in questo caso, il caso tradizionale della lastra piana, dove volutamente è stata

evidenziata una prima zona laminare che potrà essere più o meno estesa, a

seconda del numero di Reynolds. Dopo una certa distanza, il nostro flusso farà

la sua transizione dal laminare a turbolento. Questa transizione dal laminare a

turbolento non è riportata come una transizione concentrata e localizzata, ma è

lasciata, se volete, in bianco su una certa distanza. Questa distanza è appunto

la zona nella quale si evolve il nostro processo di transizione.

Abbiamo rappresentato concettualmente questo processo attraverso

l'intermittenza.

L'intermittenza, come definita, indica qual è la frazione di tempo in un secondo

di osservazione in cui si osserva un comportamento turbolento. Quindi, se

l'intermittenza è 0, vuol dire che il flusso è sempre laminare; se l'intermittenza

è 1, vuol dire che è sempre turbolento; se è 0,5, vuol dire che in quel secondo

osservo per mezzo secondo il flusso laminare e per mezzo secondo il flusso

turbolento. Questo aiuta concettualmente a spiegare tutte quelle situazioni,

molto frequenti specialmente quando i numeri di Reynolds sono abbastanza

bassi, nei quali il processo di passaggio da flusso laminare a flusso turbolento si

può svolgere su una porzione anche molto ampia della palettatura.

Quali sono delle macchine che possono sentire questo passaggio laminare-

turbolento come importante? Un esempio molto semplice ce l'abbiamo in

macchine che conosciamo bene: sono le turbine di bassa pressione dei motori

aeronautici. Tutte le volte che voi andate a giro con gli aerei di linea, avete un

turbofan, che è un motore a gas. In genere, il fan, che è la parte che spinge

prevalentemente e dà la spinta del nostro motore, è guidato da una turbina di

bassa pressione. Queste turbine di bassa pressione, in condizioni di volo, sono

caratterizzate da numeri di Reynolds piuttosto bassi, che possono variare dai

60-70 mila fino ai 200-300 mila; quindi condizioni nelle quali siamo motivati a

approfondire se si tratta di uno strato limite laminare o di uno strato limite

turbolento.

Lo strato limite laminare ha una resistenza alla separazione, quindi alla

diffusione, che è più bassa rispetto a uno strato limite turbolento. Quindi, se io

ho una turbina di bassa pressione, sarò interessato a far sì che da questa

turbina io possa ottenere la maggiore potenza. Quindi sarò interessato a

caricare le palettature della nostra turbina, però per sapere quanto, e quindi

quanto salto di pressione posso smaltire attraverso la mia turbina, devo sapere

se ho a che fare con uno strato limite laminare piuttosto che con uno strato

limite turbolento. Di fatto, sul lato in pressione della palettatura, potremmo

avere anche la maggior parte della palettatura interessata a questa transizione

dal laminare al turbolento. Quindi tutta intermittenza e su una porzione anche

ampia, che al 20-30 per cento dell'altro lato si potrebbe anche lì essere in

questa situazione. Quindi, diciamo, potrebbe essere anche preponderante la

porzione di palettatura che si trova a funzionare in condizione di transizione, e

questa è la motivazione per cui, quando andiamo a studiare le macchine.

SLIDE 5 Ai corpi siamo partiti da una rivisitazione, posso dire molto rapida, del

paradosso di D'Alembert, che è legato al fatto che, se D'Alembert fosse il caso

della sfera, in questo caso è la sfera o il cilindro, un flusso non viscoso, se io lo

studio come flusso non viscoso, viene tutto perfettamente simmetrico, prima e

dopo il cilindro. Quindi, per un moto euleriano, non esiste in sostanza la

resistenza all'avanzamento. Se vado a guardare la realtà, abbiamo visto anche

delle immagini: in realtà dietro avrò una separazione. Come la formazione della

scia comporta una distribuzione di pressione che non è affatto simmetrica, in

questa zona della scia si ha una perdita di quantità di moto. Quindi, , si

F=ma

ha una resistenza all'avanzamento. Le forze viscose, anche se confinate in una

zona molto piccola del nostro campo di moto, decidono di fatto se si hanno o

meno perdite e resistenze. Anche se interessano una porzione piccola, non

sono affatto trascurabili per l'impatto che hanno nel campo di moto.

Sotto c'è un esempio di corpo aerodinamico. Il cilindro rappresenta un corpo

con elevata resistenza all'avanzamento, con un lift trascurabile, oscillante

attorno a un valore nullo. Nel caso del corpo aerodinamico, si cerca di

sagomare il corpo in maniera tale da minimizzare la resistenza all'avanzamento

e quindi migliorare le performance. Quando si studia il cilindro, si può fare

l'esempio del caschetto del ciclista: se il caschetto è circolare, dietro si formano

vortici e ricircolazione con una scia spessa. Per migliorare l'aerodinamica, è

necessario rendere la scia più sottile, eliminando la ricircolazione, quindi

togliendo il punto di separazione.

Il punto di separazione coincide con il punto di ristagno, dove la pressione è

pari alla pressione di ristagno del flusso. Poi la pressione scende velocemente

fino al punto di pressione minima e successivamente risale. In questa zona, la

velocità varia: qui la velocità è nulla, qui la velocità è massima e la pressione

minima, poi risale. Il problema nella separazione del flusso si verifica quando

c'è diffusione, ovvero quando bisogna recuperare pressione, che avviene nella

zona posteriore. Dall'analisi delle equazioni integrali dello strato limite, si nota

che ciò che conta per la tendenza alla separazione è la diffusione, cioè il salto

/dx /dx

di pressione che deve essere recuperato, . Il è legato a diversi

dp dp

aspetti dello strato limite, in particolare allo spessore di momento, allo

spessore di spostamento e al numero di Reynolds, cioè alle caratteristiche dello

strato limite. Lo strato limite tenderà a separare seguendo una certa legge, che

dipende dallo “stato di salute” dello strato limite quando deve diffondere. Non

/dx

esiste una regola fissa o una costante di che determini in assoluto se la

dp

macchina funziona bene: dipende caso per caso. Non c'è dubbio che bisogna

/dx

ridurre il . Sul non si può intervenire, perché dipende dal corpo e

dp dp /dx

dalle velocità; dove si può lavorare è su , ovvero su quel che

dx dp

possiamo approssimare come tra questa zona e quella successiva. Il

Δ p

diventa quindi . Per togliere la separazione e avere una scia più

dx Δ x

sottile, è necessario allungare la forma del corpo. Se l'allunghiamo abbastanza,

la derivata dp/dx scende sotto il valore che avrebbe causato la separazione e la

separazione sparisce. Da un punto di vista estetico o intuitivo, per rendere

qualcosa aerodinamico bisogna dare una forma affusolata, soprattutto sulla

parte posteriore. Istintivamente si potrebbe pensare alla parte anteriore, ma la

parte anteriore del corpo è quella dove si accelera il flusso. La parte cruciale

per rendere la scia più sottile è sempre quella posteriore. Si può capire meglio

pensando alla scia: una scia sottile significa avere poca perdita di quantità di

moto. La scia è la zona dove si verifica la perdita di quantità di moto, che

determina la resistenza all'avanzamento. La differenza di quantità di moto

prima e dopo il profilo deve equilibrare la forza di resistenza. Scia grossa

comporta perdite elevate; scia sottile comporta perdite ridotte.

SLIDE 6 Esiste uno schema classico di forma del profilo con l’evoluzione dello

strato limite, sia per il flusso esterno sia per il flusso interno. Entrambi gli

aspetti sono rilevanti, perché le macchine sono composte da palettature che

concettualmente si studiano come profili alari, ma sono montate all’interno di

una cassa.

Per il flusso interno, dopo una certa distanza lo strato limite sarà

completamente sviluppato. In questa prima parte può essere inclusa la

transizione da flusso laminare a turbolento. A seconda del numero di Reynolds

e delle dimensioni, il flusso può essere tutto laminare o tutto turbolento.

Nel caso tutto laminare, la distribuzione di velocità del profilo ha forma

parabolica. Per i flussi turbolenti, si considerano due aspetti principali: ottenere

correlazioni per lo sforzo di taglio a parete, che non può essere calcolato

teoricamente ma stimato tramite correlazioni, e caratterizzare lo spessore di

spostamento e lo spessore di momento dello strato limite, su una lastra piana

con zero gradiente di pressione. Nel flusso laminare, nello strato limite si

osserva un sottostrato viscoso nella parte più interna, molto vicino alla parete,

+¿ ≈ 10

fino a . Al di fuori di questa zona, il comportamento della velocità varia

¿

y

secondo una legge differente. Questi due comportamenti descrivono bene

l’andamento della velocità, ma il sottostrato viscoso è molto piccolo. L’impatto

di questa porzione sullo spessore di spostamento e sullo spessore di momento

è limitato.

La derivata della velocità non può essere calcolata se non si conosce il profilo

completo, ma può essere approssimata con altre metodologie.

Si pensa a come caratterizzare la distribuzione di velocità con un esponente:

nel caso laminare è quadrato, mentre nel caso turbolento è un valore legato al

numero di Reynolds e ragionevolmente spazia fra 7 e 10, quindi 7 per numeri di

Reynolds di qualche milione e 10 per numeri di Reynolds elevati, qualche

centinaio di milioni. Così facendo si riesce a rappresentare abbastanza bene la

distribuzione di velocità e, con questa distribuzione utilizzata nelle equazioni

integrali dello strato limite, si possono fare delle stime, passando dal bilancio

delle forze, per capire quali possano essere gli andamenti delle nostre

caratteristiche a parete, come