Fluidodinamica - teoria completa

A fluid flow

Cos'è un fluido?

Un fluido è un continuo che sotto l’azione di una forza di taglio si deforma indefinitamente. Trattiamo il fluido come un continuo. Non è necessario scendere tanto nel dettaglio da vedere le singole particelle, ci si serve delle proprietà macroscopiche che fanno riferimento ai campi.

Fluido newtoniano

Sono i fluidi con il modello matematico più semplice, più complesso solo del fluido inviscido (ideale). Presentano un legame di proporzionalità diretta tra sforzo deviatorico e velocità di flusso. La costante di proporzionalità è la viscosità.

Viscosimetro di Couette

Un contenitore cilindrico viene inserito dentro un altro più grande. Nell’intercapedine si mette il fluido di cui si vuole misurare la densità. Il cilindro interno viene messo in rotazione lasciando cadere una massa nota. Allora faccio: → Sum(F) = 0 Mg = Tau*A Laterale. Misuro la velocità di rotazione come spazio/tempo: U = 2*pi*R/T → Poi so che Tau = mu*U/d (dove d = larghezza intercapedine) mu = (Mg*d*T)/(2*pi*R*h*2*pi*R).

Possibili problemi

• Se gira troppo veloce iniziano a comparire problemi: moto turbolento
• Strato limite che si sviluppa sul fondo. O tengo conto di questo o allungo di molto il cilindro in modo da perderne gli effetti
• Calore generato dal fluido in rotazione per lungo tempo
• Attriti meccanici (filo, puleggia)
• La massa deve avere una corsa tale da permettere al sistema di raggiungere l’equilibrio

Fenomeni di diffusione

Anche se vogliamo guardare il fluido in modo macroscopico, la diffusione è dovuta a effetti microscopici. Immaginiamo due gas in modo tale che uno si trovi in gran parte sotto una linea e l’altro in gran parte sopra. Ci saranno una marea di particelle che oltrepassano questa linea per via dei moti casuali, mettendo in evidenza un comportamento macroscopico detto flusso. Si definisce il vettore flusso, Legge di Fick:

J = - rho * K * ∇C

Significa che il flusso è direttamente proporzionale alla concentrazione (direzione opposta al gradiente).

Legge di Fourier

q = - K∇T (K e Km sono dei coeff. di diffusione positivi)

Viscosità liquidi e gas

• Liquidi: la viscosità dipende dalle forze di coesione delle molecole (intermolecolari) che diminuiscono all’aumentare della temperatura (acqua mu = 10^-3, ni = 10^-6)
• Gas: avviene l’opposto. Ciò che domina la viscosità sono gli urti tra le molecole. All’aumentare della temperatura aumenta anche la viscosità (aria mu = 1.8e-5, ni = 1.5e-5)

Invarianti meccanici additivi

Le equazioni di moto del fluido dipendono da questi invarianti:

∑   = lim:Densità 3→  ∑  = lim: (u è un vettore)Q.tà di moto 3→ 1 2  + 2lim: E =Energia 3→ Pressione

Da un lato abbiamo la pressione termodinamica (quella che compare nell’equazione dei gas perfetti) e dall’altro la pressione microscopica data dagli urti delle molecole contro le pareti. Vediamo come legarle: immaginiamo una particella di massa m che urta contro la parete con velocità Vt, con N numero di particelle per unità di volume:

→2P = F/A ~ m*N*Vt ~ rho*T P*v = rho*T

Descrizione Lagrangiana del moto

Consiste nell’identificare una parcella (quantità di volume con lo stesso numero di particelle al variare del tempo) di fluido e osservare come essa si muove, seguendola. Studiando come varia la posizione nel tempo sono in grado di risalire a velocità e accelerazione. Consideriamo una particella la quale posizione al tempo iniziale è descritta dal vettore r(t₀, r₀, t₀). Dopo un certo tempo sarà in posizione r(t,r₀,t₀). Allora:

u = dr(t,r0,t0)/dt

a = d2r(t,r0,t0)/dt

Se conosco F(r(t,r₀,t₀),t) conosco il campo vettoriale.

Descrizione Euleriana del moto

Descrizione a punto fisso: F(x,t). Le due diverse descrizioni vanno scelte in base alle esigenze. Vediamo quando le due descrizioni coincidono:

F(r(t,r0,t0),t) = F(x,t) quando x = r(t,r0,t0)

Dopo alcuni passaggi trovo la derivata lagrangiana materiale convettiva: = + * Misura una non stazionarietà e/o omogeneità del fluido, seguendo la particella che si muove nel fluido.

Linee di campo

• Linee di corrente: consideriamo un campo di velocità noto u=u(u,v,w), allora il vettorino spostamento è ds=ds(dx,dy,dz). Avrò che: × = 0 = = ovvero. Due linee di corrente non possono mai incrociarsi altrimenti il vettore velocità dovrebbe avere due direzioni. Tra due linee di corrente identifichiamo il tubo di corrente. Al suo interno non ci sono velocità che attraversano la sua superficie.
• Traiettorie: definite come l’insieme di punti che una particella occupa nel fluido. Se il moto è stazionario allora traiettorie, linee di corrente e di fumo coincidono. Tecnica PIV: inseminare il fluido con dei traccianti che consentono di visualizzare le traiettorie delle particelle illuminando il fluido e scattando delle foto.
• Linee di fumo: linee che collegano un insieme di punti che saranno occupati o sono stati occupati da una particella nel corso del tempo. Generatori di fumo: si vede dove sono andate le particelle che sono partite dallo stesso punto, oppure quali particelle sono passate dallo stesso punto (metodo utile ed economico).

Deformazioni e rotazioni

Scomponiamo il tensore Gradiente di velocità in una parte simmetrica e una antisimmetrica: 1 = +

• Sij: (6 componenti indipendenti) Gli elementi diagonali rappresentano l’allungamento percentuale del segmentino. Gli elementi fuori dalla diagonale descrivono la media (rateo di deformazione) con cui due segmenti si avvicinano o si allontanano rispetto all’angolo originale.
• Rij: (3 componenti indipendenti) Le 3 componenti rappresentano le componenti del vettore Vorticità w1,w2,w3.

Teorema del trasporto di Reynolds

Partiamo dalla definizione del teorema di Leibniz in 1D: Se l’intervallo tra a e b diventa tridimensionale, otteniamo: (sarebbe F b*n dA) dove u è la velocità del contorno A. Se considero volume materiale (non varia nel tempo, ovvero rimangono costanti le particelle di fluido al suo interno): dove u = u ovvero velocità del contorno = velocità del corpo. Asarebbe (F u*n dA).

Conservazione della massa

Consideriamo un volume materiale. Se nulla passa attraverso la superficie A e il contorno si muove come il corpo (b=u) allora: = 0. Rho può variare localmente ma l’integrale non cambia.

Per volume qualsiasi scegliamo un tempo in cui v(t) è uguale a v*, allora: ( + − ) • = 0.

Relazione in forma conservativa:

Relazione in forma convettiva: In molti casi il primo termine si annulla, perciò per un fluido incomprimibile rimane:

Conservazione della quantità di moto

Consideriamo un volume materiale, allora la quantità di moto può variare a causa di forze di volume e/o forze di superficie: (seconda legge di Newton) = + (, , )

Rendiamo valida l’equazione per un volume qualsiasi usando il teorema del trasporto di Reynolds: ( + − ) • = + (, , )

Forma differenziale (conservativa): + ∇ • − − = 0 dove è un tensore. Forma convettiva, ottenuta sfruttando la conservazione della massa: = +

Conservazione dell'energia

Equazione scalare, come la conservazione della massa: ( + = • + (, , ) • − •

dove e = en. potenziale.

Significa che se l’energia varia allora è per merito di forze di volume e/o forze di superficie e/o contributi termici. Forma differenziale: [ ( + )] + [ ( + ) ] − − ( ) + = 0 dove a Tij è stata tolta la parte deviatorica (viscosa).

Se semplifichiamo anche le forze di volume e gli scambi termici troviamo la forma conservativa: [ ( + )] + • [ ( + ) + ] = 0.

Forma convettiva: (+ ) () + • = 0. Riscrivendo l’equazione dell’energia considerando quelle di quantità di moto e massa ottengo: = 0. L’entropia per una particella di fluido rimane costante lungo una linea di flusso (valida in assenza di fenomeni di dissipazione come e K (viscosità e termico).

Relazione costitutiva per fluido Newtoniano

= − + 2 1 λ • − = ( + ) = dove . Per un fluido completamente incomprimibile la pressione meccanica è uguale a media. Per un fluido comprimibile invece, p e p possono essere differenti. In particolare differiscono per mezzo del coefficient of bulk viscosity k = . In linea di principio, k è misurabile, ma per farlo è necessario avere valori di Drho/Dt estremamente grandi, come per esempio nelle onde d’urto. Per questo motivo spesso si fa l’ipotesi di Stokes tale per cui k = 0. Questa ipotesi risulta essere sufficientemente accurata.

Equazione di Navier-Stokes

Partendo dall’equazione della quantità di moto di un fluido newtoniano: So che la viscosità ha una forte dipendenza dalla temperatura, ma considero che questa non vari di molto perciò posso considerare la viscosità costante e portarla fuori dall’operatore di derivazione: • = 0)

Se ipotizzo poi fluido incomprimibile (∇ l’equazione rimanente è l’equazione di Navier-Stokes: Semplificando ulteriormente (brutalmente) il termine viscoso ottengo l’equazione di Eulero.

Stokes in 2D: + = 0

+ + = ( + ) − +

+ + = ( + ) − +

Teoremi di Bernoulli

Si parte dall’equazione della quantità di moto nella forma del Crocco per un fluido incomprimibile e inviscido: 1 2 + × = 0+ ( + + ) dove rappresenta un potenziale di gravità e P è una funzione potenziale che sotto l’ipotesi di fluido barotropico, ovvero che , e nel caso incomprimibile, è pari a Prendendo il caso stazionario, e moltiplicando per u trovo:

1 2 = 0 = 0) • ( + + ) • (avendo significa che il termine tra parentesi non varia in direzione perpendicolare a u.

1 2 = cost + +

Significa che lungo le linee di corrente Stesso ragionamento valido per le linee vorticose: moltiplico per w invece che per u e ottengo:

1 2 = cost + + lungo le linee vorticose

Queste due ultime equazioni danno vita alla prima forma del teorema di Bernoulli. Per scrivere la seconda forma del teorema introduco anche l’ipotesi di irrotazionalità, perciò:

1 2 = 0 ( + + ) ovunque, non solo sulle linee di corrente.

Esiste una terza forma: considero non più il caso stazionario, ma mantengo l’ipotesi di irrotazionalità. Ottengo:

1 2 = B(t)+ + || + 2 = Dove B = B(t) significa che è un funzione costante nello spazio, varia solo nel tempo.

Approssimazione di Bousinnesq

L’approssimazione si basa sul fatto di usare il modello di fluido incomprimibile quando la variazione di densità dipende solo da motivi di galleggiamento. Ovvero quando si hanno variazioni di temperatura e di moto, quindi di densità, solo per motivi di galleggiamento.

• = 0 Partendo dalla conservazione della massa: che è usata per un fluido incomprimibile, ma in questo caso risulta = () un’approssimazione in quanto . Considero però solo piccole variazioni di T (una decina di gradi), allora riarrangiando l’equazione della quantità di moto ottengo:

= μ/ = + " " Dove e p = p + p' e con deviazione della densità rispetto alla densità statica con scala di 00 0 lunghezza .

Riassumendo, l’approssimazione di Bousinnesq può essere fatta solo quando il numero di Mach è piccolo, la scala del flusso non è troppo larga e la temperatura varia di poco nel fluido. Allora la densità può essere trattata come costante tranne che nel termine legato alla gravità. Mentre l’equazione dell’energia:

C dove k = K/ è la diffusività termica p

Parametri adimensionali

= =

Prendiamo come esempio il numero di Reynolds: . Immaginiamo di avere un problema descritto e parametrizzato esclusivamente da questo numero adimensionale. Allora posso fare poche valutazioni per differenti Re invece che farne molte di più facendo variare le varie grandezze una alla volta. In questo modo si ottiene un gran vantaggio.