Flashcards per meccanica delle strutture bidimensionali

Revisionato il 12/07/2026

di DanMacBen

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Flashcards per studiare il contenuto del corso di Meccanica delle Strutture Bidimensionali del prof. Paolone.Argomenti:- Geometria differenziale delle curve- Continui monodimensionali curvi- …

Esame Meccanica delle strutture bidimensionale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Paolone Achille

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2021-2022

126 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Meccanica delle Strutture Bidimensionali

Meccanica delle

Strutture

Bidimensionali

Geometria Differenziale delle Curve

Modalità di rappresentazione (3)

Rappresentazione come grafico y = f(x) x ∈ &Reals;
Rappresentazione cartesiana F(x,y) = 0
Rappresentazione parametrica
- x = x(t)
- y = y(t) t ∈ &Reals;

La rappresentazione parametrica è quella più conveniente per affrontare lo studio delle proprietà differenziali delle curve. Si può pensare la curva come luogo tracciato da un punto che si muove nello spazio in modo continuo.

→ Duplice aspetto cinematico-geometrico

Geometria Differenziale delle Curve

Rappresentazione Parametrica

> Definizione

Si dice curva parametrizzata ogni applicazione

X : I → ℝ³

dove I e ℝ è un intervallo.

X(t) = x(t) · a_x + y(t) · a_y + z(t) · a_z

X(t) = x(t) y(t) z(t)

Il parametro t può essere interpretato come una variabile temporale.

Geometria Differenziale delle Curve

Rappresentazione Parametrica

> Orientazione della curva

> Parametrizzazioni distinte possono rappresentare la stessa curva.

Esempio della circonferenza:

y = sin(t)t ∈ [0; 2π)
x = cos(2t)y = sin(2t)t ∈ [0; π)
x = cos(-t)y = sin(-t)t ∈ [0; 2π)

Essendo ℝ orientato, lo è anche I, cosicché una parametrizzazione assegna un verso di percorrenza, cioè una orientazione alla curva.

Geometria Differenziale delle Curve

Curve Regolari

> Definizione

Per dotare di struttura differenziale una curva occorre che sia simile, localmente, ad una retta. Questo significa che deve esistere un'unica retta tangente in ogni punto dell’intervallo.

Inoltre devono valere le condizioni di regolarità:

dx/dt = \(\dot{x}(t)\) ≠ 0 ∀ t ∈ I ➔ Vettore tangente = vettore velocità

\(\dot{x}(t)\) rappresenta sia la direzione della retta tangente, sia la rapidità con cui varia il vettore posizione.

> Il vettore tangente dipende dalla parametrizzazione

Geometria Differenziale delle Curve

Parametrizzazioni equivalenti

> Definizione

Due parametrizzazioni di una stessa curva sono equivalenti quando possono essere ottenute l'una dall'altra con un cambio di parametro che non muti l'orientazione.

Analiticamente X = X(t) e X = X(s)sono equivalenti se t = αs con α > 0

Esempio della circonferenza:

x = cos(t)y = sin(t)

t ∈ [0; 2π]

x = cos(2s)y = sin(2s)

s ∈ [0; π]

→ t = 2s α > 0

Geometria Differenziale delle Curve

Ascissa curvilinea

Scelto un’origine P₀ sulla curva, la posizione di un qualsiasi punto P della curva è univocamente determinata dalla lunghezza dell’arco P₀P (positiva se segue l’orientamento)

Ascissa curvilinea:

s(t) = ∫_t₀^t ||x'(t)|| dt

⇒ s(t) > 0 ∀ t > t₀

Ogni curva regolare ammette un’unica parametrizzazione rispetto all’ascissa curvilinea. Non è detto che si possa ricavare analiticamente per tutte le curve.

Esempio

X(t) = {R cos(t)R sin(t)}

⇒ s(t) = ∫₀^t √(R² cos²(t) + R² sin²(t)) dt = R t

⇒ t = s / R ⇒ x(s) = {R cos(s / R)R sin(s / R)}

Geometria Differenziale delle Curve

Elemento d'arco e Versore tangente

L'ascissa curvilinea

s(t) = ∫_t₀^t ||ẋ(t)|| dt

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