Fisica dell'elettromagnetismo e dell'ottica (Fisica 3)

Fisica dell'elettromagnetismo e dell'ottica

Formule trigonometriche

2 2( ± ) = ∙ cos ± cos ∙ sin + cos = 1
1cos( ± ) = cos ∙ cos ∓ ∙ cos = ± ⁄ )( ± 2 = ± cos 2√1 + ⁄ )( ± 2 = ∓ sen tg sin = ±(−) = − 2√1 + cos(−) = cos

Le equazioni di Maxwell in condizioni stazionarie

∮ ∙ Σ = ∮ ∙ = 0 ∮ ∙ Σ = 0 ∮ ∙ = 00Σ

Formalismo differenziale

L'operatore è definito come = + + Il gradiente trasforma uno scalare in un vettore, e ci dice come varia la funzione quando si muove lungo l'asse x. Infatti: = + + → = · () = + () = + . In coordinate polari: e Se definiamo = + → = +

Nabla può essere applicato anche ad una funzione vettoriale, ciò che otterremo si dice divergenza: = + + → = + + ∙ Σ = ∇

Teorema della divergenza

Esiste un teorema detto teorema della divergenza: . Per un volume ∮ ∮Σ 1 ∙ Σ = ∇ → ∇ = ∙ Σ → ∇ = lim ∙ Σ. infinitesimo: ⁄ →0 La divergenza di un vettore può essere interpretata come il flusso del vettore per unità di volume su una superficie molto piccola. La divergenza se è: uguale a 0, sarà un campo solenoidale; diversoda 0, avrà linee aperte. = + +

Il rotore

Consideriamo , definiamo rotore, il vettore risultato del determinante della matrice:
| |∇∧ = → = ( − ) + ( − ) + ( − ) ∙ s = (∇ ∧ ) Σ

Il Teorema di Stokes afferma che: . Per una superficie infinitesima: ∮ ∮S Σ ∙ s(∇ ∙ s = ∧ )Σ → ∇ ∧ = Σ

Il rotore di un vettore F

Il rotore di un vettore F è la circuitazione per unità di superfici del vettore su una linea chiusa (∇ ∧ ≠ 0); molto piccola. Se la circuitazione è: diversa da 0, il campo è rotazionale se è uguale a (∇ ∧ = 0). 0, il campo è irrotazionale

Operatori vettoriali

Se f è una funzione scalare ed F un campo vettoriale ha ( ), ( ), ( ) ( ). senso calcolare il la la e il Non ha senso( ) ( ). ∇ ∧ ∇f = calcolare invece: il e il Se f ed F sono derivabili due volte, allora 0 ∇ ∙ ∇f = 0. e Esistono alcune combinazioni di operatori vettoriali, tra cui: la divergenza del 2(∇ ),∙ ∇f = ∇ gradiente o Laplaciano il rotore del gradiente, la divergenza del rotore e il rotore del rotore.

Riepilogo delle condizioni stazionarie

∇∙ = ∮ ∙ Σ = 00Σ ∮ ∙ = 0 ∇∧ =0 = −∇2∇ = −∇∙ = 0∮ ∙ Σ = 0 0∮ ∙ = ∇ ∧ = 0 0

Riepilogo delle condizioni non stazionarie

Equazioni di Maxwell in presenza di sorgenti nel vuoto ∇∙ = ∇∙ =0 ∮ ∙ Σ = 00Σ ∮ ∙ = − ∮ Σ ∇∧ =− ∇∧ =− Σ ∇∙ = 0 ∇∙ = 0∮ ∙ Σ = 0 ∮ ∙ = ∫ ( + ) Σ ∇ ∧ = ( + ) ∇ ∧ = 0 0 0 0 0 0 Σ

I dielettrici

Consideriamo un condensatore piano carico e isolato, in modo che la carica sulle armature resti costante. Se è il valore della carica, distribuito con densità uniforme , tra le armature c'è un campo elettrico e una differenza di potenziale dati da: 0 = = ℎ0 0 00

Se introduciamo parallelamente alle armature, senza toccarle, una lastra conduttrice di spessore < ℎ, si osserva che la d.d.p. tra le armature diminuisce. Infatti, sulle facce della lastra si formano due distribuzioni di densità con segno tale da annullare il campo all'interno della lastra. All'esterno (ℎ = − ) < invece il campo resta invariato pertanto: . Questa diminuzione avviene indipendentemente dalla posizione della lastra. Se ripetiamo l’esperimento con una lastra di materiale isolante, la d.d.p. tra le armature diminuisce e l’effetto, a parità di spessore s, è minore di quello rilevato con la lastra di conduttore. La d.d.p. Diminuisce linearmente all'aumentare dello spessore della lastra e assume il valore minimo quando tutto lo spazio tra le armature è riempito da materiale isolante. Un dielettrico = /è un materiale non conduttore e il rapporto adimensionale: è detto costante dielettrica relativa. Ritornando al condensatore piano riempito completamente di dielettrico, il campo elettrostatico all’interno (nell’ipotesi che resti uniforme) deve risultare ridotto del fattore k:

0 0 0 = = = = ℎ ℎ 0 La variazione del campo elettrico dovuto alla presenza del dielettrico è: − 1 0 0 0 0 0 − = − = =0 + 1 0 0 0 0 = − 1 Dove si dice suscettibilità elettrica.

Tipi di sostanze

• Polari: Presentano un momento di dipolo intrinseco. I dipoli si allineano in presenza di un campo esterno
• Non polari: Sotto l’azione di un campo esterno, un atomo assume un momento di dipolo.

Il momento di dipolo è un vettore pari a: dove è la distanza dalla carica negativa a quella positiva. Se rappresentiamo un dipolo con un vettore, avremo un sistema formato da più dipoli non perfettamente allineati. Questo comporta l’impossibilità di calcolare un momento di dipolo totale, ma medio. Su atomi avremo: . Se è il volume del materiale, è possibile definire un vettore di polarizzazione dato da: = = = Dove è il numero di atomi per unità di volume, cioè la densità.

Calcolo della densità di carica

Consideriamo il sistema e suddividiamoli in tanti volumi infinitesimi. Per effetto della comparsa della carica il momento di dipolo sarà: = ℎ = ℎ dΣ = ℎdΣ Σ = , Dalla definizione di momento di dipolo: se faccio il differenziale, ottengo: = ℎΣ. = Eguagliando le due relazioni ottenute, otteniamo .

Se consideriamo due volumi sovrapposti, otterremo lo stesso risultato, in quanto nella zona in cui i due volumi si toccano la carica si annulla. Ricordando che le superfici possono essere definite con i vettori e che il relativo versore è sempre uscente, posso dire che: . I dielettrici possono essere di due tipi:

• Omogenei: In cui è costante e la carica nel punto in cui i volumi elementari si toccano è nulla
• Non omogenei: In cui non è costante e la carica nel punto in cui i volumi elementari si toccano non è nulla, perché diversa è la densità di carica superficiale. Questo fa sì che si crei una densità di volume di cariche di polarizzazione.

Dielettrici non omogenei

Concentriamoci sul caso dei dielettrici non omogenei e calcoliamo tale densità di carica: ′ ′− = − Σ = −P′Σ ′ ′{ → = − + = ( − )Σ = − Σ = −PΣ dP → = − Σ = − → = = − dx Ciò che abbiamo ottenuto può essere generalizzato su tutto il volume: = − ( + + ) = −∇ ∙ Σ

Consideriamo una scatola cilindrica avente area di base la carica contenuta all’interno è quella positiva sull’armatura e quella negativa di polarizzazione sulla faccia della lastra che vale − Σ = −PΣ. Applichiamo Gauss: − = ∮ ∙ Σ = → ∙ Σ = − → ∙ Σ = − P ∙ dΣ 0 0 0(→ + ) ∙ dΣ = → ∮( + ) ∙ dΣ = 0 0 = + . ∙ dΣ = Da cui si può definire il vettore induzione elettrica: Per cui avremo: .∮0 ( = − 1) = . Per i dielettrici lineari, il vettore polarizzazione si può scrivere come: 0 00( = + ) = + − = = = Invece il vettore induzione elettrica: .0 0 0 0 0 0

Materiali magnetici

Campo B nei materiali

Consideriamo un solenoide indefinito il cui campo magnetico ha l’espressione dove con 0 0 0 indichiamo Il valore del campo che si misura quando il solenoide è vuoto. Indichiamo con: , un 0 0 = vettore parallelo a , la cui intensità dipende dalle caratteristiche della sorgente. Supponiamo di riempire completamente il solenoide con un mezzo omogeneo. Dalla misura di B = troviamo che esso è parallelo a e il rapporto tra i moduli vale: . Dove prende il ⁄0 0 nome di permeabilità magnetica relativa al vuoto del mezzo considerato. = = = , Quindi: definendo permeabilità magnetica assoluta. 0 0 ( = − = − 1) = La variazione del campo magnetico sarà: . Introducendo una 0 0 0 = − 1, nuova grandezza, la suscettività magnetica: che ha il significato di variazione relativa del campo magnetico dovuta al materiale. ( = = − 1), Se definiamo con il vettore magnetizzazione che descrive le proprietà magnetiche del mezzo sotto l’azione delle correnti, possiamo scrivere il campo magnetico B come: = + = ( + ). L’intensità del campo magnetico nel solenoide risulta in particolare: 0 0 = + . Vediamo che il termine è il campo magnetico prodotto dalla corrente di conduzione di densità lineare che circola nelle spire del solenoide; il secondo termine deve rappresentare l’effetto del mezzo magnetizzato, che risulta percorso dalla corrente di densità . lineare Sulla superficie del mezzo magnetizzato una corrente esiste realmente, anche se non è una corrente di conduzione, bensì il risultato di correnti che si formano per effetto del campo magnetico prodotto dalla corrente di conduzione. Esse giocano un ruolo analogo a quelle delle cariche di polarizzazione. Tali correnti sono dette amperiane.

Sostanze diamagnetiche

Sono dette diamagnetiche le sostanze che vengono respinte dal solenoide: la magnetizzazione è opposta al campo magnetico esterno. In assenza di campo magnetico gli atomi e le molecole non presentano un momento di dipolo. Invece in presenza del campo, si sviluppano dei dipoli magnetici orientati in verso opposto al campo esterno. In presenza di un campo esterno: ⁄ = 1 → = 0 → < 1. Quindi il campo totale diminuisce e si generano correnti amperiane opposte alla corrente di conduzione. Il materiale sentirà una forza verso destra, verso le zone più deboli del campo.

Una classe di diamagnetici particolare, sono i superconduttori. Quando vengono immersi in un campo magnetico di intensità inferiore ad un certo valore, manifestano un diamagnetismo perfetto espellendo il campo magnetico dal suo interno. Questo è anche detto: effetto Meissner.

Sostanze paramagnetiche e ferromagnetiche

Si chiamano paramagnetiche le sostanze che vengono attratte dal solenoide, quelle cioè in cui la magnetizzazione e concorde al campo magnetico. Invece si dicono ferromagnetiche le sostanze che sono attratte fortemente verso la zona in cui il campo magnetico è maggiore. In assenza di un campo gli atomi e le molecole hanno un momento di dipolo magnetico e sono orientati casualmente. In presenza del campo tutti i dipoli magnetici si orientano come il campo esterno. E quindi avremo:

• ⁄ > 1 → > 0 → > 1 per le paramagnetiche: . Quindi il campo totale aumenta e si generano correnti amperiane concordi alla corrente di conduzione. Il materiale sentirà una forza verso sinistra, verso le zone più intense del campo.
• ≫ 1 per le ferromagnetiche: All’interno del materiale ci sono delle zone con momento di dipolo intrinseco: i domini di Weiss. Queste sostanze hanno una caratteristica particolare: anche se si spengono le correnti, resta una magnetizzazione.

Sostanze ferromagnetiche

Supponiamo che inizialmente il materiale si trovi nello stato vergine, cioè non sia mai stato sottoposto a magnetizzazione, e che siano nulli tutti i campi. Facendo crescere i valori di e di si dispongono lungo la curva, detta curva di prima magnetizzazione; quando supera il valore la magnetizzazione resta costante al valore , e il campo magnetico cresce linearmente con ma > molto più lentamente. Si dice che per il materiale ha raggiunto la saturazione e il valore si chiama magnetizzazione di saturazione. , Se dopo aver raggiunto il valore si fa decrescere i valori di e di si dispongono lungo una nuova curva che si mantiene al di sopra della curva di prima magnetizzazione e interseca l’asse delle ordinate (H = O) col valore . Si parla di magnetizzazione residua e di campo magnetico residuo; quindi, il materiale è diventato un magnete permanente. Per annullare la magnetizzazione bisogna invertire il senso della corrente e far diminuire fino al valore , detto campo coercitivo, in corrispondenza del quale e Infine, se si riporta . al valore si percorre la curva fino al ricongiungimento con la curva La curva completa prende il nome di ciclo di isteresi del materiale.

Il vettore magnetizzazione

A seguito dell’applicazione di un campo magnetico esterno, un volumetto τ in cui sono contenuti atomi (o molecole) acquista un momento magnetico, orientato parallelamente a e quindi ad 0: = < >, < > dove è il momento magnetico medio di ogni atomo (o molecola). Si definisce vettore di magnetizzazione M, il momento magnetico medio per unità di volume: = = <> =<> Avendo indicato con il numero di atomi (o molecole) per unità di volume. Supponiamo ora di avere un cilindro magnetizzato uniformemente con magn