Esame Fisica 1

Capitolo 2. Vettori

Le grandezze scalari sono una categoria di grandezze che vengono definite solo da un valore numerico seguito dall’unità di misura (es: 20 °C è la temperatura).

Nello studio del moto, per definire meglio il movimento, si associano al modulo (o intensità) gli elementi direzione e verso. Questo tipo di grandezza avente modulo, direzione e verso prende il nome di grandezza vettoriale (esempi di grandezze vettoriali sono forza, velocità e accelerazione).

2.1 Vettore spostamento

Come esempio di grandezza vettoriale si può considerare il vettore spostamento. Esso è rappresentato da un segmento orientato che unisce la posizione iniziale e la posizione finale.

Ha quindi lunghezza pari alla distanza tra le due posizioni, lunghezza e verso dello spostamento.

Il vettore spostamento e la traiettoria sono due cose diverse:

• Il vettore spostamento indica il percorso dalla posizione iniziale a quella finale.
• La traiettoria indica il percorso curvo (cioè quello reale).

2.2 Tipi di vettori

• Vettori uguali: V -V Sono uguali se hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso. 13 14
• Vettori opposti: V -V Sono opposti se hanno stesso modulo, stessa direzione, verso opposto. 5 10
• Vettori concordi: V -V Sono concordi se hanno stessa direzione, stesso verso, modulo diverso. 4 9
• Vettori discordi: V -V Sono discordi se hanno stessa direzione, verso opposto, modulo diverso. 3 6
• Vettori concorrenti: V -V Sono concorrenti se si spostano lungo la loro linea d’azione. 2 11
• Stessa retta di applicazione: V -V Applicati sulla stessa retta d’azione. 1 2
• Stesso punto di applicazione: V -V Partono dalla stessa origine. 1 12

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2.3.3 Differenza tra due vettori

Come tutte le differenze, la differenza tra due vettori è definita come la somma di un elemento negativo (in pratica: a-b=a+(-b)).

Il vettore differenza è ottenibile facendo coincidere i due estremi superiori dei vettori di cui si vuole la differenza ed è rappresentato da quel vettore che ha origine coincidente con l'origine del minuendo.

2.3.4 Scomposizione di un vettore in due componenti

Questo è il problema inverso di quello della somma, dato un vettore, si vogliono conoscere le sue componenti lungo determinate direzioni.

Si traslano le rette che indicano le direzioni prestabilite, finché non toccano la coda del vettore da scomporre;

Dalla punta del vettore si tracciano due linee parallele alle due rette già citate; i punti di intersezione con tali rette sono le punte dei due vettori componenti il vettore 9 cercati.

2.3.5 Prodotto di uno scalare per un vettore

Questo è il caso in cui un vettore viene moltiplicato per uno scalare (numero).

Il risultato è un altro vettore avente:

• Stessa direzione.
• Modulo dato dal modulo del vettore moltiplicato per lo scalare.
• Verso che dipende dal segno dello scalare.

2.3.6 Rappresentazione cartesiana di un vettore

Qualsiasi vettore può essere rappresentato usando un sistema di assi cartesiani tracciando due parallele all’asse x e all’asse y partendo dall’estremità superiore del vettore.

Inoltre, non è necessario che il vettore passi per l’origine perché si può sempre tracciare un vettore parallelo uguale che passa per l’origine.

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Visto che i due assi sono perpendicolari vale il teorema di Pitagora (il quadrato del 1° cateto + il quadrato del 2° cateto = quadrato dell’ipotenusa).

Considerando solo i moduli dei vettori abbiamo:

Per trovare le componenti Vx e Vy di V, conoscendo l’angolo α fra il vettore e l’asse x, si possono usare che i concetti base della trigonometria:

2.3.7 Prodotto scalare

È il caso in cui il prodotto fra due vettori non dà un altro vettore, bensì uno scalare. Il prodotto scalare si indica così:

Il prodotto scalare è massimo quando i due vettori sono paralleli (perché cos 0° = 1), mentre è nullo quando i due vettori sono perpendicolari (perché cos 90° = 0).

In generale vale, considerando i moduli dei vettori:

dove α è l’angolo formato dalle direzioni dei due vettori.

2.3.8 Prodotto vettoriale

È il caso in cui il prodotto fra due vettori dà, come risultato, un altro vettore che risulta essere perpendicolare ad entrambi. Si indica in questi modi:

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Il modulo del vettore ottenuto con tale prodotto è massimo se i due vettori sono perpendicolari (perché il sen 90° = 1) ed è invece nullo se i due vettori sono paralleli (perché sen 0° = 0).

In generale, considerando i moduli:

Per stabilire la direzione si usa la perpendicolare al piano.

Per stabilire il verso si usa la regola della mano destra: se con il pollice in su, per far sovrapporre un vettore all’altro la mano gira in senso antiorario il vettore va verso l’alto, se gira in senso orario va verso il basso.

2.4 Sistemi di riferimento

Per descrivere qualsiasi fenomeno si deve scegliere un opportuno sistema di riferimento.

Se ad esempio si vuole descrivere lo spostamento di un oggetto su un tavolo si può prendere come sistema di riferimento un sistema di riferimento che ha per x e y i due lati della stanza oppure un sistema che ha per x e y i due lati del tavolo.

Avrei dunque due sistemi che sono tra loro uguali e paralleli ma traslati, cioè con gli assi x e y paralleli ma con l’origine spostata.

r ed r’ sono dei vettore posizione, cioè uniscono istante per istante l’origine con la posizione dell’oggetto (P’).

R indica di quanto si è spostato O rispetto a O’.

Usando la regola del parallelogramma, un vettore che parte dall’estremità di uno e arriva all’estremità dell’altro è un vettore differenza (quindi r’ è un vettore differenza). Questo permette di passare dalle coordinate del sistema O a quelle del sistema O’.

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Capitolo 3. Cinematica

3.1 Introduzione

La Cinematica è quella parte della Fisica che descrive i vari moti, senza occuparsi dell’individuazione delle cause che li generano. Essa si occupa del cammino (o percorso) di un oggetto, della lunghezza del percorso e del tempo impiegato per percorrerlo.

Qualsiasi corpo, anche se di grandi dimensioni, può, in cinematica, essere schematizzato con un punto, senza tener conto della sua forma e della sua struttura.

Per studiare il moto di un oggetto si usa un vettore posizione (indicato in rosso nella figura), ovvero quel vettore che collega l’origine degli assi (o meglio di un sistema di assi cartesiani ortogonali) con un punto (che sarebbe il corpo).

Se il moto avviene nello spazio, allora il sistema di riferimento sarà costituito da tre assi cartesiani xyz con origine in O. Su tale sistema vengono individuate le coordinate x,y,z del punto P. Il vettore posizione viene comunemente indicato con r.

Se il moto avviene in un piano, è sufficiente considerare il vettore posizione r nel piano in 2 dimensioni Oxy.

Possiamo affermare che: il moto di un punto materiale si ha quando tale punto occupa punti dello spazio diversi in ogni istante. Si può anche affermare che un oggetto è in quiete o in moto rispetto ad un sistema di riferimento, a seconda che la sua posizione, rispetto agli altri oggetti solidali con il sistema di riferimento stesso, rimanga fissa o vari nel tempo.

La linea contigua che congiunge le varie posizioni occupate dal punto P, durante il moto, si chiama traiettoria. La figura sotto mostra una traiettoria che va un punto P (x ,y ) a un punto P (x ,y ) nel piano Oxy. 1 1 1 2 2 2

Quando P subisce un cambiamento di posizione, ad esempio può passare da P1 a P2, allora tale variazione sarà espressa dalla differenza fra i due vettori r2 e r1.

Tale differenza, sarà anch’essa un vettore e sarà chiamata vettore spostamento e sarà data da:

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Un moto è completamente individuato quando se ne conosce in ogni istante il vettore posizione r, cioè quando si conosce la legge oraria del moto.

In pratica, per vedere come varia r in funzione del tempo si vede come varia il modulo e l’angolo del vettore posizione oppure come variano le componenti x,y (o x,y,z).

3.2 Moto rettilineo uniforme

Si individua un sistema di riferimento e si fa in modo che la direzione di un asse (ad esempio delle x) coincide con quella del moto. Quindi se il moto avviene lungo una retta è sufficiente considerare come sistema di riferimento semplicemente un asse.

La posizione del punto, istante per istante, sarà data dalla distanza di P dall’origine O dell’asse; i vettori r vengono così ad essere tutti paralleli e pertanto sostituiti semplicemente dalla coordinata x, che potrà essere positiva o negativa.

Alla fine il vettore posizione non è altro che il vettore che unisce l’origine col punto e coincide anch’esso con l’asse del sistema di riferimento.

In questo caso, si parla, di moto rettilineo.

La velocità è una grandezza espressa dal rapporto fra uno spazio percorso ed il tempo impiegato per percorrere tale spazio. Si misura in metri al secondo [m/s].

La velocità si dice uniforme se il suo valore rimane costante nel tempo, si ha invece a che fare con moto vario se la velocità cambia continuamente di valore istante per istante.

In generale, un punto si muove di moto rettilineo ed uniforme se il rapporto Δs/Δt fra lo spazio Δs=s -s e f l’intervallo di tempo Δt=t -t è costante al variare del particolare intervallo di tempo. f i

Il rapporto tra Δs e Δt dà la velocità:

Inoltre, se si fa coincidere s con l’origine O dell’asse x, allora s può essere indicata con s; i f

se si fa partire il cronometro da 0 secondi all’istante t allora l’istante t può essere indicato con t; i f

la formula della velocità può essere riscritta in questo modo:

Grafico (V,t)

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La velocità rapportata al tempo rimane costante.

Grafico (s,t)

Si può notare come lo spazio percorso s e il tempo impiegato t siano direttamente proporzionali.

In definitiva il moto rettilineo uniforme ha due caratteristiche:

• Quello di viaggiare su una retta (rettilineo).
• Quello di avere velocità costante (uniforme).

Inoltre, quando la velocità rimane costante, non c’è accelerazione.

3.3 Moto vario

Il moto vario è sempre un moto rettilineo, ma che non ha velocità costante, cioè varia istante dopo istante.

Grafico (V, t)

La velocità rapportata al tempo, non è costante.

Grafico (s, t)

Nel grafico (s, t) vediamo zone pendenti (alte velocità), zone piane (velocità nulle) e zone in “discesa” (velocità negative, cioè con verso opposto al precedente).

Il rapporto s/t ci dà la velocità media.

Nel moto vario la velocità continua a cambiare, cioè assume valore inferiori e superiori rispetto alla media.

Nel calcolo della velocità istantanea si può notare che Δt=0. La matematica ci viene incontro con l’uso dei limiti: basta pensare ad un Δt molto piccolo per ottenere questa formula:

In altre parole, la velocità istantanea non è altro che la velocità media calcolata su un intervallo di tempo piccolissimo (istante di tempo).

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Quando la velocità varia nel tempo, si dice che c’è accelerazione. Per definizione l’accelerazione è la variazione della velocità che avviene nell’unità di tempo. Essa è dunque data dal rapporto fra la variazione di velocità e il tempo in cui avviene tale variazione. Si misura in [m/s²].

Anche per l’accelerazione esiste il concetto di accelerazione media e accelerazione istantanea:

In particolare, l’accelerazione istantanea altro non è che l’accelerazione media calcolata in un istante di tempo.

3.4 Moto rettilineo uniformemente accelerato

Il moto uniformemente accelerato si ha quando la velocità varia in modo lineare, cioè quando l’accelerazione è costante. Ciò vuol dire che la velocità aumenta (o cala) regolarmente nel tempo. Inoltre, accelerazione costante vuol dire che l’accelerazione istantanea ha lo stesso valore dell’accelerazione media in ogni istante di tempo.

Quindi:

Se t =0, cioè se il cronometro è posto a 0 al tempo iniziale, allora: i

Da cui abbiamo:

e alla fine otteniamo la legge oraria delle velocità:

Grafico (V,t)

Ovviamente se V =0 cioè il punto parte da fermo, si ha semplicemente: i

• Se l’accelerazione è grande, la retta è molto pendente.
• Se l’accelerazione è piccola, la retta è poco pendente.
• Se l’accelerazione è nulla e la velocità è diversa da 0, la retta è parallela all’asse dei tempi (x).
• Se l’accelerazione è negativa, la retta è in “discesa”.

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Esempio: se io mi trovo ad una certa quota e lancio un sasso in aria, all’inizio il sasso salirà lungo la verticale fino a raggiungere il punto di massima quota, dopodiché comincerà a scendere verso il basso.

All’inizio la velocità è positiva (>0) però il moto è ritardato perché la velocità man mano diminuisce e il sasso sale sempre più lentamente. Dopodiché una volta che la velocità comincia ad essere negativa (ciò vuol dire che il sasso sta scendendo) ma aumenta sempre di più, quindi il moto è accelerato.

In tutto questo, l’accelerazione rimane sempre costante.

3.6 Moto armonico

Il moto armonico è il moto oscillatorio in cui l'oggetto in movimento ripercorre sempre, avanti e indietro, lo stesso tragitto. La velocità è la velocità angolare (espressa sempre in radianti, mai in gradi).

Nel grafico (s, t) l'ampiezza dell'oscillazione è la distanza che separa il valore massimo della curva da quello minimo. Il periodo di oscillazione è la durata di un'oscillazione completa (avanti e indietro). La frequenza è il numero di oscillazioni complete effettuate in un'unità di tempo.

dove:

• S è lo spazio.
• A è il raggio.
• Α=ωt ed è l’angolo che varia nel tempo.

andando a sostituire otteniamo:

Tra spazio e accelerazione c’è un legame, infatti il grafico dell’accelerazione è esattamente lo stesso dello spazio, solo che è ribaltato perché c’è segno -

ω è sempre una quantità positiva, ma visto che davanti ha il segno – allora la funzione dell’accelerazione è sempre negativa. 2

Inoltre il moto armonico è un moto periodico.

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3.7 Moto e