Finanza aziendale - Appunti completi (2025-2026)

Finanza aziendale

Tassi di interesse e rendite

Il valore di un asset per un’impresa è determinato dal suo prezzo nel mercato concorrenziale. Con quest’ultimo si intende un mercato che funziona alla perfezione, con tantissimi player e scambi, privo di asimmetrie informative, ostacoli agli scambi e manipolazioni. Il valore di un bene viene detto fair value e deve essere usato per condurre scelte finanziarie: indipendentemente dalla percezione personale, il fair value indica il vero valore. I benefici e i costi di una decisione dovrebbero essere valutati utilizzando questi prezzi di mercato.

Quando, ad una data convenzionalmente scelta come riferimento, il valore dei benefici supera quello dei costi la decisione aumenterà il valore di mercato dell’impresa. Tuttavia, molto raramente tutti i benefici e i costi si manifestano nella data specifica, generalmente si collocano in momenti diversi. Il punto chiave è capire il fair value di benefici e costi e confrontarli ad una data omogenea.

Fino a quando i flussi di denaro sono «contemporanei», possiamo valutarli semplicemente sommandoli o sottraendoli tra loro. La cosa cambia quando i due flussi sono su piani temporali diversi.

ex) Viene proposto di versare 100 euro oggi per averne 105 l’anno prossimo. La cosa è conveniente? La risposta è dipende: quanto varranno i nostri 100 euro tra un anno se li risparmiamo? O quanti soldi dovrei depositare oggi per averne 105 l’anno prossimo? Ciò dipende dal tasso di interesse.

L’affare è da considerarsi ottimale se esistesse la possibilità di depositare in banca i medesimi soldi in un conto sicurissimo, ottenendo un tasso analogo (5% in questo caso). Se così è, dal punto di vista finanziario, questo è un affare equo: mi verrà pagato quel che riceverei da un investimento alternativo sicuro.

Nel nostro caso, dopo un anno dal deposito del capitale iniziale avremmo:
100 + (5%*100) == 100 (5%+1) == 100*1,05 =105

Il tasso d’interesse è definito come il costo intertemporale del denaro.

Esistono due modi per verificare la convenienza di un investimento.

• La capitalizzazione lavora sul futuro, ci permette di verificare quanto sarà il valore futuro del capitale inizialmente versato, anche detto montante = × (1 + )
• L’attualizzazione lavora sul presente, ci dice quanto bisognerebbe investire oggi per avere un certo capitale in futuro, capirne il suo valore attuale = (1+)

La legge del prezzo unico dice che “Se opportunità di investimento equivalenti vengono scambiate simultaneamente in mercati concorrenziali diversi, devono essere scambiate allo stesso prezzo in entrambi i mercati”.

In altre parole un bene dovrebbe essere venduto allo stesso prezzo (il suo fair value) sulle varie piattaforme. Grazie ad essa, all’interno del mercato concorrenziale sono assenti anche le possibilità di arbitraggio, ovvero di comprare e vendere beni equivalenti in mercati differenti per sfruttare la differenza di prezzo. Ciò permette di realizzare un profitto positivo senza incorrere in alcun rischio. Con la legge del prezzo unico in vigore, un prodotto è venduto da ogni ente al suo fair value.

Dalle formule di capitalizzazione e attualizzazione è possibile ricavare il tasso d’interesse corrente sapendo i valori di capitale iniziale e futuro. = −1

Orizzonte multi-periodale

Le cose cambiano se si vogliono tenere in considerazione anni successivi al primo. Di fatto a questo punto si differenzia tra:

• Capitalizzazione semplice, si reinveste sempre lo stesso capitale iniziale
• Capitalizzazione composta, si reinvestono anche gli interessi

In realtà è impossibile reinvestire i flussi di un investimento allo stesso tasso di rendimento da esso offerto (ex. Ottengo al primo anno interessi al 5%, al secondo difficilmente li riavrò). Per convenzione, però si considera così.

La formula per la capitalizzazione composta è la seguente: = × (1 + ) = (1+)

Pagamenti infra-annuali

Non sempre gli interessi vengono liquidati su base annua, anche in questo caso si usa una convenzione.

• Il tasso di interesse (annuo) viene diviso per il numero di pagamenti
• La parentesi (1+i) viene elevata per il numero totale di pagamenti

Il tasso percentuale annuo (TPA) è il tasso che ci viene comunicato alla sottoscrizione del contratto.

Esempio

Supponiamo di avere un conto corrente, su cui sono depositati 100$, che paga interessi al 6% annuo, con periodicità quadrimestrale. Quale rendimento otterrò a fine anno?

L’anno viene diviso in 3 parti, in cui ogni volta mi verrà dato un terzo del tasso annuo, cioè il 2% in questo caso.
3( )6%100 × 1 + = 100 × (1 + 2%) = 106, 12083

In generale, il tasso annuo effettivo è definito come:
( ) = 1 + −1

N=numero di sottoperiodi
TPA = tasso percentuale annuo

Eliminando il -1 dalla formula, otteniamo il tasso periodale, cioè l’interesse che verrà pagato ad ogni periodo.

Il tasso annuo effettivo è quanto risulta tenendo conto della capitalizzazione degli interessi: se gli interessi vengono aggiunti più volte durante l’anno, il costo/rendimento dell’investimento sarà più alto di quello nominale.

Come posso capire se due tassi sono equivalenti?

Supponiamo di avere TPA 12% con pagamento semestrale (6% a volta)
2( )12% = 1 + − 1 = 12, 36%2

Quale dovrebbe essere il tasso trimestrale offerto dalla banca su un altro conto per rendere i due equivalenti? (?=tasso trimestrale)
2( ) 4412% —--->1+ − 1 = (1 +?) − 1 12, 36% = (1 +?) − 12 14 —-> —-> TASSO41, 1236 = (1 +?) 1, 1236 − 1 =? ? = 2, 956%
TRIMESTRALE = 2, 956% × 4 = 11, 98%2

Perché bisogna aspettarsi meno di 12 come tasso percentuale annuo per il tasso equivalente (cioè moltiplicando il periodale per 4)? Perchè più si fraziona l’anno, più è alto il tasso effettivo visto che si capitalizzano gli interessi sugli interessi. Per arrivare quindi al TAE comune, quello tra i due che paga più spesso dovrà partire da un TPA più basso per compensare. (Il primo TPA 12% e pagava semestrale, è chiaro che il secondo che capitalizza trimestralmente dovrà avere un TPA minore perchè se fosse maggiore o uguale a 12 allora i TAE non sarebbero uguali)

Due tassi equivalenti sono tassi diversi pagati con frequenze diverse ma che danno lo stesso capitale a fine periodo.

ex) Si ha la possibilità di comprare un’auto o pagando subito 20000 euro o con 3 rate annuali da 7000 euro. Il tasso d’interesse è del 2%.

Si tratta di flussi su anni diversi e quindi non trattabili direttamente: va applicata a ciascuno l’attualizzazione per riportarli a t0. Questo funziona se i flussi sono pochi.
7000 7000 70001 = = 6862, 75€ 2 = = 6728, 18€ 3 = = 6596, 26€
2 31,02 (1,02) (1,02) = 20187, 19€ > 20000€

In questo caso, al tempo t0, il totale delle rate è superiore a 20000 euro e quindi conviene pagare tutto subito.

Rendite

Le rendite sono una serie di flussi con una certa periodicità e durata. Si classificano in 3 principali classi:

• Rendite temporanee o perpetue: le prime hanno durata finita, le seconde vanno avanti indefinitamente nel tempo
• Rendite anticipate o posticipate: le prime pagano all’inizio del periodo, quindi il primo pagamento è subito a t0, le seconde invece pagano alla fine del periodo, iniziando dal t1
• Rendite immediate o differite: le prime pagano al primo periodo dopo la sottoscrizione del contratto, all’inizio se anticipata o alla fine se posticipata, le seconde iniziano a pagare dopo alcuni periodi (il primo pagamento non sarà a t1, ma magari a t3, t7, t10…).

Il valore attuale dell’immediata è più alto della differita perchè, attualizzando rendite con rate di importo analogo al tempo t0, la seconda usa tassi di sconto (divisori della formula (i+1) più elevati).

[Possono esistere rendite sia anticipate che differite allo stesso tempo: pagano dopo una serie di periodi ma all’inizio (t0) del primo utile]

Il valore attuale (VA) è il valore “ad oggi” della rendita (cioè il valore futuro attualizzato) o comunque riferito al periodo immediatamente precedente alla prima rata (se la prima rata è a t1, il valore attuale parla di t0, se è a t5, il VA è a t4). Nel caso di rendite differite, questo valore andrà poi attualizzato a t0.

n è il numero di periodi; se la rata non ha cadenza annuale occorre quindi aggiustare il numero di periodi. i è il tasso per il singolo periodo, ottenuto dividendo il TPA (comunicato dalla banca) per il numero di periodi di pagamento per cui è frazionato l’anno.

[!!! Tutte le formule delle rendite funzionano se le rate sono uguali !!!]

Rendite perpetue

Il valore attuale di una rendita perpetua a rata costante (con primo flusso a t1) si calcola come:
1 =

Il valore attuale di una rendita perpetua con rata crescente ad un tasso +g invece si calcola come:
1 = −

[g potrebbe essere il tasso d’inflazione per far sì che il capitale non venga eroso. Questa tipologia di rendita rende di più e quindi richiederà un maggior capitale iniziale per sottoscrivere il contratto]

ex) Si sottoscrive un contratto che garantisce 1000€ ogni anno per sempre, il primo flusso è previsto il prossimo anno. Il tasso di rendimento offerto da esso è l’8%. Quanto si deve pagare per assicurarsi il contratto?
10001 = = = 12500€ 0,08

La domanda iniziale si può parafrasare anche come: “Dato il tasso di rendimento pari all’8%, quanto si dovrebbe depositare su un conto corrente per avere 1000 di interessi all’anno?”
€

Si ipotizzi che il titolo non offra un efficace recupero dell’inflazione (che si stima essere pari al 2%). Quanto costerebbe un investimento rivalutabile secondo quel tasso di crescita?
1000 10001 = = = = 16667€− 0,08−0,02 0,06

Rendite temporanee

Nel caso di rendite temporanee, il loro valore attuale si calcola come la sottrazione tra due rendite perpetue: una che parte da t1 e un’altra che parte dal primo periodo dopo la fine del versamento delle rate.

dim) Si supponga di avere una rendita temporanea che paga rate annuali per n periodi (F1 = F2 = … = Fn). Ne vogliamo calcolare il valore attuale.

• Si calcola il VA di una rendita perpetua che paga da t1 = 0
• Da t(n+1) però sappiamo che le rate non vengono più pagate, quindi calcoliamo il VA di una rendita perpetua che paga da quel periodo. Il risultato però sarà riferito a tn e andrà quindi attualizzato di n periodi. = 0 (1+)

La differenza ci dà il valore attuale di una rendita temporanea a rata costante (con primo flusso a t1)
( ) ⎡⎢ ⎤1 1 1+1 +1 1 = − = × 1− = × − ⎥ +1 ⎣ ⎦
(1+) (1+) ×(1+1)

Il montante invece della medesima rendita si ottiene come:
[ ] (1+) −1⎡⎢ ⎤+1= × (1 + ) − 1 = × ⎥ +1 ⎣ ⎦

[Esso risponde alla domanda: “Quanto sarà il valore della mia rendita ad un dato periodo?” E’ il valore futuro di tutti i pagamenti della rendita al termine dell’ultimo periodo]

i deve essere concordato con la cadenza della rata, così come il periodo (ex. rata mensile, tasso mensile, durata in mesi).

ex) Un amico di 35 anni intende garantirsi un capitale una volta in pensione (che si suppone maturi a 65 anni). Se versa per i prossimi 30 anni 10.000 euro in un prodotto pensionistico senza tasse o spese, che garantisce un rendimento annuo del 10%, quanto potrà prelevare a scadenza?
30 17,449−1(1+0,1) −1⎡⎢ ⎤ ⎡ ⎤ = 10000 × = 10000 × = 10000 × 164, 5 = 1645000⎥ ⎣ ⎦0,1 0,1⎣ ⎦

ex) Una banca concede un prestito da rimborsare in rate costanti mensili di 500 euro nei prossimi 30 anni, al TPA del 6%. Che cifra ci si aspetta di ricevere oggi?
⎡⎢ ⎤ 11 1 ⎡ ⎤ = 500 × − = 500 × 200 − = 500 × [200 − 33, 208⎥ ⎣ ⎦360 0,005×6,02260,005⎣ ⎦0,005×(1+0,005)= 500 × 166, 792 = 83396

Tassi reali e tassi nominali

Come abbiamo visto, quando si ha un tasso di rendimento, bisogna capire quanta parte di esso sia veramente un guadagno, esistono quindi due diverse tipologie di tassi:

• Tasso nominale: tasso quotato dalle istituzioni finanziarie e usato per lo sconto o la capitalizzazione di flussi di cassa. Il TPA è un tasso nominale, per esempio. Tuttavia, dato che i prezzi nell’economia di solito aumentano a causa dell’inflazione, questo tasso non rappresenta il vero incremento di potere d’acquisto ottenuto con i nostri investimenti.
• Tasso reale: tasso di crescita del potere d’acquisto, corretto per l’inflazione. Esso dimostra realmente di quanto cresce la ricchezza. (Se nel contratto è espresso un TPA del 6%, a fine anno, a causa dell’inflazione non avrò davvero un aumento del 6%, ma meno)

1+ ’ = 1 + = 1+

Tale formula si può riscrivere, eliminando il denominatore, come:
(1 + )(1 + ) = 1 +

Visto che il tasso reale e l’inflazione sono numeri davvero piccoli, il loro prodotto lo sarà ancora di più e quindi considerabile come trascurabile. Da qui l’approssimazione di Fisher: ≈ −

Un altro concetto da sottolineare è che, nella realtà, investimenti con scadenza diversa hanno tassi di rendimento diversi (mentre noi per semplificare usiamo un tasso unico e costante). La relazione tra la durata di un investimento e il suo tasso di interesse è espressa dalla cosiddetta yield curve o curva dei rendimenti. Essa consente di estrarre informazioni sulle aspettative e rappresenta un benchmark per i rendimenti a diverse scadenze.

Valore attuale netto

Grazie a tassi di interesse e rendite si è in grado di misurare i costi e i ricavi nel tempo e quindi di valutare se un investimento crei o meno valore. Il valore attuale netto (VAN) è la differenza tra ricavi e costi riportati ad un’unica data, essenziale nella validazione degli investimenti: più esso è positivo, più si crea valore, viceversa se negativo. Esistono anche criteri alternativi per valutare ciò, ma hanno grandi limiti applicativi. VAN nulli non apportano variazioni di valore, ma sono fondamentali come riferimento per due motivi:

• Identificare i punti di pareggio. VAN nulli indicano sotto che livelli e parametri aziendali non bisogna scendere per evitare di perdere valore.
• Identificare il fair value. Negli esercizi precedenti, la soluzione corrispondeva sempre ad un VAN nullo: di fatto si calcolava quanto fosse giusto pagare/ricevere in specifiche situazioni, ovvero senza impoverire né arricchire.

Criteri di scelta degli investimenti

“Come si valuta la convenienza di un progetto?” Si utilizza il VAN, prevedendo e attualizzando i flussi di cassa generati dal progetto e attualizzandoli secondo il giusto tasso. Se il risultato è positivo, il progetto crea valore.

“Dove si trovano i valori da utilizzare a questo scopo?” I flussi sono previsioni: si stimano costi e ricavi previsti, tenendo conto di ammortamenti e altre variabili. Il tasso di attualizzazione corretto è il tasso di rendimento che dovrei ottenere da investimenti di analogo rischio.

Esistono diversi criteri di valutazione per gli investimenti, ma il VAN è il migliore per svariate ragioni:

• Riconosce il valore intertemporale del denaro
• Dipende solo dai flussi di cassa attesi e dal costo opportunità del capitale, non da criteri contabili.
• Ha proprietà additive: VAN di progetti diversi possono essere sommati

Un’indagine presso manager di aziende americane ha messo in risalto la diffusione dei vari criteri tra le varie realtà: nonostante il VAN rimanesse il più