Esercizi svolti e teoria per Teoria dei circuiti

Capitolo 1: resistenze equivalenti

Bipolo

Bipolo = elemento a due morsetti A e B, su cui è possibile definire le due grandezze corrente I e tensione V.

I = corrente.

V = tensione.

Convenzione

La corrente e la tensione hanno un significato fisico: la corrente è un flusso di elettroni e la tensione è la differenza di potenziale tra due nodi.

In TDC la corrente e la tensione sono oggetti matematici che rispondono a una determinata convenzione scelta da chi risolve il circuito.

Convenzione dei generatori = corrente e tensione sul bipolo hanno lo stesso verso (sono concordi verso destra o verso sinistra). Attenzione: la convenzione non modifica il funzionamento del bipolo.

Convenzione degli utilizzatori = corrente e tensione sul bipolo hanno verso opposto. Nei bipoli passivi uso la convenzione degli utilizzatori. Nei bipoli attivi uso la convenzione dei generatori.

Resistore

R = resistenza.

G = conduttanza.

Legge di Ohm. Legge di Ohm (convenzione utilizzatori) (convenzione generatori). Corrente e tensione sono proporzionali e la costante di proporzionalità è la resistenza.

Resistenza equivalente

Resistenza equivalente = valore di resistenza che, sostituito al circuito tra i morsetti A e B, si comporta esattamente come il circuito.

Resistenza equivalente. Se il circuito è fatto solo da resistenze, la resistenza equivalente dipende solo dalla tipologia del circuito (da come sono connesse tra loro le resistenze, se in serie o in parallelo).

Connessione serie e connessione parallelo

Connessione serie. Un gruppo di resistenze è connesso in serie quando la corrente fluisce dalla prima resistenza alla seconda senza poter evadere e quindi hanno tutte la stessa corrente.

Connessione parallelo. Attenzione: per essere in parallelo devono condividere entrambi i morsetti. Un gruppo di resistenze è connesso in parallelo se le resistenze condividono gli stessi morsetti e quindi hanno tutte la stessa tensione.

Resistenza equivalente in serie. Resistenza equivalente in parallelo.

Legge di Kirchhoff alle maglie (KVL). Legge di Kirchhoff ai nodi (KCL).

Due resistenze sono in serie se sono le uniche a incidere sullo stesso nodo (non ci deve essere altro). Conduttanza. In parallelo sommo le conduttanze (in serie sommo le resistenze).

Legge di Ohm (conduttanze). Due resistenze sono in parallelo se condividono gli stessi nodi.

Algoritmo

Algoritmo (no generatori comandati, no configurazione triangolo stella).

• Cercare connessioni in parallelo e semplificare.
• Cercare connessioni in serie e semplificare.
• Quando si ha una sola resistenza si smette.

Regole generali:

• Qualsiasi coppia di nodi collegata da un filo metallico è un solo nodo.

Ramo = identifica un singolo elemento (generatore, resistenza, …).

Nodo = punto di connessione tra due o più rami.

Maglia = qualunque percorso chiuso in un circuito.

Esercizi

Esercizio 1

Ridisegno il circuito.

RzA Ra Rz B·R3RzA RR paralleloB Ine :· A *Ra Rz ) +-1 -R23R 12 67=t-= ,= Rz RzRzA R R2 serieIne :,B R23a R R33 7 167+= = ,aRa R23 R Rincidono soloqui e 23,R R234R=A ParalleloB Ine :·· L 1IR234 -) (ReqR-23a 373 l--= = + .R234R =R 334==> · -Aggiungo un generatore di corrente al circuitoRzA A Sgenerator Ac =. ?VaRa Rz B·AACalcolo la resistenza equivalente e la sostituisco al circuito.

Esercizio 2

Morsetti AB.

Morsetti AC.

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

E = generatore di tensione. La corrente è uguale per entrambe le resistenze.

Capitolo 2: regime stazionario

Circuiti con un solo generatore

E = generatore di tensione.

• Utilizzo le resistenze del circuito generico e la loro tipologia per calcolare la resistenza equivalente.
• Per calcolare la corrente si applica la legge di Kirchhoff alle maglie e ai nodi. La corrente Ie va a scorrere anche nella resistenza (somma delle correnti entranti nel nodo uguale alla somma delle correnti uscenti dal nodo).

A = generatore di corrente.

• Utilizzo le resistenze del circuito generico e la loro tipologia per calcolare la resistenza equivalente.
• Per calcolare la tensione si applica la legge di Kirchhoff alle maglie e ai nodi. La corrente Ie va a scorrere anche nella resistenza (somma delle correnti entranti nel nodo uguale alla somma delle correnti uscenti dal nodo).

Partitore di tensione

Partitore di tensione. Numeratore: R interessata dalla V in questione. Un partitore di tensione è un tipo di circuito costituito da due o più componenti passivi collegati in serie ai capi dei quali, se viene applicata una tensione, essa si ripartirà sulle stesse componenti in base al loro valore.

Uso la R interessata. Esempio:

Derivatore di corrente

Derivatore di corrente. Numeratore: R non interessata dalla I in questione. Esempio: uso la R non interessata.

Esercizi

Esercizio 1

a. Per trovare la corrente Ie uso Ohm e trovo la resistenza equivalente.

b. Per trovare le I e le V prendo il circuito e vado a ritroso (parto dal circuito con la resistenza equivalente e torno indietro nei passaggi).

Uso il derivatore di corrente.

Trovata la corrente I134: vado a vedere come è fatto il lato 134.

La corrente I134 si divide nelle resistenze 1 e 3 poste in parallelo e si ricongiunge intera nella resistenza 4.

Per I1 e I3 uso il derivatore di corrente. Attenzione: non considero 4 perché devo considerare solo il parallelo tra 1 e 3.

Per trovare le correnti di 1, 3 e 4 uso la legge di Ohm visto che ho le resistenze.

Trovata la corrente I256: vado a vedere come è fatto il lato 256.

La corrente I256 entra nella resistenza 2 e poi si divide nelle resistenze 5 e 6 poste in parallelo.

Per I5 e I6 uso il derivatore di corrente. Attenzione: non considero 2 perché devo considerare solo il parallelo tra 5 e 6.

Per trovare le correnti di 2, 5 e 6 uso la legge di Ohm visto che ho le resistenze.

Attenzione: sulla resistenza 2 c’è la convenzione dei generatori quindi c’è un meno davanti.

Esercizio 2

Attenzione: questo esercizio è fondamentale. Per risolvere questo esercizio devo trovare un numero di equazioni uguale al numero di incognite: mi servono 9 equazioni.

Icc = corrente di corto circuito.

Ie applicata con la convenzione degli utilizzatori.

• Scrivo le leggi di Ohm per tutti i bipoli passivi.
• Utilizzo la legge di Kirchhoff alle maglie (KVL).

Mi servono 3 maglie indipendenti ovvero le 3 maglie interne. La sommatoria delle tensioni lungo la maglia deve essere nulla. Per avere un sottosistema risolvibile manca una sola equazione.

• Utilizzo la legge di Kirchhoff ai nodi (KCL).

La sommatoria delle correnti in un nodo deve essere nulla. Posso risolvere il sottosistema.

• Devo trovare le due equazioni che mi permettano di trovare Ie e Icc. Utilizzo la legge di Kirchhoff ai nodi (KCL).
• Risolvo il sistema (algebra).

a. Voglio trovare il più piccolo sistema quadrato risolvibile: prendo le leggi di Ohm e le sostituisco nelle KVL4 RRE ' 0+ - =2 EVb)conohm)!RR3's Va a 4incognite0 eqin++ =,R1'1 Va G+ =1 1 A 0+ + =1(c A KCh0++ =TE 12 1 0+ =-.

b. Dal primo sistema di 4 equazioni in 4 incognite trovo In /3. Va..2 E& RiE RR 'RE ' 00+ +- -= =2 2- R3'3Rc'R3'3 Va R21 Ri =>G + 0-++ == -.-Sostituisco Va nella seconda eqRat 1R1'1 Va 1 AVa G = + 0+ =+ = =1 1 A 0+ + =.

c. Sostituisco i risultati nell’ultima parte del sistema che diventerà un sistema di 2 equazioni in due incogniteE TeTrovo1(c A 0++ =TE 12 1 0+ =-.

d. Sostituisco nelle leggi di Ohm e trovoIn Ve" "3/3. Va . ,..2E RY += =Mi" e=.

Esercizio 3

1 H A-"E 1 2 1 I morsetti li disegno per comoditàVAB-B. =. ..METODO I V V=KVI 07 - - ==V ROhm 11==.

Attenzione: il circuito è composto da un’unica maglia e quindi la corrente non può deviare (Ie, I1 e I2 sono uguali).

Metto le tre equazioni a sistema.

Metodo II: derivatore di tensione. E = tensione che voglio ripartire.

Note: V1: tensione relativa a R1. V2: tensione relativa a R2. V12 è la tensione relativa alla resistenza R12. Qui non c’è tensione perché non c’è resistenza??

Esercizio 4

Isx Idx I 1I I-Readx ï= t=>1 In RcA eI~ =2 + -7PeagA t=1dxSX RUso il derivatore di corrente per trovare la corrente destra e la corrente sinistra.

Attenzione: al numeratore metto le resistenze che non mi interessanoReasx1ax *= Readx Reasx+ Attenzione: al numeratore metto le resistenze che non mi interessanoReadx'sx 'sx 'sxA-1dx 'dxA Aoppure += -=Ready Reasx+ Uso il derivatore di corrente per trovare la corrente 3 e 4Uso il derivatore di corrente per trovare la corrente 1 e 2 RaRa 13lax 'sx=E* Rz RaR Rz += R3R 14 la 1sx 13'sxIdx 'c1(dx oppure+oppure= = == -2 R RaRzR +++.

Altro modo di disegnare il circuitoA !Un nodounico'I 13I !Un nodounicoc 3 42Rass Al numeratore metto la resistenza che non prendo in considerazionee s.

Esercizio 5

Metodo I

Generatori indipendenti. Quando metto un generatore indipendente di corrente su un ramo, su quel ramo scorre sicuramente la corrente A mentre la tensione Va dipende dal resto del circuito.

Generatore indipendente di corrente. Generatore indipendente di tensione. Quando metto un generatore indipendente di tensione su un ramo, su quel ramo si ha la tensione E imposta dal generatore mentre la corrente Ie dipende dal resto del circuito.

Generatori comandati. Generatore comandato di corrente. La corrente A che il generatore comandato di corrente va a imporre sul lato del circuito non è un dato ma è qualcosa che dipende da altre parti di circuito.

g = transconduttanza (coefficiente che ha un significato fisico, anche se non esiste realmente nel circuito). La corrente A dipende dalla tensione in un lato. V7 = tensione del lato 7. k = coefficiente adimensionale. La corrente A dipende dalla corrente in un lato. I7 = corrente del lato 7.

Legge di Ohm del generatore comandato di corrente.

Generatore comandato di tensione. La tensione E che il generatore comandato di tensione va a imporre sul lato del circuito non è un dato ma è qualcosa che dipende da altre parti di circuito.

La tensione E dipende dalla corrente in un lato. r = transresistenza (coefficiente che ha un significato fisico, anche se non esiste realmente nel circuito). I7 = corrente del lato 7.

La tensione E dipende dalla tensione in un lato. k = coefficiente adimensionale. V7 = corrente del lato 7.

Legge di Ohm del generatore comandato di tensione.

Consiglio: usare il concetto di resistenza equivalente solo con un generatore, non con più generatori.

Potenza

La potenza è il prodotto di tensione e corrente.

E = generatore.

P = potenza erogata dal generatore (il generatore è un elemento attivo).

Attenzione: i segni di I e V variano a seconda delle due convenzioni.

P = VI > 0 Il bipolo si comporta come un utilizzatore (coerente conv.). Bipolo convenzione utilizzatori.

P = VI < 0 Il bipolo si comporta come un generatore.

Bipolo convenzione generatori. P = VI > 0 Il bipolo si comporta come un generatore (coerente conv.).

P = VI < 0 Il bipolo si comporta come un utilizzatore.

La potenza è la capacità con cui assorbo o emetto energia nel tempo.

Il generatore può assorbire ed erogare.

Potenza assorbita. La resistenza può solo assorbire.

Potenza erogata.

Esercizi

Esercizio 1

? Yaz( V Ya leAz12. /3 /= ,c3 ,!2# incognite101 2xx"A " Ie 12, 9KCb= incognite: =+ 11 s↓- 3 2>YazScrivo le leggi di Ohm Y Ra1 & 7 incogniteequazioni in=1 Leggi di Ohm sulle resistenzeY2 1 R2=Vz 1zRz= Legge di Ohm del generatore comandato di correntegmYzAz =.

Scrivo le KVL V-=aE VzV1 V2 8+ +- =V 9Ya 7 incogniteequazionG In+ =.

Scrivo le KCL A 12- Seping incognite0- =A-1 -Az 9 incognite90 ineq+- = .

Risolvo il sistema Y Ra1=1Y2 1 R2=Vz 1zRz= a. Sostituisco le leggi di Ohm nelle leggi di KirchhoffgmYzAz = V-=aE VzV1 V2 8+ +- =V Ya G+ =Az 11 0- - =A! Az13 0- - =- =.

a. Sostituisco le leggi di Ohm nelle leggi di Kirchhoff.

Il sistema viene ridotto a un sistema da 3 equazioni in 3 incognite.

Trovo I1.

Uso I1 a ritroso per trovare:

Calcolo la potenza. Potenza A1. La convenzione su A1 è la convenzione dei generatori.

Potenza A2. La convenzione su A2 è la convenzione dei generatori.

La convenzione su E è la Potenza E convenzione dei generatori.

Esercizio 2

Scrivo le KVL.

Scrivo le leggi di Ohm.

Scrivo le KCL.

Sostituisco le leggi di Ohm nelle KVL e nelle KCL.

Esercizio 3

21 L l 12G = n)VaIdd = 41421 1 =11l -2 3 42 &la ↳ Kuft- C2 4YaVa C b 75 X V bb ! cols +: = 11 = La resistenza 4 e il generatore sono in serie14(b- : = 1/2 1la + =.

Trovo I4 1 2(a MAmaS 102 == .=.

Trovo Vd n 3 A10 - Vckn 10 ma 201 102 18= =. .= .= .a ,I mA10.

Trovo Ic e Ie I l MAS-- =>= =2 2.

Trovo I1 Il generatore e la resistenza 1 sono in serie/1 le MAS6 =: =.

Trovo I3 13 ! 1 SMA - 10MA 5 MA4 =: - -= =.

Trovo I2 la/ mAS2 : == - -Y1.

Trovo V1 e V4. Trovo V2 e V3 10R+1 -32 (2Rz15/ 5 A18 10/12 =. . -.= == -=Ral 18 A13 13Rz 103n20/ 40V5 8 = -...= -= = =a ,.

Trovo Vc e Ve con KVL Vc V Vz Yb= - -, V3VV Vd 45+ -- =-2.

Trovo Va con KVL Ya 12Vc V60= - =.

Calcolo le potenze.

Mi aspetto che le potenze sulle resistenze siano positive perché la resistenza può solo assorbire.

Trovo le potenze dei generatori.

Bilancio di potenze.

Capitolo 3: metodi sistematici

Metodi sistematici

Il nodo del bipolo viene indicato con un pallino e un cerchio con all’interno il numero del nodo. Attenzione: con i metodi sistematici non bisogna ridisegnare il circuito.

Il lato del bipolo viene indicato con una freccia e un quadratino con all’interno il numero del lato. Attenzione: i metodi sistematici si basano sull’avere la convenzione degli utilizzatori ovunque!!

Metodo dei potenziali di nodo. Metodo delle correnti di maglia.

Vengono indicate con numeri romani le correnti. Viene scelto un nodo come nodo di riferimento ideali circolari che circolano nel circuito e viene indicato nella figura con il simbolo.

I metodi sistematici servono a risolvere in modo sistematico (tutti insieme) il sistema con leggi di Ohm, KVL e KCL.

Metodo delle correnti di maglia

Si basa sulla scrittura delle leggi di Ohm in resistenza.

Convenzione degli utilizzatori.

Resistenza.

Generatore di tensione ideale.

Generatore di tensione reale.

Il generatore ideale di corrente non ha una legge di Ohm in resistenza.

Generatore di corrente ideale.

Generatore di tensione reale.

Il più semplice bipolo lineare

Legge di Ohm in resistenza. Devo trasformare il generatore ideale di caso che non posso rappresentare: generatore ideale di corrente BE 0=, corrente in due generatori reali di corrente.

Caso circuito di questo tipo: ciascuno dei lati va rappresentato con il più semplice bipolo lineare-sO AiViLato i-esimo RitiEi + -=sempre positiva.

Dati:i Ri· i segno che dipende dal comportamento.