Esame Algebra e geometria sintetici

Name: Esame Algebra e geometria sintetici
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Author: amammmama

Revisionato il 10/07/2026

di amammmama

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Appunti molto sintetici per l'esame di Algebra e geometria passato con 30 e lode,qui c'è tutto quello di cui c'è bisogno per passare l'esame ,nient'altro. basato sul corso e sullo …

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pasotti Anita

Università Università degli Studi di Brescia

A.A. 2022-2023

113 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Algebra

Insiemi

Operazioni tra insiemi

Intersezione -> A ∩ B : {x | x ∈ A e x ∈ B}
Unione -> A ∪ B : {x | x ∈ A o x ∈ B}
Differenza -> A \ B : {x | x ∈ A e x ∉ B}
Prodotto cartesiano: Insieme di coppie ordinate con a ∈ A, b ∈ B, A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B} ≠ B × A

Funzione

Si prendono due insiemi A e B. Si dice applicazione o funzione di A in B: F : A → B, una legge di associare ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. ∀ x ∈ A ∃! g ∈ B | f(x) = g

Funzione identica: F : A → A associa ad ogni elemento l'elemento stesso.

Immagine di una funzione: insieme di valori assunti dalla funzione contenuti nell'insieme di arrivo, e può coincidere con lo stesso. Imf = {g ∈ B | ∃ x ∈ A : f(x) = g}

Tipologie di funzioni

Iniettiva: el. distinti in el. distinti F : A → B, ∀ x, y ∈ A x ≠ y → f(x) ≠ f(y)
Suriettiva: ogni el. di B è immagine di almeno un el. di A, ∀ g ∈ B ∃ x ∈ A | f(x) = g
Biiettiva: se iniettiva e suriettiva

Composizione di funzioni

Funzione composta: si dicono con la composizione due funzioni; f : A -> B g : B -> C, g composta f = g(f(x)) g(f(x))

Funzione invertibile

È una funzione per la quale è possibile definire una nuova funzione da ricavare il contrario di legge f. f : A -> B è invertibile se esiste g : B -> A tale che g o f = Id_B

Funzione involuzione

È l'inversa di se stessa: f : A -> A è involuzione se f = f^-1, cioè f o f = i_A

Relazioni su un insieme

Una relazione su un insieme A è un sottoinsieme R del prodotto cartesiano A X A

Proprietà

Riflessività: ∀ x∈A, x R x
Simmetria: ∀ x,y ∈ A ⇒ xRy ⇒ yRx
Antisimmetrica: ∀ x,y ∈ A ⇒ xRy ⇒ yRx ⇒ x=y
Transitiva: ∀ x,y,z ∈ A ⇒ xRy ⇒ yRz ⇒ x Rz

Una relazione si dice:

D'equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva
D'ordine se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva

Partizioni

È un sottoinsieme di A che messo assieme con gli altri crea l'insieme A. Può essere diviso in sottoinsiemi tra loro disgiunti ma di insieme ancora A. Dette classi solo se aRb è una relazione d'equivalenza.

Operazioni su insiemi

Definizione: Si dice operazione interna e binaria su un insieme A una funzione *: A x A → A (risultato interno all'insieme) (a, b) → a * b

Proprietà: * → è un'operazione binaria su A se

Commutativa se ∀a, b ∈ A, a*b = b*a
Associativa se ∀a, b, c ∈ A, (a*b)*c = a*(b*c)
Elemento neutro: ∃e ∈ A in (A, *) se ∀a ∈ A, a * e = e * a = a. Deve essere unico.

Dimostrazione per assurdo

Tesi: e unico

Ipotesi: a elemento

∃! e ∈ A

Considero e₁ = ap.t e*e₂ = e * e₁ = e₁

Considero e₂ = e e*e₂ = e₂*g₂ = e₂

Allora e₁ = e₂

Definizione di invertibilità

Dato (A,*), un insieme con elemento neutro e, un elemento a∈A si dice invertibile se ∃! a^-1∈A : a*a^-1 = a^-1*a = e

Dimostrazione per assurdo

Tesi: unica

Ipotesi: ≥2 elementi: a^-1, a^-1'∈A a^-1 = a^-1*e = e*^-1*a^-1' = (a^-1*a)*a^-1' = e*a^-1' = a^-1'

Strutture algebriche

Gruppo (G,*) è un gruppo se:

* è associativa
∃ di. neutro
∀ g∈G, g è invertibile

Se (G,*) è commutativo, il gruppo è abeliano.

Campo (A,+,.) è un campo ↔

(A,+) è un gruppo abeliano
(A-{0}, .) è un gruppo abeliano
Due relazioni le proprietà distributive

Spazio vettoriale

Definizione: Dato (K, +, ·) un campo i cui elementi sono detti scalari e dato V i cui elementi sono detti vettori, V è uno spazio vettoriale sul campo K, V(K) se sono definite due operazioni:

Operazione interna ed infittizia: ⊕ : V x V -> V, v₁ + v₂ -> v₁ ⊕ v₂
Operazione esterna: ∃ λ : V su K

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