Equazioni differenziali

Equazioni differenziali ordinarie lineari

Nelle equazioni differenziali, l'incognita è una funzione derivabile varie volte e l'equazione coinvolge le sue derivate, coefficienti noti, termini noti.

_{Ordine dell'equazione: grado di derivazione massimo nell'equazione}

"Ordinaria" significa che l'incognita è una funzione di una sola variabile reale e quindi la derivazione può essere presa solo in questa variabile.

\( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \) \( \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \)

\( I \subseteq \mathbb{R} \) intervallo

\( C^1(I) = \) spazio vettoriale delle funzioni derivabili una volta su \( I \) con derivata continua

\( C^2(I) = \) spazio vettoriale delle funzioni derivabili 2 volte su \( I \) con derivata seconda continua

\( f, g \in C^d(I) \Rightarrow \lambda f + \mu g \in C^d(I) \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R} \)

\( \tilde{L}: C^1(I) \rightarrow \mathbb{R} \) è lineare se \( \tilde{L}(\lambda f + \mu g) = \lambda \tilde{L(f)} + \mu \tilde{L(g)} \) \( \forall f, g \in C^1(I) \)

_{\( \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R} \)}

ES: \( h' = \frac{d}{dx} \bigg|_{x = x_0} \) con \( x_0 \in I \)

Esempi di EDOL

1. Moto uniformemente accelerato

\( t \rightarrow S(t) \) spostamento

\( S''(t) = a \quad con \quad a \in \mathbb{R} \)

3. Equazioni differenziali ordinarie lineari

Nelle equazioni differenziali l'incognita è una funzione derivabile varie volte e l'equazione coinvolge le sue derivate, coefficienti noti, termini noti.

F(x,u,u',u'',...u⁽ⁿ⁾) =

"Ordinaria" significa che l'incognita è una funzione di una sola variabile reale e quindi le derivazioni possono essere prese solo in questa variabile.

L_λ, L_μ ∈ ℝ² → ℝ²

L_λ (λx + μy) = λL_λ(x) + μL_λ(y)x, y ∈ ℝ² λ, μ ∈ ℝ²

I ⊆ ℝ intervallo

C¹(I) = spazio vettoriale delle funzioni derivabili una volta su I con derivata continua

C²(I) = spazio vettoriale delle funzioni derivabili 2 volte su I con derivata seconda continua

f, g ∈ C⁴(I) ⇒ λf + μg ∈ C⁴(I) ∀λ, μ ∈ ℝ

L_i: C¹(I) → ℝ è lineare se L(λf + μg) = λL(f) + μL(g) ∀f, g ∈ C¹(I) ∀λ, μ ∈ ℝ

ES: h'=d(h/dx)

ES: h' = d/dx x|_x=x0 con x₀ ∈ I

Esempi di EDO

1. Moto uniformemente accelerato

t → s(t) spostamento

s''(t) = a con a ∈ ℝ

Una soluzione di s''(t) = 2 è:

s(t) = s₀ + V(0)t + 1/2 t²s'(0)

1. Moto armonico:

ms''(t) + ks(t) = 0

Massa

Costante di elasticità

Sz = spostamento rispetto ad un equilibrio

s''(t) = -^k/_ms(t)

Funzioni la cui derivata seconda è l'opposto della funzione seno e cos, ma non siamo sicuri che siano le sole

Moto armonico smorzato:

ms''(t) + bs'(t) + ks(t) > 0

3. Decadimento esponenziale:

u'(t) + λu(t) = 0

u'(t) = -λu(t)

Soluzione: u(t) = C e^-λt con C ∈ ℝ

EDOL del primo ordine

DEF: Sia I ⊆ ℝ intervallo e siano c, f: I → ℝ continue. Diciamo che u: I → ℝ è una soluzione dell'EDOL u' + c.u = f se u è derivabile su I con derivata continua (u ∈ C¹(I)) e vale (x) + c(x)u(x) = f(x) ∀x ∈ I

Inoltre, chiamiamo integrale generale l'insieme di tutte le soluzioni

OSS: Se c(x) = 0 ∀x ∈ I, l'EDOL diventa u'(x) = f(x) ∀x ∈ I

U deve essere una primitiva di f

= > L'EDOL si può risolvere con il teorema di Cauchy

TEOREMA: I ⊆ ℝ intervallo e c: I → ℝ continua. L'EDOL u' + c.u = 0 (EQ. OMOGENEA = termine noto = 0) possiede infinite soluzioni e il suo integrale generale è uno spazio vettoriale di dimensione 1. Inoltre se x₀ ∈ I e μ₀ ∈ ℝ allora il problema di Cauchy

u' + c.u = 0

u(x₀) = μ₀

ha una e una sola soluzione

Dimostrazione: Sia C: I → ℝ una primitiva di c. E l'EDOL u' + c.u = 0 è equivalente a e⁰ⁱ _C. (e⁰ⁱ μ = 0 cioè (e⁰ⁱ μ)' = 0 ^{si ricorda che (e⁰ⁱ)'.C} cioè e' è costante su I. Quindi esiste a ∈ ℝ tale che e⁰ⁱ (x) = a, quindi μ(x) = a e⁻⁰ⁱ (x) ∀x ∈ I. Inoltre, suppone μ(x₀) = μ₀ implica imporre e