Energia

ENERGIA

E_c = 1/2 mv² ⇒ ENERGIA CINETICA

L = F · s ⇒ LAVORO DI UNA FORZA

definito come il prodotto di forza e spostamento

L si misura in JOULE (J -> N · m)

forza costante che agisce su un corpo che segue il vettore spostamento s

vettore spostamento OP = 3i + 2j

forza F = 4j

lavoro L = F · s = F · OP

Definito il lavoro L in forma generale considero ora una curva y su cui un corpo si muove e una forza F che e indipendente dal punto, in questo caso il lavoro L e definito come

L = ∑ F_i · s_i ⇒ ∫_γ F · ds

ovvero una somma sugli spostamenti infinitesimi.

Se considero un sistema unidimensionale, considerando l'asse x, il lavoro fatto da una forza vale:

L = ∫_xi^x_f F_x dx

ESEMPI

I) Lavoro fatto dalla forza peso: Considero un corpo che cade verticalmente da altezza y=h fino a raggiungere l'altezza y=0.

In questo caso L = ∫_yi^y_f F(y) dy = ∫_h⁰ F(y) dy = - ∫₀^h F(y) dy = mg ∫₀^h dy = mgh

N.B.: il lavoro e positivo, il campo gravitazionale spostando il corpo da un punto pi* alto ad uno pi* basso esercita sul corpo una forza costante e continua e quindi un lavoro.

Si puo anche vedere nel caso in cui consideriamo il vettore spostamento s:

s = y_f j - y_i j = -h j, la forza e F = mg = -mg j quindi il lavoro L:

L = F · s = (-mg j)(-h j) = mgh

II) Considero una molla compressa di Δx = x - x₀, il lavoro compiuto quando la molla ritorna al punto di lunghezza a riposo x₀ e:

L = - ∫_x^x₀ k(x-x₀)dx = -k ∫_x^x₀ (x-x₀)dx = -k [∫_x^x₀ x dx - ∫_x^x₀ x₀ dx]

= -k [(½x²)_x^x₀ - [x₀x]_x^x₀] =

= -k [½x₀² - ½x² - x₀x₀ + x₀x] = ½k(x₀² + x² + 2x₀x) = ½k(x-x₀)² ⇒

L = ½k(Δx)²

positivo

TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA

Il teorema dell'energia cinetica lega il lavoro esercitato da una forza su un corpo di massa m alla variazione dell'energia cinetica del corpo, in particolare il teorema afferma che:

Il lavoro esercitato dalla forza risultante su di un corpo e uguale alla variazione di energia cinetica del corpo

L = 1/2 m(v²_f - v²_i)

Infatti L = integral da r_i a r_f Fd(r) = integral da r_i a r_f m a d(r) = m integral da r_i a r_f dv/dt d(r) = m integral da r_i a r_f dv/dt dt/dt d(r) = m integral da r_i a r_f dv/dt dv = 1/2 m v²_f - 1/2 m v²_i

"Quando un corpo passa dalla posizione iniziale A alla posizione finale B la variazione di energia cinetica e uguale al lavoro fatto dalla risultante delle forze sul corpo"

ESEMPI

1. Corpo di massa m che cade da altezza h con velocita iniziale v_i = 0, qual e la velocita quando va per toccare il suolo?

   Utilizzo il teorema dell'energia cinetica

   L_p = 1/2 m(v²_f - v²_i) => mgh = 1/2 m(v²_f - v²_i)

   2mgh = 2 1/2 m(v²_f - v²_i)

   2mgh = m(v²_f - v²_i)

   v_i = 0

   2gh = v²_f => v_f = sqrt(2gh)

2. Blocco di massa m che scorre senza attrito su un piano orizzontale:

   La forza totale che agisce sul corpo e F_tot = mg + N = 0

   Nota anche che le forze sono perpendicolari allo spostamento e quindi non esercitano alcun lavoro, dal teorema dell'energia cinetica ricavo che se il lavoro e nullo non c'e variazione di energia cinetica, di conseguenza il corpo si sta muovendo a velocita costante.

   L = 1/2 m(v²_f - v²_i) = 0 <=> v²_f - v²_i = 0 <=> v_f = v_i = 0

3. Forza centripeta su un corpo in moto circolare uniforme

   Poiche la forza centripeta F_c e sempre perpendicolare allo spostamento infinitesimo, F · d(r) = 0 => il lavoro e sempre nullo.

   L = integral F(r)d(r) = integral |F| |d(s)| cos(theta) = integral |F| |d(s)| cos(pi/2) = 0

   Quindi la forza centripeta non compie lavoro; infatti, in accordo con il teorema dell'energia cinetica, quest'ultima rimane costante.

Molla di costante elastica k compressa per un tratto Dx = (x - x₀), a un corpo di massa m attaccato, quando la molla viene rilasciata, qual e la velocita del corpo quando passa per x₀?

Utilizzo il teorema dell'energia cinetica:

L = 1/2 m(v_f² - v_i²) = 1/2 m v_f² - 1/2 m v_i² = 1/2 m v_f² =>

=> 1/2 m v_f² = 1/2 k(x - x₀)² => v_f = sqrt(k(x - x₀)²/m) = sqrt(k(Dx)²/m)

POTENZA

Si definisce come la derivata del lavoro L => P = dL/dt (watt = J/s), derivata del lavoro rispetto al tempo, infatti indica la quantita di lavoro in un secondo

kW/h => kilowattora, lavoro svolto da una macchima che sviluppa una potenza in un'ora.

Se si svolge un lavoro di 1 J in 1 s si ha una potenza di 1 W

Volendo subito un esempio: un ragazzo che tira con una fune una cassa su un piano sopra che ha coefficiente di attrito dinamico mu_d = 0,15, la cassa ha massa m = 75 kg e la fune ha un angolo rispetto all'orizzontale di 30.

Supponendo che la cassa si muove a velocita costante calcola:

1. la tensione T della fune
2. il lavoro seguito dal ragazzo se il tratto percorso e l = 20 m
3. il lavoro seguito della forza di attrito.

F_x = T cos(alpha) - F_A = 0 => O_y = 0 m/s² => F_y^g = 0 N => non c'e spostamento lungo l'asse y

F_y = -mg + |N| + T sen(alpha) = 0 => a_x = 0 m/s² => il corpo si muove a velocita costante => F_x = 0 N

T cos(alpha) = mu_d|N|

|N| = mg - T sen(alpha)

T cos(alpha) = mu_d(mg - T sen(alpha))

T cos(alpha) = mu_dmg - mu_dT sen(alpha)

T(cos(alpha) + mu_dsen(alpha)) = mu_dmg

a) T = mu_dmg / (cos(alpha) + mu_dsen(alpha))

L = F · s

cos i = 20i

L = (T cos(alpha) i + T sen(alpha) j)(20i) = 20 cos(alpha) T =>

L = 20 cos(alpha) mu_dmg / (cos(alpha) + mu_dsen(alpha))

L_TOT = L_FA + L_T = 0 J

Un corpo di massa m scivola su un piano inclinato sopra con coefficiente di attrito dinamico mu_d = 0.1, il piano fa un angolo rispetto all'orizzontale theta = pi/6, la velocita iniziale e v₀ = 10 m/s e la variazione di quota che il corpo compie e h = 2,3 m. Calcolare la velocita v con cui il corpo arriva sul fondo.

Utilizzo il teorema dell'energia cinetica

L = 1/2 m(v_f² - v_i²)

F_x = mg sen theta - F_A = m a_x

F_y = -mg cos theta + |N|

F_x = mg sen theta - mu_dmg cos theta

F_y = -mg cos theta - mg cos theta

L = F · s = F_xs_x + F_ys_y = mg(sen theta - mu_dcos theta)d = 1/2 m(v_f² - v_i²) => 2g(sen theta - mu_dcos theta)d = v_f² - v_i² =>

=> v_f² = 2g(sen theta - mu_dcos theta) + v_i² => v_f = sqrt(2g(sen theta - mu_dcos theta) + v_i)

CAMPI DI FORZE E FORZE CONSERVATIVE

Consideriamo un corpo che si muove in un campo di forze andando dal punto A al punto B seguendo la curva gamma.

Il lavoro svolto dal campo nel corpo e: L = integral from A to B of F dot d s.

DEF: una forza (o un campo) si dice conservativa se il lavoro non dipende dalla traiettoria (o della curva) ma solo dal punto iniziale e da quello finale <=> il lavoro fatto su una curva chiusa e zero => L = 0

L = integral from A to B of F dot d s + integral from B to A of F dot d s = integral from A to B of F dot d s + integral from B to A of F dot d s = integral from A to B of F dot d s - integral from A to B of F dot d s = 0

oppure

integral from A to B of F dot d s + integral from B to A of F dot d s = 0

andare dal punto A al punto B percorrendo la curva gamma₁ e poi da B ad A percorrendo gamma₂ equivale a fare entrambi gli spostamenti percorrendo gamma₁

DA QUI

0 = integral from A via gamma₁ to B of F dot d s - integral from A via gamma₂ to B of F dot d s => integral from A via gamma₁ to B of F dot d s = integral from A via gamma₂ to B of F dot d s

ESEMPI DI FORZA CONSERVATIVA:

1. FORZA PESO
2. FORZE ELASTICHE

La forza d'attrito invece NON e conservativa.

ENERGIA POTENZIALE

Dato un campo di forze conservativo, si definisce energia potenziale la funzione U(r), la quale dipende dal solo punto e definita a meno di una costante arbitraria:

U(B) - U(A) = - integral from A to B of F dot d s

ESEMPIO: CAMPO GRAVITAZIONALE

energia potenziale associata ad un corpo di massa m all'interno del campo gravitazionale terrestre:

U(h) - U(0) = - integral from 0 to h of F dot d s = -mgh

U(B) - U(A) = - integral from 0 to h of F dot d s = -(-mgh) = mgh => U(h) - U(0) = mgh

scelgo per comodita il punto in cui l'energia potenziale e zero al suolo, dove h = 0 quindi =>

=> U(h) - U(0) = m g (0) = o

CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA

Consideriamo un corpo che si muove in un campo di forza conservativo, il corpo avrà energia cinetica Ec = 1/2 mv², definiamo quindi l energia meccanica di un corpo come la somma tra la sua energia cinetica Ec e la sua energia potenziale U:

E_m = U + Ec

posso quindi definire la VARIAZIONE dell energia meccanica come:

AE_m = E_mf - E_mi = E_cf - E_ci + U(B) - U(A) = E_cf - E_ci - ∫ F⁰ ds

per il TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA so che AE_c = ∫ F ds

quindi posso riscrivere la relazione in questo modo

AE_m = E_cf - E_ci - (E_cf - E_ci) = 0

in un campo di forza conservativo la somma di U e Ec è sempre zero, di conseguenza ad U molto grande corrisponde Ec molto piccola e viceversa

sapendo AE_m sempre 0 possiamo dire che l energia meccanica si conserva, cioè non varia nel tratto percorso.

Questo esprime il fatto che un corpo che si muove in un campo conservativo può in qualche modo essere immagazzinato sotto forma di energia potenziale e, seppure dell energia cinetica, oppure viceversa, ottenere un lavoro dal movimento e quindi energia cinetica a scapito dell energia potenziale.

N.B.: in caso di presenza di attrito l energia potenziale NON si conserva, si conserva l energia totale, cioè la somma di Ec, U, E_m e del lavoro che è il modo in cui l energia viene dispersa.

ESERCIZI

1) Consideriamo uno scivolo alto 20 m e un corpo che si lancia a velocità iniziale V_i = 2 m/s, lo scivolo è senza attrito ed ha una traiettoria irregolare, e al termine della quale vi è una piscina. Con quale velocità il corpo entra in acqua? (V_f)

Conservazione

E_mi = E_mf

E_m = U + Ec => 1/2 mv² + mgh = 1/2 mv_f² =>

=> V_f = sqrt(V₀² + 2gh)

2) Una molla di costante k è compressa per un tratto x e, allo scatto, spinge fino a lanciare una palla di massa m. Qual è l altezza h raggiunta dalla palla riprendendo il lancio verticale?

Energia potenziale della molla: U_p = -∫ -kx dx = 1/2 kx² => U_p = E_mi = 1/2 kx² =>

=> Se E_mi = E_mf e E_mf = mgh allora 1/2 kx² = mgh =>

=> h = kx² / 2mg