Due domande parte orale Analisi matematica 1

QUESITO 1

1) Relazione d’ordine e relazione di equivalenza

Sia S un insieme non vuoto e R una relazione binaria in S.

Si dice che R è una relazione di equivalenza su un insieme S se soddisfa le

seguenti proprietà:

-​ riflessiva: se xRx per ogni x∈S;

-​ simmetrica: se ogni qualvolta xRy→yRx;

-​ transitiva: se ogni qualvolta xRy e yRz→xRz.

Si dice, invece, che R è una relazione d’ordine parziale su un insieme S se

essa è riflessiva, transitiva e antisimmetrica (se ogni qualvolta xRy e yRx,

allora x=y)

Infine, R è una relazione di ordine totale su un insieme S se soddisfa le

seguenti proprietà:

-​ riflessiva: se xRx per ogni x∈S;

-​ antisimmetrica: se ogni qualvolta xRy e yRx, allora x=y;

-​ transitiva: se ogni qualvolta xRy e yRz→xRz;

-​ ordine totale: per ogni x,y∈S S si ha xRy oppure yRx.

La retta R, con la relazione <= diventa insieme ordinato, infatti:

x<=x x∈R;

●​ ∀

x<=y e y<=x x=y x, y∈R;

●​ → ∀

x<=y e y<=z x<=z x, y,z∈R;

●​ → ∀

x<=y o y<=x x, y∈R di ordinamento

●​ →

2) Insiemi separati e contigui

Due insiemi A,B⊆R si dicono:

-​ separati se a∈A b∈B a<b;

→

∀ ∀

-​ contigui se supA=infB oppure supB=infA.

3) Massimo e minimo di un sottoinsieme A⊆R

Il massimo (minimo) di un sottoinsieme A⊆R è quell’elemento x0∈A tale

che, se esiste, x≤x0 per ogni x∈A (x>=x0 per ogni x∈A). Ovviamente se

esistono sono unici.

4) Estremo superiore (sup) e estremo inferiore (inf) di A⊆R

Sia A⊆R:

Un numero a∈R è un maggiorante di A se x≤a per ogni x∈A. Se A non

vuoto e limitato superiormente, allora l’insieme M dei maggioranti ha

minimo. Quest’ultimo è chiamato estremo superiore di A e indicato con sup A.

Analogamente un numero b∈R è un minorante di A se x>=b per ogni x∈A.

Se A non vuoto e limitato inferiormente, allora l’insieme m dei minoranti ha

massimo. Esso è detto estremo inferiore di A e indicato con inf A.

Valgono le seguenti proprietà:

-​ infK<=supK per ogni k∈R;

-​ se A⊆B⊆R, con B limitato superiormente,-->supA<=supB

-​ se A⊆B⊆R, con B limitato inferiormente-->infA>=infB

5) Modulo di un numero reale

Dati x∈R definiamo modulo di x indicato con |x| il numero reale positivo.

Esso è uguale a x se x>=0 o uguale a -x se x<=0. Valgono i seguenti fatti:

-​ |x|>=0 per ogni x∈R e |x|=0 x=0

←>

-​ |-x|=|x| per