Domande d'esame Tecnica delle costruzioni M

Analisi matriciale diretta

[k]{α} = {F_o} - {F}

1. Blocco tutti i movimenti possibili
2. Capire quali siano le forze che causano i movimenti che ho bloccato
3. Sblocco un movimento alla volta e ci ragiono
4. Assemblo la matrice k
5. Scrivo il mio sistema

Automatica

[k]{α} = {F} {S^*}

1. Isolo l'asta ed esplicito le reazioni incontro perfetto
2. Ragiono su β e S
3. Scrivo [k]
4. Passaggio dal sistema locale a quello globale con la matrice di rotazione
5. Matrice d'incidenza
6. Scrivere quadratini colorati, che testimoniano relazione tra x e k
7. Assemblaggio matrice finale gdl x gdl

Analisi matriciale diretta

[k]{α} = {F₀} - {F}

1. Blocco tutti i movimenti possibili.
2. Capire quali siano le forze che causano i movimenti che ho bloccato.
3. Sblocco un movimento alla volta e ci ragiono.
4. Assemblo la matrice k.
5. Scrivo il mio sistema.

Automatica

[k][α] = {F} {S*}

1. Isolo l'asta ed esplicito le reazioni incontro perfetto Ŝ.
2. Ragiono su β e S – causa movimento.
3. Scrivo [k].
4. Passaggio dal sistema locale a quello globale con la matrice di rotazione.
5. Matrice d'incidenza.
6. Scrivere quadratini colorati, che testimoniano relazione tra x e k.
7. Assemblaggio matrice finale gdl × gdl.

gdl = nodi × 3

Pedro: quanti movimenti indipendenti

Schemi notevoli

a) b) M c) M d) M e) f) P g) M h) M i) M

PL³ = P/μ

μ = 12EJ/L³ = 12R

6EJ/L²

12EJ/L³

12EJ/L³

6EJ/L²

PL³/3EJ = P/μ

Rigidezza traslazione

μ = 3EJ/L³ = 3R

μ = F/d

Rigidezza traslazione

K·UU = EI/L²

Rigidezza rotazione

W = K·RR = EJ/L

3EJ/L³

3EJ/L³

3EJ/L²

Casi notevoli

U = E_L^L3

U12

UR = E_L^L

Ingiudonianegligiamo aste, qui e' U non R, perché′ aste Tesla.

Metodo automatico

5 l.d.l

3 g.d.l. piano del piano = 15 g.d.l. = Sistema Totale

6 g.d.l. = Sistema locale asta singola

g.d.l. modello = (15-6) = 9 g.d.l

Matrice rigidezza asta - Riferimento locale

k_i,j = EA/L

Simmetrica a sopra

Sistema riferimento locale

{S} = [k]{β̅} + {S̅}

Matrice rotazione - Aste inclinate

{β̅} = [R]{β}

β̅ = sistema locale

β = sistema globale

Passaggio da riferimento locale a globale

β₁ = β₁ ⋅ cos α + β₂ ⋅ sin α

β₂ = -β₁ ⋅ sin α + β₂ ⋅ cos α

β₃ = I ⋅ senso rotazioni, valore del coefficiente uguale ad I non deve essere proiettato

Matrice rotazione -> invertibile ed ortogonale

cos α sin α 0 -sin α cos α 0 0 0 1

Vuoto Tutto nulla

La matrice qui sopra dipende dall'inclinazione delle aste

BC - sistema congruente

AB + CE ⟶ cosa

{ { } } = [R^T] { {¯s} }

Passaggio dal riferimento locale a globale

Passo dalla matrice 6 x 6 ⟶ 15 x 15

Matrice d'incidenza

→ Pongo tutti i e O nelle matrice

{ { } } = [ I^k ] { { } }

[R^T] { { } } = [R^T] { [ I^k ] } [R^T] { { } }

{ { } } = [R^T] { k ⋅ { { } } } [R^T] { { } }

{ { } } = [ I^k ] [ I^N ] { { } }

[ I^k ] = matrice imposta sull'asse ortogonale

cos α sin α 0 -sin α cos α 0 0 0 1

k = matrice luogo globale sulla asse ortogonale

B = [R] β₁

matrice trasporto

passaggio da sapere

Matrice d'incidenza

β = [A]^-1 α

Righe - D.o.f. come β

Colonne - n.g.d.l.

Matrice d'assemblaggio

D = 15 x 15

β = [Δ]{x}

S = [K][Δ]+[R]{ }

[K]{x}={f}-{ }

Si fa la somma dei componenti della matrice di rigidezza.

In 4, 5, 6 - si sommano le rigidezze.

{f} = [K]{α} + {s}

Asta BC

Asta BD

matrice rigidezza

per singola asta.

{F} = [k] {α} - {S*}

α è per 1,2,3,4,5

Dove abbiamo spostanti non abbiamo incognite.

Le F sono quindi: 1, 2, 3, 4, 5.

[K₁₁  K₁₂] [K₂₁  K₂₂] [u₁] [u