Dimostrazioni più importanti

Teorema di unicità del limite

Data una successione convergente ⇒ se ha un limite (l ∈ ℝ) è unico.

Dimostrazione per assurdo

Supponiamo che lim a_n = l₁ con l₁ ≠ l₂ n→∞ lim a_n = l₂ n→∞.

Dalla definizione di limite: ∀ ε > 0 ∃ K: n ≥ K |a_n - l₁| ∀ ε > 0 ∃ K: n ≥ K |a_n - l₂| ⇒ ciò implica che fissato ε e con K abbastanza grande le 2 definizioni valgono insieme e sommando le 2 disuguaglianze |a_n - l₁| + |a_n - l₂| n - l₂| = |l₂ - a_n| |a_n - l₁| + |l₂ - a_n| applicando la diseguaglianza triangolare |l₁ - l₂| ≤ |a_n - l₁| + |l₂ - a_n|.

La disuguaglianza |l₁ - l₂| 0. L'unica scelta che verifica la disuguaglianza è l₁ = l₂ e che nega Hp di partenza.

Teorema Carabinieri

Siano {a_n}, {b_n}, {c_n} 3 successioni t.c. a_n ≤ b_n ≤ c_n ∀ n ∈ ℕ.

Se a_n → l, c_n → l con l ∈ ℝ ⇒ b_n → l.

Dimostrazione

Teorema di unicità del limite

Data una successione convergente ⇒ se ha un limite (l ∈ ℝ) è unico.

Dimostrazione per assurdo

Supponiamo che _limn→∞ a_n = l₁ con l₁ ≠ l₂.

Dalla definizione di limite ∀ ε > 0 ∃ K ∈ ℕ : |a_n − l₁| < ε ∀ n > K ∀ ε > 0 ∃ K ∈ ℕ : |a_n − l₂| < ε ∀ n > K ⇒ ciò implica che fissato ε e con K abbastanza grande le 2 definizioni valgono insieme e sommando le 2 disuguaglianze |a_n − l₁| + |a_n − l₂| ≤ ε + ε e sapendo |a_n − l₂| = |l₂ − a_n| |a_n − l₁| + |l₂ − a_n| ≤ 2ε.

Applicando la disuguaglianza triangolare |l₁ − l₂| ≤ |a_n − l₁| + |l₂ − a_n| ≤ 2ε.

La disuguaglianza |l₁ − l₂| ≤ 2ε ∀ ε > 0 l'unica scelta che verifica la disuguaglianza è l₁ = l₂ che nega l'ipotesi di partenza.

Teorema Carabinieri

Siano {a_n}, {b_n}, {c_n} 3 successioni t.c. a_n ≤ b_n ≤ c_n ∀ n ∈ ℕ.

Se a_n → l, c_n → l con l ∈ ℝ ⇒ b_n → l.

Dimostrazione

Per definizione di limite, fissato ε>0 ∃ N₁, N₂ t.c. l−ε < a_n < l+ε ∀ n > N₁.

l−ε < c_n < l+ε ∀ n > N₂.

Definiamo N₃=max(N₁,N₂) t.c. per ogni n > N₃ si ha che l−ε < a_n < b_n < c_n < l+ε ⇒ l−ε < b_n < l+ε ∀ n > N₃.

Così significa lim_n→+∞ b_n = l ovvero b_n→l ∎

Corollario

Siano {a_n} e {b_n} due successioni t.c. b_n→0 {a_n} limitata ⇒ a_n・b_n → 0.

Dimostrazione

Una successione è limitata ⇒ ∃ M > 0 t.c. |a_n| ≤ M.

b_n è infinitesima ⇒ ∀ ε>0 t.c. ∀ n > N₁ |b_n| < ε / M.

|a_nb_n| = |a_n|・|b_n|.

|a_nb_n| ≤ M・ε / M = ε dato ε può essere scelto arbitrariamente molto piccolo → tende a 0 per n→+∞.

lim_n→+∞ a_n・b_n = 0.

Teorema condizione nec. convergenza

Se una serie Σ_n=1^∞ a_n converge allora a_n→0 per n→+∞.

Dimostrazione

Se la serie converge, significa che la successione delle somme parziali S_n= Σ_n=1ⁿ a_n ha un limite finito S cioè lim_n→+∞ S_n = S.

a_n = S_n- S_n-1. Poiché S_n→ S S_n-1→ S.

Questa condizione è necessaria ma non sufficiente.

Teorema di regolarità

Sia Σ_n=1^∞ a_n una serie def. a termini non negativi.

• Converge ↔ la succ. delle somme parziali (S_n) è limitata.
• Diverge ↔ S_n→+∞.

Dimostrazione 1)

Se Σ_n=1 a_n converge il suo valore di somma S è finito. Pertanto, S_n è limitato dal valore S S_n ≤ S.

Dimostrazione 1) ←

Siccome a_n≥0, S_n è monotona crescente, se S_n è limitata, per il teorema di convergenza per succ. monotone lim_n→+∞ S_n = S (finito) converge a tale somma.

Dimostrazione 2)

S_n non è limitato S→+∞ → la serie banalmente diverge dato che lim_n→+∞ S_n = +∞.

Criterio della radice

Sia \( a_n > 0 \) def. e supponiamo che \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = l \in \mathbb{R}^+\).

Se \( l \gt 1 \) converge preso \(\epsilon \gt 0 \) t.c. \( l \lt l + \epsilon \).

Dalla def. di limite \(\exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \gt N\) \(\sqrt[n]{a_n} \lt (l+\epsilon) \Rightarrow a_n \lt (l+\epsilon)^n\).

Per il criterio del confronto dove \( a_n \lt b_n \) se \(\sum b_n \) converge \(\Rightarrow \sum a_n \) converge.

\(\sum a_n \) converge essendo una serie geometrica con \( q \lt 1 \Rightarrow \ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) converge.

Se \( l \lt 1 \Rightarrow \) diverge.

Analogamente al caso 1 e sempre per la def. di limite \( a_n \gt (1+\epsilon)^n \).

I termini \( a_n \) non tendono a zero viene meno la condizione necessaria.

\( l = + \infty \) questo implica \( \forall \ M \exists N_M + \cdot c \Rightarrow \sqrt[n]{a_n} \gt M \) per ogni \( n \gt N_M \).

\( a_n \gt M^n \).

Da ciò si ricava dei termini \( a_n \) che tende a 0 ma cosa senza limite diverge.