Dimostrazioni elettrostatica

Dimostrazione martedì 25 ottobre 2022

Campo elettrostatico

Principio di sovrapposizione: in presenza di un sistema di cariche puntiformi, la forza esercitata sulla singola carica i-esima è pari alla somma delle forze che tutte le altre, prese singolarmente, esercitano sulla carica i-esima. E_i = x_i. Campo per distribuzione continua di carica d_v = densità volumetrica di carica. Campo elettrico per dipolo ù^rù ⋅ p̂ = 0. ⨂ dx principio di sovrapposizione. |E₁| = |E₂| (stessa distanza e stessa carica in modulo). E = E_x + E_z. E_x = 2E_x = cos⨂a = Flusso di Ē attraverso una superficie orientata.

d Legge di Gauss. Ed calcolare campo generato da Q attraverso la superficie. dEdZT Angolo solido totale sotto la superficie Z viene vista. Carica Q esterna carica concentrata con linee e discrete con dù. Dimostrazione martedì 25 ottobre 2022 - 13:15. CAMPO ELETTROSTATICO. Principio di sovrapposizione: in presenza di un sistema di cariche puntiformi la forza esercitata sulla singola carica i-esima è poi data alla somma delle forze che tutte le altre, prese singolarmente, esercitano sulla carica i-esima. E_i = ΣE_j. Campo per distribuzione continua di carica E = ¹/_4πε0 ∫ ^ρdτ/_|R-r'|³ ù ρ_e = densità volumetrica di carica. Campo elettrico per dipolo E = ^p/_{4πε0(a²+y²)^3/2} ù con p=qd |E'|=|E| E_x=2E_x=0. Flusso di E attraverso una superficie orientata Φ_Σ(Ē) = Σ uniforme Φ_Σ(Ē) = ∫ E·dΣ legge di Gauss εS=Φ_Σ(Ē)+divergenza dalla legge di Coulomb Φ_Σ(Ē)=εE_cons costante se superficie è sfera angolo solido totale. Q esterno a ΣE = ^Q/_4πε0r².

Teoria

Pagina 1 campo compatibile con ê_in e discordante con ê_out. div (Ê) = αρ = ^p/_ε0 (Formulazione locale legge di Gauss) dim 1d φ(Ê) = d φ(Ê_x) + d φ(Ê_y) + d φ(Ê_z) d φ(Ê) = -Ê_z dA_z = Ê_x dy dz + Ê_y dx dz = ^∂Ex/_∂x dx dy dz. Campo elettrostatico sfero σ_s0 div Ê = ^ρ/_ε0 superficie di Gauss -> cilindro simmetrico rispetto al piano di carica stessa. Non c'è flusso attraverso superficie laterale essendo prodotto scalare con la normale alla superficie laterale = 0. Variazione del campo nell'attraversare una spira di carica faccia tendente a 0 il raggio del cilindro -> cilindro schiacciato sulla superficie.

Potenziale elettrostatico

Lavoro e potenziale campo elettrostatico generato da operativa della differenza di potenziale tra due punti. Potenziale di un dipolo disoso un congiunge centro del dipolo con P. Potenziale di un piano di carica illimitato. Relazioni tra grad in generale nella direzione 2^a equazione di Maxwell per campi statici rot ∠E = 0 E_x = -∂v/∂x E_y = -∂v/∂y E_z = -∂v/∂z | ∠E_x E_y E_z || ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z | → campo elettrico irrotazionale. Equazioni di Poisson e Laplace Poisson: ▽²V = -ϱ₀/ε₀ Laplace: ▽²V = 0 div ∠E = ∇ ⋅ ∠E = -ϱ/ε₀ ∇²V = ∇⋅(∇V) = -ϱ/ε₀ ∇⋅(∇V) = ∂²V/∂x² + ∂²V/∂y² + ∂²V/∂z² se ϱ=0 → eq. di Laplace ▽²V=0.

Energia potenziale elettrostatica

Energia potenziale con carica non libera U_q = qV      dW^est = dU_e dU_e = dU_m + dU_c + dU_k = 0 dU_m + qdV = 0 dU_k + qdV = dU_m + dU_k = dU_e → ∫_A^∞ dW^est = U_e(B) - U_c(A). Energia potenziale del sistema di cariche U_q= ½ Σ q_iV_i V_ik = k Q_k/r_ik \(V₁₂ = k Q₁/r₁₂ + Q₂/r_12\). Conservazioni energia meccanica con carica libera ΔK = -qΔV dU_e = dU_m + dU_c + dU_k = dQ - qdV = -dU_k = dU_p = dU_k + dU_e = 0.

Elettrostatica nei conduttori e nei dielettrici

Campo, carica e potenziale δ_int = 0 Q_int = 0 V = costante Un conduttore è equipotenziale ∮ ∠E ⋅ d∠s = 0. Cavità come schermo elettrostatico ∮ ∠E^int ⋅ d∠s = 0 ∮ ∠E^int ⋅ d∠s = 0 Q_li ⁺⁼ Q_- + Q₊ = 0 → con schermo anche dall'interno. Teorema di Coulomb ∠E_est ⋅ d∠s = Q_int / ε₀ Teorema di Coulomb E_est = σ_fⁱⁿ / ε₀ ∮ σ_z dz = -Q ∮ σ_z dz = +Q E_est dZ = dα Z = σ dZ / ε₀ E_int = 0. Conduttore carico superficialmente E_int = 0 E_est = 0 E_est = σ_f ω E_int &cong 0, E_int ≠ 0 E_int ⌅ E_int^int = σ dω. Potenziale sfera conduttiva V_sfera = Q / 4πε_R superficie sfera = equipotenziale e campo è costante V_sfera = 1/(4πε) ∫ 1/R. Energia potenziale di una sfera carica U_s = 1 / 4πε_R U = &sigmas;² R_s2 sfere conduttive V₁ = V₂ O₁ + O₂ = O_tot.

Capacità e dielettrici

Capacità conduttore nel vuoto C = Q / V O₁ = Q' + O_tot onde C × moltiplico per un fattore K. Capacità della sfera C = O / V C = Q / O = 4πε₀R. Capacità di più corpi conduttori V_i = ∑j b_ijO_j Capacità di più corpi conduttori V_i = ^N∑_j=1 Θ_ij Q_j Q_i = ∑ α_ij V_j C = 1 / ρ₁₁ + ρ₂₂ - 2ρ₁₂ due corpi situazione ① Q₁ = 0 V₁ = ρ₁₁ Q₁ + ρ₁₂ Q₂ V₂ = ρ₂₁ Q₁ + ρ₂₂ Q₂ situazione ② Q₂ = 0 V₁ = β₁₁ Q₁ V₂ = β₂₁ Q₁ → V₂ : V₁ = V_1' : V_2' = β₂₁ α₁ + β₂₂ α₂ α₁ = α₂ Q_i = ∑ Θ_ij V_j C = ^Q/_ΔV = 1 / (β₁₁ ρ₁₂ - 2ρ₁₂). Calcolo della capacità del condensatore sferico C = ε₀ S = ^{4πϵ0 R₁ R₂} / (R₂ - R₁). Calcolo capacità condensatore ad armature piane V = a ε₀ E ΔV = εD ε₀ d Δ = C = ^ΔQ / ΔV = ε₀ S / d. Energia potenziale Up = ¼ ΔWQ = ¼ CΔV² = ½ C Q² Collegamento condensatori in parallelo Ceq = ∑ Ci. Collegamento condensatori in serie Δ = ⁴ / ∑Ci^α / ΔV. Costante dielettrica Costante dielettrica σ₀ Δl Δl σ E₀ E σ C₀ = σ₀/ΔVC = σ/ΔVC = C₀ - E_r = costante di dielettrica relativa σ/E ε₀ ε/E E= σ/Q C= Q/ΔV σ= σ₀ ε₀ E₀ E= ε E C= ε C₀.

Polarizzazione

Polarizzazione per determinazione ρ=0 × E ρ_p: ρ = 4 π k. Lavoriere in tutti i materiali anche quelli non polari. Modello idrogeno Forze che agiscono sulle cariche positive e su quelle negative, sono uguali, ma opposte e trovano delle due cariche coincidono. Sul protoni agiscono due forze σ=Z q z; F_c= σzE (campo coulombiano) X Gauss; Superficie sferica. E dT= q_x = q_z/^{q_x q_x; E = eterno al ∞} σ| ε₀:⁴ ρ: QP: Q_x = Δ ρ ε₀ × Q nel vuoto; P=0; polarizzazione. P₂: σ ;momento di dipolo/E per dielettrici omogenei isotopici e lineari carichi si bilanciano e \\/o dipolo netto all'interno del volume sulle superfici = variabili di polarizzazione σ = densità di carica di polarizzazione. Polarizzazione per orientamento ρ=2/σE × σ0&E agisce su molecole polari. Hanno qui un dipolo orientato in maniera casuale. Dipolo cost⟨ p₀ ⟩= dipolo=volume medio dal momento del dipolo L d: σ^{r 2}=^-2(t^g_tΓ=^t(b.=ε Blocco dielettrico nel condensatore. Immagine p. F= σcon. Eo=E F/εεC: 6εi=σF/εC |ρp|= E E *σp D=εσp|ε|= σ_r/εE P|σ|σp|σ|= &epsilonV=φ= φ 9: SD D/τs=.=/ρ-|.^O|.^la|σ|ε- Grado dielectriche 9|0 Dielettrici non omogenei. Cilindro ha una base libera. Se rimuovo il modulo σ_pz = P₀ · n in generale σ_pz ≠ P₀ · n. Carica di polarizzazione complessiva: ∮_{S imm} ρ_p dτ = 0 ∮ ρ_p dτ = 0. Formulazione locale del teorema di Gauss div D = ρ_e. P è un legame ad es. P =ε₀ χ E. div D = div (ε₀ E + P) ⇒ div E = div D ε₀.

Condizioni al contorno

1. Calcolo (σ) D_n = D_2N sul contorno di tre dielettrici. Discontinuità tra i due dielettrici: D₂ ≠ D₁. ∮_S ε₀E_N dτ = 0. Discontinuità tra i due dielettrici: E₁ ≠ E₂.

Corrente elettrica

Densità di corrente: j = N q v l. In condizioni normali j = N q v. Principio di conservazione della carica elettrica d_g = j_f·d_lł div J = -∂ρ_x/∂t. Condizione stazionarie nei conduttori div _v j = 0. i₁ = i₂ div j = 0. _dt = 0 _{S 2} Flusso entrante ed uscente si bilanciano, i due vettori sono ortogonali: j = j _in -> // _{s S 2 S 2 ^o} Legge di Kirchhoff ai nodi i _g - j = 0 _{S 3} Leggi di Ohm locali E = j _e; Modello classico di conduzione (Drude-Lorentz) r _d = eE _t con in oscillazioni ciclo su questa dev _d x _i e y _i parametro _ic y ^S = Dissipazione tecnica ^dv _{{dVn}dv ∫ s j = 0} dVn. = d _dt EL _]p