Diagrammi di Bode

Capitolo 5 – Diagrammi di Bode

Documento di Studio per l'Esame

1. Definizioni Importanti

Definizione – Diagrammi di Bode: Rappresentazione grafica della funzione di trasferimento valutata

sull'asse immaginario , per . Poiché , si traccia con due diagrammi separati:

+

G(jω) ω ∈ R G(jω) ∈ C

Diagramma del modulo: ordinata , ascissa

∣G(jω)∣ = 20 log ∣G(jω)∣ log ω

dB 10 10

​ ​ ​

Diagramma della fase: ordinata in gradi, ascissa

∠G(jω) log ω

10 ​

Definizione – Decade: Intervallo sull'asse logaritmico delle frequenze compreso tra e per

k k+1

10 10

qualsiasi . Tutte le decadi hanno la stessa ampiezza in scala logaritmica.

k ∈ Z

Definizione – Forma di Bode: Scrittura canonica della funzione di trasferimento che evidenzia

esplicitamente i singoli termini contribuenti:

r c ^

z z

​ ​ 2 ζ 1

i 2

​ ​

∏ τ

^ ∏ ( 1 + s + s )

(1 + s) ⋅

i

​ ​ ​ ​ ​

2

ω

^ ω

^

i

k ​ ​

i

B i=1 i=1

​

G(s) = ⋅ r c

​ ​

g p p

s ​ ​ 2ζ 1

i 2

​

∏ τ ∏ ( 1 + s + s )

(1 + s) ⋅

i

​ ​ ​ ​ ​

2

ω ω

i i

​ ​

i=1 i=1

Il simbolo distingue i parametri del numeratore da quelli del denominatore.

^

⋅

Definizione – Parametri della forma di Bode:

Simbolo Nome Significato

Guadagno di Bode Termine costante moltiplicativo

k ∈ R

B ​ : poli in ; : zeri in

Tipo del sistema

g ∈ Z g > 0 g s = 0 g < 0 −g s = 0

Termine binomio Radice reale in

1 + τs s = −1/τ

Coppia di radici complesse coniugate (solo se )

Termine trinomio

2ζ 1 2

i ​

1 + s

s + ∣ζ ∣ < 1

i

2

​ ​ ​

ω ω

i ​ ​

i N° zeri/poli reali Termini binomio al num./den.

r , r

z p

​ ​ N° coppie complesse Termini trinomio al num./den.

c , c

z p

​ ​

Definizione – Punto di rottura: Frequenza alla quale il diagramma asintotico cambia pendenza:

per il termine binomio

ω = 1/∣τ ∣

br ​ per il termine trinomio

ω = ω

br i

​ ​

2. Formule da Memorizzare

Conversione dB ↔ Modulo lineare: ∣G(jω)∣ = 20 log ∣G(jω)∣

dB 10

​ ​

dB ∣G(jω)∣

−20 0.1

0 1

20 10

40 100

60 1000

Termine costante :

k B ​ 0° k > 0

B ​

∣k ∣ = 20 log ∣k ∣ = cost. ∠k = {

B dB B B

10

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

−180° k < 0

B ​

Termine monomio :

g

1/s

1 = −20g log ω ⇒ retta di pendenza −20g dB/dec

10

​ ​ ​ ​ ​

g

(jω) dB 1 −g ⋅ 90°

∠ =

​

g

(jω)

Termine binomio — Modulo asintotico:

T (s) = 1 + τ s 0 dB ω ≪ 1/∣τ ∣

∣T (jω)∣ ≈ {

dB ​ ​ ​

20 log ( ω∣τ ∣) dB ω ≫ 1/∣τ ∣

10 ​

Errore massimo dell'approssimazione asintotica: in .

±3 dB ω = 1/∣τ ∣

Termine binomio — Fase: +90° τ > 0

ω≫1/∣τ ∣

∠T (jω) = {

arctan(ωτ ) ​ ​ ​

−90° τ < 0

Termine trinomio — Radici: Il trinomio ha radici:

2ζ 1 2

i

T (s) = 1 + s

s +

​ 2

​ ​

ω ω

i ​

i

2

s = −ζ ω ± j ω 1 − ζ 0, ∣ζ ∣ < 1)

(ω >

1,2 i i i i i

i

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Termine trinomio — Modulo asintotico: 0 dB ω ≪ ω i ​

∣T (jω)∣ ≈ {

dB ​ ​ ​

40 log ( ω/ω ) dB ω ≫ ω

i i

10 ​ ​ ​

Pendenza asintotica: a destra di .

±40 dB/dec ω i ​

Termine trinomio — Fase: 2ζ ω /ω +180° ζ > 0

ω≫ω

i i i

i

​ ​ ​

​

arctan

∠T (jω) = ( ) {

​ ​ ​ ​

2

2

1 − ω /&om