Determinante

IL DETERMINANTE

DEFINIZIONE: Il determinante di A = ^{a b} _{c d} è definito dalla formula:

det A = ad - bc

Il caso di matrici 1x1 ^a è elementare: in questo caso, se A = ^a => DET(A) = a

PROPRIETÀ

1. det A^T = det A A^T = ^{a c} _{b d} det A^T = ad - cb det A = ad - bc
2. Scambiando due righe di A (o due colonne di A), il determinante cambia segno. Esempio: scambiando le righe di A otteniamo ^{c d} _{a b} det(B) = cb - ad = - (ad - cb) = -det(A)
3. Moltiplicando una riga o una colonna per un numero il determinante viene moltiplicato per lo stesso numero. Esempio: moltiplichiamo la 1ª riga per k, ^{ka kb} _{c d} det = k(ad - bc) = k · det A
4. Aggiungendo ad una riga/colonna un multiplo di un'altra riga/colonna il determinante non cambia. Esempio: aggiungiamo alla prima colonna un multiplo della seconda A = ^{a b} _{c d} A₁ = ^{a e} _{c f} A₂ = ^{b d} _{e f} det = (a+kb)(c+kd) - bc(ct+kd) = ad + kbd - bc - kbd = ad - bc
5. Il determinante di una matrice triangolare superiore è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale. Esempio: det ^{2 3 0} 4 1 2 0 0 4 = 4 · 3 · 1 · 4 = 12

Il Determinante

Il determinante è definito solo sulle matrici quadrate

Definizione: Il determinante di A = ^{a b} _{c d} è definito dalla formula: det A = ad - bc

Il caso di matrici 1×1 A = [a] è elementare: in questo caso, se A = [0] => det(A) = 0

Proprietà

1. det A^T = det A
   • A^T = ^{a c} _{b d}
   • det A^T = ad - cb => det A = det A^T
2. Scambiando due righe di A o due colonne di A, il determinante cambia segno.
   • ES: Scambiando le righe di A otteniamo B = ^{c d} _{a b}
   • det (B) = cb - ad = - (ad - cb) = - det (A)
3. Moltiplicando una riga o una colonna per un numero il determinante viene moltiplicato per lo stesso numero.
   • ES: Moltiplichiamo la 1^a riga per k ∈ R. Otteniamo B = ^{ka kb} _{c d}
   • det = ka·d - kb·c = k(ad - bc) = k · det A
4. Aggiungendo ad una riga/colonna un multiplo di un'altra riga/colonna il determinante non cambia.
   • ES: Aggiungiamo alla prima colonna un multiplo della seconda ^{a b} A₁ = ^{c d} A₂ = ^kb _kd
   • A₁ + kA₂ = ^{a + kb b} _{c + kd d}
   • det
     • (a + kb b)
     • (c + kd d)
   • = (a+kb)d - b(c+kd) = ad + kbd - bc - bkd = ad - bc
5. Il determinante di una matrice triangolare superiore è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
   • ES: det ^{2 0 0} _{1 3 0}
   • 2 4
   • 0 1
   • = 4 · 3 · 1 = 12

Interpretazione geometrica del determinante

A = _{[a b]}

     _{[c d]}

A₁ = _[c]

      _[d]

A₂ = _{[a b]}

      _[b]

Parallelogramma generato da A₁ e A₂

P

det A = Area (P)

Il segno si determina percorrendo il bordo di P proiettato dall’origine lungo il vettore A₁.

• Se il bordo è percorso in senso antiorario => det A > 0
• Orario => det A ≤ 0

I determinanti di matrici 2×2 sono aree orientate.

Esempi particolari

A₂ = _{[0 h]}

A₁ = _[a]

      _[0]

A₂ = _[u]

      _[h]

det(A) = a·h - u·0 = a·h

Vogliamo dare una formula per l’area (orientata) di un poligono arbitrario

conoscendo le coordinate dei vertici.

Notazione

Se A, B sono vettori colonna (2 elementi) indico con [A, B] la matrice 2×2 con colonne A, B

Es: A = _[40] B = _[49] => [A, B] = _{[-10 -9]}

          _{[42]           [48][-42 48]}

Proposizione

Scrivo P₀, P₁, ..., P_n i vertici di poligono P in (R² il piano).

L’area (orientata) del poligono P è data dalla formula

Area (P) = ½ | det [P₀ P₁] + det [P₁ P₂] + det [P₂ P₃]

+ ... + det [P_n+1 P_n] + det [P_n P₀]

MATLAB: det(A)

MAXIMA: determinant(A)

Esempio: Triangolo di base a e altezza h

P₁ = [0,0]

P₂ = [a,0]

P₃ = [u,h]

A_triangolo = ¹/₂ (det [P₁,P₂] + det [P₂,P₃] + det [P₃,P₁]) = ^a·h/₂

Esempio: Parallelogramma di base a e altezza h

P₁ = [0,0]

P₂ = [a,0]

P₃ = [u,h]

P₄ = [u+a,h]

Esempio: Trapezio di basi A e a, altezza h

P₁ = [0,0]

P₂ = [A,0]

P₃ = [u+a,h]

P₄ = [u,h]

A_trapezio = ^(A+a)·h/₂ (utilizzando factor (>):)

Interpretazione geometrica delle matrici 3x3

|det A| = volume

SVILUPPO DI LAPLACE DEL DETERMINANTE

Es: Posso (1,1) ⇒ (-1)¹⁺¹ = 1

- Posso (1,2) ⇒ (-1)¹⁺² = -1

Lo sviluppo di Laplace si fa lungo una riga o una colonna

ESEMPIO

A = 1 2 53 4 12 1 3

Notazione: il determinante di una matriceA = | * * | | * * |s'indica con det A = | * * | | * * |

det A = |1 2 5||3 4 1||2 1 3|

Facciamo lo sviluppo di Laplace secondo la 1º riga:

+1 | 4 1 | - 2 | 3 1 | + 5 | 3 4 | |- 1 3| |- 2 3| | 2 1|

= +1 ( 3 * 4 - 1 * 2 ) - 2 ( 3 * 3 - 6 * 1 ) + 5 ( 3 * 1 - 1 * 2 )= -1 * 2 * 5 = -2

Facciamo lo sviluppo di Laplace secondo la 2º colonna:

-2 | 2 5 | + 1 | 2 5 | - 1 | 2 3 | + 3 | 1 3 | |- 2 3| |- 1 3| |- 4 5| |- 4 3|

= -2 ( 3 * 3 - 2 * 1 ) + 4 ( 1 * 3 - 5 * 2 ) - 1 ( 4 * 4 - 5 * 3 )= -2 -7 + 16 = 2

ESEMPIO

Usiamo operazioni elementari su righe/colonne + Laplace

(det. cambia segno se moltiplico per-1 la 3º riga)

APPLICAZIONI DEI DETERMINANTI ALLA GEOMETRIA

GEOMETRIA PIANA

Equazione di una retta passante per due punti assegnati

P₁(x₁, y₁) e P₂(x₂, y₂)

in equazione si dato da

| x y 1 || x₁ y₁ 1 || x₂ y₂ 1 | = 0

ESEMPIO

P₁(2, 6) => | x y 1 | = | x + 3 y - 5 0 | | 2 6 1 | | 5 1 0 |P₂(-3, 5) => | -3 5 1 | | -3 5 1 |

Sviluppo secondo 3^a colonna:

(perché ha due zeri ≤ un uno)

x + 3 y - 5| 5 1 | = x + 3 - 5y + 25 = x - 5y + 28 5 4

Equazione: x - 5y + 28 = 0

STUDIAMO L'EQUAZIONE

| x y 1 || x₁ y₁ 1 | = 0| x₂ y₂ 1 |

• verifichiamo che
• è l'equazione d'una retta
• passa per P₁ e P₂ se P₁ ≠ P₂

① | x y 1 | | x₁ y₁ 1 | =0 | x₂ y₂ 1 | | y₁ 1 | | x 1 | | x y |= -| y₂ 1 | + x₁ | y₂ 1 | + y₁ | x₂ 1 | a b c = 0 ✔ ② | x y 1 | | x₁ y₁ 1 | =0 | x₂ y₂ 1 |

Sostituisco le coordinate di P₁. Otteniamo

| x y 1 || x₁ y₁ 1 | = 0 ✔| x₂ y₂ 1 |(perché ci sono due righe uguali (1^a=2^a))(sottrarrò R₂ a R₁ ottengo una riga di tutti zeri)

SOSTITUISCO LE COORDINATE DI P₂. OTTENIAMO

perché ci sono due righe uguali (r₂ = r₃) (sottriamo r₃ = r₂ ottengo una riga di tutti 0)

UNA FORMULA ANALOGA VALE NELLO SPAZIO: SE P_i (x_i, y_i, z_i), i = 1, 2, 3 SONO 3 PUNTI NON ALLINEATI

UN'EQUAZIONE DEL PIANO PASSANTE PER P₁, P₂, P₃ È

Nel piano di equazione della retta, passante per P_A (x₁, y₁) e // al vettore ̅(u, v) è GL₁ I valori di x, y e z sono le coordinate di un punto GL₁ 0 valori invece sono una direzione

ESEMPIO

P (4, 2) ̅(3, -1)

Equazione: x + 3y - 10 = 0 ̅(3, -1) // alla retta ̅(3 + t) (4, 2) => ̅ // u

NELLO SPAZIO

• Piano per 3 punti (ogni volta)
• Piano per due punti e // ad un vettore
• Piano per un punto e // a due vettori (indipendenti)

2)

P₁ (x₁,y₁,z₁)

P₂ (x₂,y₂,z₂)

v̄ (a, b, c)

| x      y      z      1   |

| x₁ y₁ z₁ 1 |

| x₂ y₂ z₂ 1 | = 0

| a      b      c      0 |

3)

P₁ (x₁,y₁,z₁)

P₂ (x₂,y₂,z₂)

P₃ (x₃,y₃,z₃)

v̄₁ (a₁, b₁, c₁)

v̄₂ (a₂, b₂, c₂)

| x      y      z      1   |

| x₁ y₁ z₁ 1 |

| x₂ y₂ z₂ 1 | = 0

| a₁ b₁ c₁ 0 |

| a₂ b₂ c₂ 0 |

LEZIONE 22/11/2022

A matrice: RANGO di A è

1. NUMERO di PIVOT di una matrice ridotta a scala con operazioni elementari sulle righe di A
2. MASSIMO numero di righe di A LINEARMENTE INDIPENDENTI
3. MASSIMO numero di colonne di A LINEARMENTE INDIPENDENTI
4. ^dim _Im f_A = ^dim _fA IR^m = IRⁿ f_A(x) = x

DEFINIZIONE: n-dici SOTTOMATRICE di una matrice A una matrice A che si ottiene dalla matrice A eliminando alcune righe e/o alcune colonne

ES

[ 1 2 3 4 5] [ 2 4] [ 6 7 8 9 10] [ 7 9] ← ELIMINO LA COLONNA [11 12 13 14 15] [12 14] 1, 3, 5

DEFINIZIONE: n-dici A una matrice. Si dice MINORE di ORDINE p della matrice A il DETERMINANTE di una sottomatrice (quadrata) di ordine p.

ES

1 2 3a [1 2 3 |] ← | 1 2 | | 1 3 | | 2 3 | 2 3 | 4 5 | 5 6 |b [4 5 6 |] ← | 4 5 | | 4 6 | | 5 6 | 4 5 | 5 6 | 6 7 |c [7 8 9 |] ← | 7 8 | | 7 9 | | 8 9 | 7 8 | 8 9 | 9 10 | | 4 2 | | 5 6 | UNICO MINORE di ORDINE 3 | 7 8 |

CALCOLO DEL RANGO DI UNA MATRICE TRAMITE I MINORI

PROPOSIZIONE: n-dici A una matrice. Allora

il rango di A è r <=>

• 1. ESISTE UN MINORE NON NULLO DI ORDINE r
• 2. OGNI MINORE DI ORDINE r+1 è NULLO

ES

A  

|2 4| =   = 4-4 =0

|6 3| 2 0

|6 2| 4 3 2 0

• Minori di ordine 1#0
• Minori di ordine 2 =0

rango (A)=1

PROPOSIZIONE (T. ORLATI)

rx(A)

• Esiste un minore non nullo di ordine r m=det(M)_N matriciale
• Ogni minore di ordine r + 1

m' = det(M')

dove H'

M'

    

ALGORITMO PER IL CALCOLO DEL RANGO DI UNA MATRICE

1. A _{matrice data}

A != 0?

          

r(A)=0

O STOP

• Scelgo un elemento non nullo di A

      

Calcolo i minori di ordine 2 che contengono a_0i

Sono tutti nulli?

NO

• Scelgo un minore di A

m2 = det(M₂)

dove H₂

Calcolo i minori di ordine 3 che contengono H₂

Sono tutti nulli?

No

• Scelgo un minore non nullo di A

m_k = det(M_k)

dove H_K =

Calcolo i minori di ordine k+1 che contengono H_K

Sono tutti nulli?

Si

r(A)=k

NO

Prima o poi troveranno e trovo il rango

MAXIMA:

[4 2 3]

5 0 7

9 10 40

Per ottenere 6 0

10 4

1

Submatrix[0,M₁] [1]

ESEMPIO

• Prendo il termine (1;4) diverso da zero quindi v≥1
• Prendo ^{1 2}_{2 3} ≠0 quindi v≥2
• Prendo le matrici che contengono M_z e calcolo il determinante

1 2 3 12 3 | 4 = 01 4 1

v≥2

| 12 | 11 3 1 = 3 - 2·2 = -1 ≠ 0 v≥2

2 3₃ 1

quindi v(A) = 2

1 2_{4 1} = 0

TEOREMA DEGLI ORLATI -> equazioni di una retta nello spazio

ES.1

Trovare l'equazione della retta passante perP₁(1,2,5)P₂(-4,2,1)

P(x,y,z)ossia allineati

rank ^{x y z1 2 5-4 2 1} = 2

Varia il teorema degli orlati per trovare l'equazione della retta

1. Trovo un minore di ordine 2 non nullo
2. Trovo l'equazione della retta imponendo che i minori di ordine 3 che ORLANO siano 0

^{x y z1 2 5-4 2 1}

^x11 = ²²