Costruzione di macchine 2 - terza parte

Esercizio 1

Spessore sottile

σr = 0 (c'e aria) -> equilibrio con niente

σe

σr = -pi

pi

Data:

ri = 100mm     pi = 20MPa     n = 3000 giri/min

re = 250mm     γ = 7800 kg/m³     ν = 0,3

γ/g -> densita

Trovare σr, σt e σid,G,max

σf

σw

{

σr = A - B/ρ² - Cρ⁰² → ρ = r/re

σt = A + B/ρ² - Dρ² → C, D dipendono da ω

σe = 0 (spessore sottile) -> A, B da condizioni al contorno

dischi a parete sottile e nulla

→ ρi = ri/re = 0,4    ρi² = 0,16    1/ρi² = 6,25

ρe = re/re = 1

→ ω = 2πn/60 = 314,16 rad/s

in[m]

σ0 = γ/g ω² re² = 7800 · (314,16)² · (0,25)² = 48,11 · 10⁶ Pa = 48,11 MPa

kg/m³ · rad/s² · m² = kg/ms² = N/m·m = N/m² = Pa

N/kg = m/s² → Kg/s² = N/m

c = (3+ν)/8 σ0 = 19,85 MPa

D = (1+3ν)/8 σ0 = 11,43 MPa

→ A e B da condizioni al contorno

σr(r=ri) = -pi

σr(r=re) = 0

{A - B/ρ_i² - Cρ_i² = -pi

A - B/ρ_e² - Cρ_e² = 0

{A - 6,25B - 0,16 · 19,85 = -20

A - B - 19,85 = 0

{A = 26,83 MPa

B = 6,99 MPa

σr = 26,83 - 6,99/ρ² - 19,85ρ²

σe = 0

σt = 26,83 + 6,99/ρ² - 11,43ρ²

Studio la monotonia _σr e _σt

Nota: ?/??(1/?²) = -2 ?^-3 = -2/?³

→ _σr: ?_σr/?? = + 2 (6,99/?³ - 19,85?)

?_σr/?? = 0 → 2 (6,99 - 19,85 ?⁹)/?³ = 0

?* = 4√6,99/19,85 = 4√B/C ≅ 0,77   ?i ≤ ?* ≤ ?e

termine che annulla il numeratore → punto in cui si annulla la derivata, che può essere un massimo o un minimo

_σt: ?_σt/?? = -2 (6,99/?³ + 11,43?) < 0

_σt è monotona decrescente

p     _σr[MPa]     _σt[MPa]     _σθ[MPa]

?i   0,4     -20     68,66     0

?*   0,77     3,20     31,83     0

?e   1     0     22,39     0

Diagrammiamo le tensioni:

_σi [MPa]

68,66

31,83

3,20

-20

_σid,θ = _σ1-_σ3

? ≤ ?* → _σid,θ = _σt - _σr

? > ?* → _σid,θ = _σt - _σ? = 0

_σid,θ,max = _σt(?i) - _σr(?i) = 68,66 - (-20) = 88,66MPa

Esercizio 2:

Dati:

re = 100 mm

ro = 75 mm

ri = 50 mm

b = 20 mm

ip = 0,1 mm

1 bar = 10⁵ Pa

pe = 280 bar = 28 MPa

E = 206 000 MPa

mu = coeff. d'attrito = 0,3

sigma_sn = 240 MPa

Richieste:

• sigma_re sigma_t
• vs secondo Guest
• Mt massimo trasmissibile per attrito

Pressione di calettamento

p_c = E/4 · ip/ro³ · ((re² - ro²)(ro² - ri²))/(re² - ri²) = 22,25 MPa

Condizioni lineari elastiche - applico la sovrapposizione degli effetti.

a) Due dischi come un unico disco ri, re ; pe, w = 0

sigma_r = -pe re²/(re² - ri²) (1 - (ri/r)²) = -37,33 (1 - (50/r)²)

sigma_t = -pe re²/(re² - ri²) (1 + (ri²/r²)) = -37,33 (1 + (50/r)²)

b1) Disco interno ri, ro, pe = pc, w = 0

sigma_r = -pc ro²/(ro² - ri²) (1 - (ri/r)²) = -40,06 (1 - (50/r)²)

sigma_t = -pc ro²/(ro² - ri²) (1 + (ri²/r²)) = -40,06 (1 + (50/r)²)

b2) Disco esterno ro, re, pi = pe, w = 0

sigma_r = pc ro²/(re² - ro²) (1 - (re/r)²) = 28,61 (1 - (100/r)²)

sigma_t = pc ro²/(re² - ro²