Corso completo di Fisica I

FISICA I LEZ.1

Grandezze fisiche: definizione operativa

La fisica, come altre scienze sperimentali, si basa sull’osservazione della realtà che ci circonda. Tuttavia, in fisica non è sufficiente descrivere i risultati delle osservazioni "a parole", in forma qualitativa: è necessario tradurli anche in valutazioni quantitative, ossia numeriche, che consentano di analizzare i fenomeni mediante leggi matematiche. Il termine grandezza fisica indica una proprietà osservabile che può essere espressa in forma quantitativa.

Esempi di grandezze fisiche sono la lunghezza di un oggetto rettilineo (come un'asta o una barra), la distanza tra due punti, l’intervallo di tempo tra due eventi, la massa di un corpo, la velocità di un oggetto in moto, ecc.

In fisica, l’unica definizione rigorosa che si dà di una grandezza fisica è la cosiddetta definizione operativa: la sequenza di operazioni da eseguire per ottenere la valutazione quantitativa, ossia il valore numerico, della grandezza in questione. La sequenza di operazioni della definizione operativa tipicamente include "misure" oppure "calcoli" (a partire da altre grandezze già note) oppure una combinazione di entrambi.

Grandezze fisiche "di spazio": lunghezza e distanza

Una semplice definizione operativa della grandezza lunghezza di un oggetto rettilineo potrebbe essere data come segue:

• Prendere un metro calibrato e precedentemente graduato con "tacche" che ne individuino dei sottomultipli uguali sufficientemente piccoli (ad esempio centimetri);
• Disporre l'oggetto e il metro paralleli tra loro e far combaciare un estremo dell'oggetto con l'inizio del metro (dove c'è lo "zero");
• Leggere il valore della tacca del metro che si trova più vicina alla posizione dell'altro estremo dell'oggetto (ad esempio, 125). Questo è il valore numerico della grandezza (nell’esempio, L = 125 cm).

Omettiamo qui per semplicità le complesse questioni di come costruire il metro graduato, stabilire operativamente se un oggetto è rettilineo e che l'oggetto e il metro sono paralleli.

La grandezza distanza tra due punti (per esempio individuati fisicamente da due piccoli oggetti) può essere definita in modo simile alla precedente, utilizzando un metro (rigido e rettilineo) posto con un estremo (lo zero) in uno dei punti e passante per l'altro (una realizzazione fisica del "segmento rettilineo" che congiunge i due punti). Sarebbe possibile dare anche altre definizioni molto più sofisticate e precise di queste stesse grandezze, ma per comprenderne la validità bisognerebbe conoscere già molta fisica.

La lunghezza di una linea curva (come una strada curvosa) può essere definita scomponendo la curva nella successione di tanti brevi tratti approssimativamente rettilinei e sommando le distanze corrispondenti (questa definizione corrisponde al concetto matematico di integrale).

Grandezze fisiche "complete": valore, incertezza, unità

La valutazione quantitativa di una grandezza fisica non è in realtà costituita solo dal suo valore numerico, ma è la combinazione di più elementi. In particolare, di norma vanno specificati almeno i seguenti tre elementi:

• Il valore numerico stimato della grandezza,
• L’incertezza (o "errore"), dovuta al fatto che nessuna stima può essere perfetta, e
• L’unità di misura utilizzata nella definizione operativa (più in generale potrebbe essere necessario specificare un intero "riferimento", che include l'unità e altri elementi di cui parleremo più avanti).

Nel nostro esempio, la lunghezza misurata va riportata come segue: L = 125 ± 1 cm

Qui il primo numero indica il valore stimato della grandezza (la tacca più vicina), il secondo (dopo il “±”) indica l’incertezza sul valore stimato (ossia di quanto può essere sbagliato, per esempio tenendo conto della distanza tra le tacche più vicine) e "cm" è la sigla che indica l’unità di misura utilizzata, in questo caso i centimetri.

Incertezza o errore

L’incertezza viene stimata a partire dalle “tacche” dello strumento di misura (errore di sensibilità) oppure dal fatto che il valore della misura non è del tutto stabile ripetendo la misura, ossia fluttua in un certo intervallo (errore di precisione). Nel primo caso normalmente l’incertezza è data dalla distanza tra tacche consecutive (o mezza distanza, se si ritiene di poterla apprezzare), nel secondo caso bisogna utilizzare metodi della statistica per stimarla.

La stima dell'incertezza è essenziale perché ci permette di stabilire per esempio se due grandezze fisiche sono uguali oppure no, valutando cioè se gli intervalli di variazione possibili si sovrappongono almeno in parte o meno. Ad esempio, 125±1 cm e 128.2±3.4 cm sono uguali (più tecnicamente si dice che “sono consistenti” o “compatibili” tra loro), mentre 125±1 cm e 129.1±2.2 cm no (in queste slide usiamo il punto decimale e non la virgola, per essere conformi allo standard internazionale).

Se non è necessario essere precisissimi l’incertezza può essere sottintesa, omettendo quindi di specificarla ma avendo cura di scrivere il valore numerico della grandezza con le sole cifre note senza incertezza o al massimo con un’incertezza parziale (cioè che può cambiarle, ma di poco). Le cifre riportate così sono dette cifre significative.

L'unità di misura di lunghezza: il metro

Un elemento essenziale della definizione che abbiamo dato di lunghezza è il metro, ossia una particolare unità di misura di lunghezza. Il procedimento di misura si basa sostanzialmente sul confronto tra la lunghezza da misurare e questa unità.

Una unità di misura si può fissare utilizzando un fenomeno naturale oppure un manufatto dell’uomo, purché sia riproducibile e stabile nel tempo. In passato il metro è stato definito come la quarantamilionesima parte del meridiano terrestre e, successivamente, come la lunghezza di una barra rettilinea di un materiale molto stabile e resistente (come il platino), conservata in un posto sicuro a Parigi. Oggi il metro è invece definito a partire dall'unità di tempo (il secondo, che vedremo più avanti) come la distanza percorsa da un impulso luminoso che si propaga nel vuoto in un tempo pari alla frazione 1/299'792'458 di un secondo.

Ogni unità di misura ha un suo simbolo ben preciso, fissato da convenzioni internazionali. Per il metro è la “m” minuscola. Anche se a volte si utilizzano altri simboli o abbreviazioni (come ad esempio “mt.”, nel caso del metro), questi non sono conformi alle convenzioni internazionali e andrebbero evitati.

Multipli e sottomultipli delle unità

La definizione operativa andrebbe in realtà completata con un procedimento da seguire per costruire i multipli e i sottomultipli dell'unità di misura (ad esempio le “tacche” del metro, come i centimetri). Questo a sua volta si può basare su due elementi:

• Un criterio di confronto, per stabilire se due lunghezze sono uguali oppure no (entro una certa tolleranza);
• Un procedimento di somma, per costruire un oggetto rettilineo la cui lunghezza sia per definizione la somma delle lunghezze di altri oggetti rettilinei. Nel caso del metro, il procedimento di somma è dato dall’allineare in sequenza gli oggetti rettilinei da “sommare”. Un multiplo, per esempio un “decametro”, è quindi costruito sommando 10 oggetti uguali (in lunghezza) al metro. Un sottomultiplo, ad esempio un decimetro, si ottiene sommando 10 oggetti rettilinei uguali e verificando che il “totale” è uguale al metro.

Anche per i multipli e sottomultipli esistono simboli stabiliti per convenzione internazionale, in forma di “prefissi” del simbolo delle unità. La tabella seguente riporta i prefissi più importanti, da conoscere a memoria.

Conversione delle unità

Nell’esempio di lunghezza abbiamo utilizzato il metro (e il suo sottomultiplo centimetro) come unità di misura, ma avremmo potuto utilizzare anche altre unità definite diversamente. Per esempio, nei paesi anglosassoni si usano ancora spesso unità come il “pollice” (simbolo in, da “inch”), originariamente definito dalla lunghezza media della falange del pollice della mano. Il pollice è un’unità dello stesso tipo del metro, ossia entrambe possono essere usate per misure di lunghezza. Le due unità possono anche essere confrontate direttamente tra loro, misurando l’una mediante l’altra. Il rapporto tra le due è il seguente 1 in = 2.54 cm = 0.0254 m.

Il valore numerico che otteniamo quando eseguiamo una misura dipende dalla scelta dell’unità di misura impiegata e questo è il motivo per cui l'unità va sempre indicata nel risultato, in modo che chi legge possa correttamente interpretare il valore numerico della grandezza. Il valore di una grandezza fisica può essere facilmente convertito da un'unità ad un'altra dello stesso tipo, utilizzando il rapporto noto fra le unità. Nel nostro esempio di lunghezza L = 125 cm = 125/2.54 in = 49.2 in. Per ricordare come usare il rapporto senza confondersi (cioè se dividere o moltiplicare), un trucco efficace è fare le sostituzioni dei simboli di unità come se fossero variabili algebriche (nel nostro caso cm = in/2.54). Un altro modo è ricordare che il valore numerico varia sempre all’inverso di come varia l’unità, ossia cresce se l’unità diminuisce e viceversa.

La grandezza fisica "durata" di un intervallo di tempo e il secondo

Tutte le nostre percezioni sensoriali (comprese le misure effettuate con strumenti scientifici) avvengono in sequenza, con un ordine preciso. Questo ordinamento delle percezioni, e quindi degli eventi che noi vi associamo, è un primo passo nella nostra definizione del tempo. Siamo cioè in grado di dire se un evento avviene prima o dopo un altro oppure se due eventi avvengono simultaneamente (entro una certa tolleranza). Per arrivare ad una definizione operativa è necessario utilizzare anche un orologio, ossia un fenomeno periodico, nel quale una data successione di eventi si ripete costantemente. L’orologio fornisce in pratica una unità di misura con cui confrontare la successione di altri eventi.

La durata dell’intervallo di tempo tra due eventi viene definita quantitativamente contando il numero di cicli che l’orologio compie tra essi, usando il criterio di simultaneità per iniziare e terminare il conteggio.

Un “orologio naturale” che abbiamo tutti a disposizione è il nostro battito cardiaco, che ha fornito una prima antica definizione dell’unità di tempo che oggi chiamiamo secondo (simbolo “s”). Tuttavia, la regolarità e riproducibilità della sua oscillazione è chiaramente insufficiente. Un buon orologio richiede una periodicità molto stabile e protratta nel tempo, da verificare confrontando l’andamento di più orologi. La definizione moderna del secondo si basa sulle oscillazioni di un orologio naturale estremamente regolare: una particolare vibrazione elettronica dell’atomo di cesio (isotopo 133). Il secondo è quindi definito oggi come 9'192'631'770 oscillazioni di questa vibrazione del cesio.

Grandezze fondamentali e derivate: sistema internazionale

Abbiamo finora definito le grandezze lunghezza e tempo e le corrispondenti unità di misura, ma esistono un’infinità di altre grandezze fisiche di tipo diverso. Dobbiamo introdurre un’unità diversa per ciascuna di esse? Per fortuna no, perché è possibile ricondurre tutte le infinite possibili grandezze fisiche a poche grandezze fondamentali, che sono le sole per le quali si sceglie di definire le unità a partire da fenomeni naturali (o specifici manufatti). Nel sistema internazionale (SI), definito dalle maggiori organizzazioni di metrologia mondiali, vengono individuate 7 grandezze fondamentali, ma noi ne utilizzeremo in gran parte del corso solo 3: lunghezza, tempo e massa (che definiremo più avanti).

Tutte le altre grandezze fisiche, dette grandezze derivate, possono essere definite operativamente a partire da misure di grandezze fondamentali, mediante calcoli. Quindi anche le loro unità vengono definite mediante calcoli (unità derivate), in particolare prodotti, potenze o rapporti, applicati alle unità delle grandezze fondamentali. Consideriamo tre esempi importanti:

• L'area A di un quadrato è ottenuta dalla lunghezza del lato L mediante l'espressione A = L²;
• La velocità v di un oggetto in moto (come vedremo più avanti) può essere ottenuta dal rapporto tra lo spazio S percorso (un'altra lunghezza) e il tempo impiegato T, ossia v = S/T;
• L'area di un cerchio di raggio R è ottenuta dall'espressione A = πR².

Le unità corrispondenti sono ottenute mediante lo stesso calcolo che definisce la grandezza applicato alle unità delle grandezze fondamentali: ad esempio, metri quadri (m²) per l'area del quadrato, metri al secondo (m/s) per la velocità. Anche per l'area del cerchio si usano i m², ossia i fattori numerici “puri” (cioè privi di unità) che entrano nelle formule, come il π dell’area del cerchio, vengono ignorati.

Dimensioni delle grandezze

L’analisi della dimensione è una classificazione delle grandezze fisiche. Per prima cosa si introducono simboli per le grandezze fondamentali: [L], [T], [M] sono i simboli delle grandezze lunghezza, tempo e massa. Come abbiamo detto le grandezze derivate sono ottenute mediante calcoli (potenze, moltiplicazioni e divisioni) applicati a partire da grandezze fondamentali. Applicando i medesimi calcoli (ma ignorando gli eventuali numeri puri, in modo simile al caso delle unità derivate) ai simboli delle grandezze fondamentali, si ottiene per qualsiasi grandezza derivata un’espressione dimensionale del tipo [Lⁿ][T^m][M^p], dove n, m e p sono esponenti, interi o frazionari, positivi o negativi. Questa espressione rappresenta “la dimensione” della grandezza. Ad esempio, l’area del cerchio ha dimensione [L²], la velocità [L][T^–1]. Un’espressione del tipo [L⁰][T⁰][M⁰] in particolare caratterizza le grandezze adimensionali, ossia prive di dimensioni (come ad esempio i numeri puri). Un esempio è la misura degli angoli in radianti.

Non bisogna confondere dimensioni e unità, anche se sono concetti collegati. Diverse unità possono corrispondere alla medesima dimensione, come ad esempio il metro (m) e il pollice (in) che sono entrambe unità di lunghezza [L]. L’analisi delle dimensioni è molto utile per verificare la correttezza di possibili equazioni tra grandezze fisiche. In particolare, diverse grandezze possono essere sommate o uguagliate nell’equazione solo se hanno la medesima dimensione.

Cinematica in una dimensione spaziale

L’argomento che iniziamo adesso è una parte della meccanica nota come cinematica, che è la disciplina che si occupa della descrizione quantitativa del movimento e di definire alcune grandezze fisiche importanti associate alla descrizione del movimento, come velocità ed accelerazione. In particolare, in una prima fase ci occuperemo esclusivamente del movimento di un oggetto lungo un percorso predeterminato descritto da una linea (rettilinea o curva) fissata nello spazio, come avviene per esempio quando un’auto si muove lungo una strada predeterminata. Nel caso in cui la linea che definisce il percorso è rettilinea (un tratto di una retta), si parla di moto rettilineo. Nel caso più generale in cui la linea può essere anche curva lo chiameremo moto lineare. Questi casi vengono definiti “ad una dimensione spaziale” (1D), in quanto per descrivere il moto è necessaria una sola variabile (o coordinata). Nella prossima lezione passeremo invece al caso generale, con tre dimensioni spaziali.

La grandezza "posizione" di un oggetto e lo "spazio"

Il primo passo da fare per poter descrivere il movimento è definire (quantitativamente) la grandezza fisica posizione di un oggetto. Supponiamo per esempio di voler specificare la posizione a un certo istante di un’auto che sta percorrendo una determinata strada (ad esempio l’autostrada Napoli-Roma). Per farlo possiamo usare la lunghezza della strada misurata a partire da un punto di riferimento, ad esempio il casello di Napoli, fino alla posizione attuale dell’auto.

Questo esempio fa capire quali siano gli ingredienti indispensabili per definire la posizione dell’oggetto lungo la strada:

• Una misura di lunghezza o distanza (e quindi le corrispondenti unità di misura);
• Una “origine” fissata lungo la strada, che faccia da punto di riferimento a partire dal quale misurare la lunghezza fino all’oggetto;
• Un’orientazione convenzionale della strada da utilizzare nella misura di lunghezza (nel nostro esempio da Napoli verso Roma); quest’ultima serve per distinguere le posizioni che si trovano ai due lati dell’origine, anche se sono alla stessa distanza da questa. Infatti, se per andare dall’origine all’oggetto si procede concordemente all’orientazione scelta, la posizione viene presa positiva. Se invece si procede all’opposto, la posizione viene presa negativa. Nel nostro esempio, le posizioni negative possono servire ad indicare un’auto che, viaggiando verso Roma, deve ancora raggiungere il casello di Napoli.

Il termine generico “spazio” è utilizzato per indicare l’insieme di tutte le possibili posizioni degli oggetti di cui studiamo il movimento.