Corso completo di Algebra lineare

Algebra lineare

Campo

Sia un insieme non vuoto, che contiene due elementi distinti (ex. 0,1∈ con 0≠1) e prendiamo due operazioni binarie su .

(, +, ·) è detto campo se soddisfa le seguenti proprietà:

• Prop. commutativa rispetto alla somma ∀x,y∈ x+y = y+x
• Prop. commutativa rispetto al prodotto ∀x,y∈ x⋅y = y⋅x
• Prop. associativa rispetto alla somma ∀x,y,z∈ x+(y+z)=(x+y)+z
• Prop. associativa rispetto al prodotto ∀x,y,z∈ (x⋅y)z = x(y⋅z)
• Prop. distributiva ∀x,y,z∈ x⋅(y+z) = x⋅y + x⋅z
• è l'elemento neutro rispetto alla somma ∀x∈ x+ = x = +x
• è l'elemento neutro rispetto al prodotto ∀x∈ x⋅ = x = ⋅x
• Opposto: ∀x∈ ∃y∈: x+y= y=-(x)
• Reciproco o inverso: ∀x∈\{} ∃g∈ x⋅y= y=1/x

Def. (Caratteristica del campo)

Dato un campo, la caratteristica di è il più piccolo numero naturale n>1: ^{+ + .... + = 0}

Nota: se ∄m tale che χ + χ + .... + χ = 0 ⇒ il campo ha caratteristica zero.

ℚ è un campo di caratteristica .

ℝ è un campo di caratteristica .

₂ è un campo di caratteristica .

Proprietà deducibili dagli assiomi di campo

• P₁) a+b=c ⇒ b=c
• P₂) ∃! x : a+x =
• P₃) Dato x∈, l'opposto è unico.
• P₄) -(-a) = a
• P₅) a⋅ = = ⋅a
• P₆) a⋅b = a⋅c con a≠ ⇒ b=c
• P₇) x⋅x⁻¹ = ⇒ x≠
• P₈) Dato x∈\{}, l'inverso è unico.
• P₉) a⋅b= ⇒ a= V b=

Algebra lineare

Campo

Sia K un insieme non vuoto, che contiene due elementi distinti (ex. 0,1∈K con 0 ≠1) e prendiamo due operazioni binarie su K. (op. binarie sono funz. K x K → K)

(K, +, .) è detto campo se soddisfa le seguenti proprietà:

• Prop. commutativa rispetto alla somma ∀x,y∈K x+y = y+x
• Prop. commutativa rispetto al prodotto ∀x,y∈K x.y = y.x
• Prop. associativa rispetto alla somma ∀x,y,z∈K x+(y+z)=(x+y)+z
• Prop. associativa rispetto al prodotto ∀x,y,z∈K (x.y)z=(x.y)z
• Prop. distributiva ∀x,y,z∈K x.(y+z) = x.y + x.z
• 0∈I è l'elemento neutro rispetto alla somma ∀x∈K x+0 = x = 0+x
• 1∈I è l'elemento neutro rispetto al prodotto ∀x∈K x.1 = x = 1.x
• Opposto: ∀x∈K ∃y∈K: x+y=0 y=-(x)
• Reciproco o inverso: ∀x∈K|x≠0 ∃g∈K: x.y=1 y=

Def. (Caratteristica del campo)

Dato un campo K, la caratteristica di K è il più piccolo numero naturale m>1: 1+1+.....+1=0 n volte

Nota: Se ∄m tale che 1+1+....+1=0 ⇒ il campo ha caratt. zero.

Q è un campo di caratteristica 0.

R è un campo di caratteristica 0.

F₂ è un campo di caratteristica 2.

Proprietà deducibili dagli assiomi di campo

• P₁ a+b=a+c ⇒ b=c
• P₂ ∃! x : a+x = b
• P₃ Date x∈K, l’opposto è unico.
• P₄ (-(−a)) = a.
• P₅ a.0 = 0 = 0.a
• P₆ a+b = a+c con a≠0 ⇒ b=c
• P₇ x.y = b ⇒
• P₈ Date x≠0∈K, l’inverso è unico.
• P₉ a.b = 0 = 0 ⇔ a=0 ∨ b=0

Def. (Sottocampo)

Sia (K, +, ·) un campo e X ⊆ K; X è sottocampo di K se:

• 0, 1 ∈ X
• X + y ∈ X, ∀x, y ∈ X
• X · y ∈ X, ∀x, y ∈ X
• -x ∈ X, ∀x ∈ X
• x^-1 ∈ X \ {0} ⇒ x^-1 ∈ X, ∀x ∈ X

Dunque (X, +, ·) è, a sua volta, un campo.

Proposizione

Dato un campo K, l'intersezione di tutti i sottocampi di K è un campo.

Dimostrazione

Sia {K_i}_{i ∈ I} la famiglia di tutti i sottocampi di K.

Th: ∩_{i ∈ I} K_i è un sottocampo di K.

Occorre dimostrare che è vero usando le proprietà di chiusura:

• 0, 1 ∈ ∩_{i ∈ I} K_i? 0 ∈ K_i, ∀i ∈ I 1 ∈ K_i, ∀i ∈ I ⇒ 0, 1 ∈ ∩_{i ∈ I} K_i
• ∀i ∈ I ∃x,y ∈ K_i; x + y ∈ K_i, ∀i ∈ I perchè K_i è generico sottocampo.
• ∀i ∈ I ∃x,y ∈ K_i; x · y ∈ K_i, ∀i ∈ I perchè K_i è generico sottocampo.
• ∀i ∈ I ∃x ∈ K_i; -x ∈ K_i, ∀i ∈ I
• ∀i ∈ I ∃x ∈ K_i \ {0}; x^-1 ∈ K_i, ∀i ∈ I

Def. (Sottocampo minimo)

Sia K un campo. ∩_{i ∈ I} K_i (con K_i sottocampo di K) è detto sottocampo minimo di K.

Def. (Sottocampo generato)

Sia un campo e ⊆