Concetto di matrice e determinante

Geometria insiemi (terminologia)

Se A è un insieme, e x è un suo elemento x e A - Proposizione.

Esempio: A = {1,2,3,4} insieme finito.

A = {x e R | 1<x<2} insieme infinito.

Se A e B sono insiemi scriviamo A ⊆ B (A è un sottoinsieme di B) per indicare che se x e A, allora x e B, oppure x e A => x e B.

A = B equivale A ⊆ B, B ⊆ A.

A n B = {x: x e A e x e B} intersezione.

A u B = {x: x e A o x e B} unione.

Dimostrazione

ES Provare che "se A ⊆ B allora A n B" oppure A ⊆ B => A = A n B.

Dobbiamo provare che A = A n B, cioè:

• 1) A ⊆ A n B
• 2) A n B ⊆ A

Proviamo (1), cioè proviamo x e A => x e A n B.

x e A => x e B => x e A n B.

Obiettivo provato.

Proviamo (2) è sempre vera, infatti x e A n B => x e A, x e B.

Esercizio a caso

Provare che A ⊆ B <=> A u B = B dobbiamo provare cioè A ⊆ A u B, A u B ⊆ A.

x e A => x e B => x e A u B.

2 è sempre vera.

x e A u B => x e A.

Geometria insiemi (terminologia)

Se A è un insieme, e x è un suo elemento x in A → Proposizione.

Esempio: A = {1,2,3,4} insieme finito.

A = {x in R | 1 <= x <= 2} insieme infinito.

Siano A e B insiemi, scriviamo A ⊂ B (A è un sottoinsieme di B) per indicare che se x in A, allora x in B, oppure x in A ⇒ x in B.

A = B equivale A ⊂ B, B ⊂ A.

A n B = {x: x in A e x in B} intersezione.

A u B = {x: x in A o x in B} unione.

Dimostrazione

ES Provare che "se A ⊂ B allora A n B" oppure A ⊂ B ⇒ A = A n B.

Dobbiamo provare che A = A n B cioè:

• 1) A ⊂ A n B
• 2) A n B ⊂ A

Proviamo 1), cioè proviamo x in A ⇒ x in A n B.

x in A ⇒ x in B ⇒ x in A n B.

Obiettivo raggiunto.

Proviamo 2) è sempre vera.

Infatti x in A n B ⇒ x in A, x in B.

Esercizio e caso

Provare che A ⊂ B ⇔ A u B = B dobbiamo provare cioè A ⊂ A u B, A u B ⊂ A.

x in A ⇒ x in B ⇒ x in A u B.

2° è sempre vera.

x in A u B ⇒ x in A.

Esercizio 2 dimostrazione -> per assurdo

Provare che √2 ∉ Q.

Supponiamo √2 ∈ R, cioè √2 = m/n, ridotto ai minimi termini.

Allora 2 = m²/n², cioè m² = 2n².

Allora m² è pari => m è pari vuol dire m = 2l, l ∈ Z.

4l² = 2n², cioè n² = 2l².

Allora anche n è pari.

Contraddizione.

√2 non è in Q.

Inizio corso

L'insieme Rⁿ è l'insieme delle n-uple con x₁, x₂, ..., x_n ∈ R.

(x₁, x₂, x_n) vettore colonna.

Equazioni lineari

Osservazioni: a volte usiamo vettori riga.

Rⁿ: (x₁, x₂, ..., x_n).

Consideriamo l'equazione lineare di max grado 1: ax + b = 0, a,b in R.

a != 0 => x = -b/a.

a = 0, b != 0, l'equazione diventa 0x + b = 0 incompatibile: non esiste.

a = 0, b = 0 infinite soluzioni.

Equazioni lineari a incognite

ax + by + c = 0, incognite x,y.

Una soluzione è (x,y) in R dove risolvono l'equazione x + 5y - 3 = 0.

x = -5y + 3.

y = t, t in R.

x = -5t + 3.

Questo ci dice che l'insieme di tutti i vettori {(-5t+3, t) : t in R} è l'insieme delle soluzioni.

Le soluzioni sono infinite, dipendono dalla scelta di un parametro reale (t).

Equazioni lineari in n variabili

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b.

a₁, ..., a_n, b in R.

Incognite x₁, ..., x_n.

Una soluzione è un vettore di Rⁿ (x₁, x₂, ..., x_n) che x₁, ..., x_n soddisfano l'equazione.

Se devo ai 1, anzit l'eq ammette soluzioni.

Ad esempio se ho x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=0 ho ∞ soluzioni.

x₁ = - a₂x₂ - a_nx_n + b / a₁.

x₁ = - a₂x₂ - a_nx_n + b / a₁.

Assegnazione (x₂ = +t₂ x₃ = +t₃ x_n = +t_n) n-1 parametri.

Esempio

x + y - 3z = 2 soluzione è un vettore (x y z).

x = -y + 3z + 2.

Prendiamo y = s, z = t.

Allora x = -s + 3t + 2.

Solu = { ((-s+3t+2)st) : t, s in