Concetto di matrice e determinante

GEOMETRIA

• INSIEMI (terminologia)

Se A è un insieme, x è un suo elemento

x ∈ A _proposizione

Esempio: A = {1, 2, 3, 4, 5}

insieme finito

A = {x ∈ ℝ | x < 2}

insieme infinito

tale che

Simbolo di appartenenza

Scriviamo A ⊆ B (A è un sottoinsieme di B)

Per indicare che

Se x ∈ B, allora x ∈ B

oppure

(x ∈ A ⟹ x ∈ B)

A = B equivale A ⊆ B B ⊆ B

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

_intersezione

_{Simbolo di ∩}

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

_Unione

_{Simbolo di ∪}

Dimostrazione

ES Provare che "se A ⊆ B allora A = A ∩ B" oppure

A ⊆ B ⟹ A = A ∩ B

Dobbiamo provare che A = A ∩ B cioè:

1. A ⊆ A ∩ B
2. A ∩ B ⊆ A

• Proviamo ①, cioè proviamo x ∈ A ⟹ x ∈ A ∩ B

x ∈ A ⟹ x ∈ B ⟹ x ∈ A ∩ B

• Proviamo ② è sempre vera

Infatti x ∈ A ∩ B ⟹ x ∈ A

x ∈ B

Esercizio a casa

• Provare che A ⊆ B ⟺ A ∪ B = B dobbiamo provare cioè

A ⊆ A ∪ B A ∪ B ⊆ A

x ∈ A ⟹ x ∈ B ⟹ x ∈ A ∪ B

2° è sempre vera x ∈ A ∪ B ⟹ x ∈ A

GEOMETRIA

• INSIEMI (terminologia)
  • Se A è un insieme, x è un suo elemento
  • Esempio:
    • insieme Finito
    • insieme Infinito

Segno ∈ e ∉ insieme scriviamo

Per indicare che

• A = B equivale
• A ∩ B
  • intersezione
• A ∪ B
  • unione

Esercizio a casa

• Provare che dobbiamo provare cioè

Esercizio e Dimostrazione ➔ Per assurdo

Provare che √2 ∉ Q

supponiamo √2 ∈ R

cioè √2 = m/n ridotta ai minimi termini

• allora 2 = m²/n², cioè m² = 2n²
• allora m² = Pari

⇒ m = Pari, vuol dire m = 2l, l ∈ Z

√2 l² = 2n², cioè n² = 2l²

allora anche n è Pari

CONTRADDIZIONE

√2 non è un Q

□

Inizio Corso

L’insieme ℝⁿ è l’insieme delle n-uple

con x₁,…,x_n ∈ R

• ( _x1, : _{x2, …, xn} )
• è vettore colonna

• _{( 1 )} ∈ ℝ³ , _{( 1 )} ∈ ℝ³

osservazione a volte usiamo

vettori riga

ℝⁿ : ( x₁ , x ... x_n )

Equazioni Lineari

• Consideriamo l'equazione lineare di max grado 1^o

ax+b=0 , a,b∈ℝ

a ≠ 0 ⇒ x= -b

a

• a>0, b=0 , l'equazione diventa 0·x=0
• a=0, b=0

Infinte soluzioni

x+5y–3=0

x=–5y+3

y=t , t∈ℝ

x=–5t+3

Questo ci dice che l'insieme di tutti i vettori

{ (-5t+3)

t } t∈ℝ

è l'insieme delle soluzioni

• Le soluzioni sono ∞¹ e dipendono

dalla scelta di un parametro reale (t)

Equazioni lineari a n variabili

a₁ x₁ +a₂ x₂+ ......+a_n x_n=0

a₁ .... a_n , b∈ℝ

incognite x₁ .... x_n

Una soluzione è un vettore di Rⁿ

(x₁) dove x₁ , x_n

(x_n) soddisfano l'equazione

Se diversi a₁, a_n.

L’eq ammette soluzioni

grx_n - ^{-a₂x₂ - a_nx_n + b}/_a1

x₁ = ^-a₂x₂/_a1;

x₂ = ^{a_nx_n + b}/_a2

AD ESEMPIO SE

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 0 ho ∞^n-1 soluzioni.

Assegnazione

• x₂ = t₂
• x₃ = t₃
• x_n = t_n

n-1 parametri

Esempio

x + y - 3z = 2

soluzione è un vettore ^(_x)/_(y)

• x = -y + 3z + 2

Poniamo y = s

z = t

s, t ϵ ℝ

allora x = -s + 3t + 2

soluz = {