Concentro di integrale di Riemann

Integrale di Riemann

Consideriamo f : [a, b] → ℝ; si sceglie come estremo il valore della f in un generico punto c_n ogni intervallo.

A = ∑_k=1ⁿ (x_k - x_k-1) f(c_k)

Dimostrare che f è integrabile se I finito e indipendente dalla scelta dei c_k.

lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ (x_k-x_k-1)f(c_k) ⇒ I finito e indipendente = ^b∫_af(x)dx

In alcuni casi la definizione non è applicabile: funzioni di Dirichlet.

f(x) = {1 su ℝ^c ≠ 0 su ℚ;}

x_k-x_k-1 = ¹/_n

c.c.e. [x_k-x_k-1] ⊈ ℝ^c + f () = 1

A' = ∑_k=1^N 1 · ¹/_n = ¹/_n · ∑_k=1^N = n · ¹/_n = 1

Integrale di Riemann

Consideriamo f: [a, b] → ℝ. Suddivido l'intervallo [a, b].

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < xₙ = b

Si sceglie come estrama le orbite della f in un generico punto cₖ ogni intervallo.

Poligonale misto P

A = ∑_k=1ⁿ (xₖ - x_k-1) f(cₖ) base altezza

Diremo che f è integrabile se I finito e indipendente della scelta dei ci il lim ∑_k=1ⁿ (xₖ - x_k-1) f(cₖ), n -> +∞.

I finito e indipendente = ∫_a^b f(x)dx

In alcuni casi la definizione non è applicabile: funzioni di Dirichlet.

f(x)= { 1 su Q^c 0 su Q } > 0

Base = Xₖ - X_k-1 = 1/n.

Che [Xₖ - X_k-1] ∩ Q^c + f₀ c (cₖ) = 1.

A' = ∑_K=1^N 1 ∙ 1/n = ∑_K=1^N 1⁄n = n ∙ 1/n = 1

Se provo con un altro intervallo, dunque \( \lim_{n \to \infty} A' \neq \lim_{n \to \infty} A'' \).

Funzioni integrabili

• \( f \) continua in \([a_1, b_1]\)
• \( f \) monotona e limitata in \([a_1, b_1]\)
• \( f \) è limitata e ha n° finito di discontinuità di salto

Proprietà

Siano \( f, g \) integrabili in \([a, b]\).

• α, β costanti

\( \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx \)

• Se \( a \leq x \leq b \)

\( \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^n f(x) \, dx + \int_n^b f(x) \, dx \)

Per convenzione \( \int_a^b f(x) = -\int_b^a f(x) \, dx \).

Positività e monotonia dell'integrale

f(x) > 0 in [a, b] ⇒ ∫_a^b f(x) dx > 0

f > g in [a, b] ⇒ ∫_a^b f(x) dx > ∫_a^b g(x) dx

In particolare ∫_a^b f(x) dx a^b |f(x)| dx

Teorema della media integrale

Sia f: [a, b] → R continua ⇒ ∃ c ∈ [a, b] : f(c) = ¹/_b-a ∫_a^b f(x) dx

Il simbolo che si usa è anche ∫_a^b f(x) dx =

Contro esempio (quando f non è continua).

∫₀² f(x) dx = ∫₀¹ 0 dx + ∫₁² 1 dx

0 + 1(2-1) = 1

Media integrale di f: ¹/₂ ∫₀² f(x) dx = ¹/₂ * ¹/₂ f(c)

Dimostrazione

Per Hp (f è continua) ci sono max e minimi assoluti. Per Weierstrass: m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ [a, b] per la monotonia dell'integrale.

∫_a^b m dx ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b M dx

m(b-a) = ∫_a^b f(x) dx ≤ M(b-a) divido per (b-a).

m ≤ ¹/_b-a ∫_a^b f(x) dx ≤ M

f è continua, per il teorema dei valori intermedi: ∃ c ∈ [a, b] t.c. f(c) = ¹/_b-a ∫_a^b f(x) dx ← media integrale.

Concetto di primitiva

Si dice che una funzione G, derivabile in I, è una primitiva di f in I se G'^'(x) = f(x).

Esempio: x² è una primitiva di 2x.

Teorema di caratterizzazione della primitiva

Sia I un intervallo e f(x) una funzione assegnata.

• Se F è una primitiva anche F + c è una primitiva ∀ c ∈ ℝ
• Se F, G sono due primitive ⇒ ∃ c ∈ ℝ t.c. G = F + c

Dimostrazione

• Sappiamo che F'^'(x) = f(x), una anche la derivata di F + c = f(x) perché c è un numero dunque d/dx c = 0.
• Poiché sono primitive dello stesso funzione si ha che F'^'(x) = G'^'(x) = f(x)

⇒ F'^'(x) - G'^'(x) = 0

Così significa che la funzione H = G - F ha derivata nulla e dunque H è costante in I, ovvero H = c ⇒ F(x) = G(x) + c □

Esempio: ∫₁^p dx = ln|x| + c

ln (x) + c x > 0

ln (x) + c x < 0

Teorema di Torricelli e Barrow

II^o teorema del calcolo integrale

I) Sia \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) una funzione limitata e integrabile in \([a, b]\), allora \( F(x) \) è continua (_{la funzione integrale}).

II) Sia \( f \) una funzione continua in \( I \). Sia \( F: [a, b] \to \mathbb{R} \) la sua funzione integrale.

\( F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \)

Importante: \( F(x) \) è derivabile in \([a, b]\) \(\Rightarrow\) \( F'(x) = f(x) \).

Dimostrazione

\( F'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \Rightarrow \lim_{{h \to 0}} \frac{1}{h} \left[ \int_{a}^{x+h} f(t) \, dt - \int_{a}^{x} f(t) \, dt \right] = \lim_{{h \to 0}} \frac{1}{h} \left[ \int_{a}^{x} f(t) \, dt + \int_{x}^{x+h} f(t) \, dt - \int_{a}^{x} f(t) \, dt \right] = \)

\( F'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) \, dt \)

\( \lim_{{h \to 0}} \frac{1}{h} \cdot h f(c_x) = f(x) = F'(x) \)

Per il teorema del valore medio, \( C \in [x, x+h] \), t.c. ⇒ per \( h \to 0 \) C -> x f(c_x) \cdot h = \int_{x}^{x+h} f(t) \, dt