Come risolvere iperstatiche

Scienza delle Costruzioni

Come risolvere strutture iperstatiche

Redatti da Matteo Ientile

Corso erogato presso Politecnico di Torino

A.A 2022-2023

Corso erogato da Prof. Bernardino Chiaia Prof. Valerio De Biagi

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Indice

1 Calcolo degli spostamenti 7

1.1 Introduzione al problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Procedimento per il calcolo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Strutture iperstatiche con metodo delle forze 9

2.1 Introduzione al problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Strutture 1-volta iperstatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Strutture n-volte iperstatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Cedimenti vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Carichi termici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Carico termico a farfalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.2 Carico termico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Strutture iperstatiche con metodo degli spostamenti 15

3.1 Introduzione al problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Travi a 1 campata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Procedimento per il calcolo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Telaio a L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3.1 Procedimento per il calcolo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Travi a più campate 19

4.1 Procedimento per il calcolo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Calcolo degli spostamenti con equazione differenziale della linea elastica 21

5.1 Convenzioni di segno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Procedimento per il calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Qualche tema d’esame 23

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4 INDICE

Leggimi leggimi leggimi

Il seguente file ha lo scopo di riassumere in poche pagine i passaggi da seguire per risolvere le strutture iperstatiche. Questa continua tendenza ad elencare i passaggi a mo’ di lista della spesa ha rappresentato per il sottoscritto un metodo utile per ridurre al minimo gli errori e velocizzare la risoluzione degli esercizi. Qui riportate alcune istruzioni d’uso:

1. Il file potrebbe contenere errori!!! Non è stato visionato da un docente e non vuole in alcun modo sostituirsi alla lezioni.
2. Non ha senso consultare il file senza aver seguito assiduamente lezioni ed esercitazioni; qui non troverete scorciatoie o formule magiche.

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6 INDICE

Capitolo 1

Calcolo degli spostamenti

1.1 Introduzione al problema

Apriamo la parte di esercizi di Scienza delle Costruzioni con il calcolo degli spostamenti in travi a seguito dell’applicazione di un carico. Questo metodo sarà molto utile per la trattazione di strutture iperstatiche. Infatti, quando negli esercizi successivi ci verrà chiesto di trovare lo spostamento in un determinato punto di una struttura iperstatica, quello che in realtà faremo sarà ricondurci ad una struttura isostatica associata e lavorare su di essa applicando proprio il metodo che segue.

1.2 Procedimento per il calcolo:

A partire da una struttura isostatica l’iter risolutivo prevede:

1. Istituire due sistemi: Per prima cosa imponiamo due sistemi:

   • Sistema “reale”: è la struttura isostatica dalla quale siamo partiti, identica per carichi esterni e per geometria. Di essa dobbiamo trovare il diagramma M .r
   • Sistema “fittizio”: è una struttura geometricamente identica all’isostatica di partenza, ma l’unico carico agente sulla struttura sarà una forza unitaria F = 1 agente nel punto in cui vogliamo calcolare lo spostamento. Anche di essa dobbiamo trovare il diagramma M .f vogliamo calcolare l’abbassamento in A? Inseriamo una forza F = 1 diretta verso il basso.

EX: 1

Figura 1.1:

EX 2 vogliamo calcolare la rotazione in B? Mettiamo una coppia M = 1 diretta a piacere.

2. PLV: in questo passaggio otterremo un’equazione da risolvere:

   • Al primo membro il prodotto tra le forze, reazioni vincolari e forze unitarie, nel sistema fittizio e gli spostamenti nel sistema reale. L’unico prodotto non nullo sarà in corrispondenza del punto di cui voglio calcolare lo spostamento. In definitiva, al primo membro avremo il prodotto tra la forza unitaria e lo spostamento incognito.

1 La forza potrebbe anche essere diretta verso l’alto, l’operazione è arbitraria

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8 CAPITOLO 1. CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI

Figura 1.2:

• Al secondo membro avremo un integrale:

BZ M rM dz (1.1)

f EI

A

3. Soluzione dell’integrale: possiamo portare fuori dal segno di integrale il prodotto “EI” e risolvere l’integrale tramite la formula di Simpson:

B −Z (B A) A + B A + BM r dz = [M (A)M (A) + 4M M + M (B)M (B)] (1.2)

M f r f r f rf EI 6 2 2

A

In presenza di una struttura con n aste, è fortemente consigliato risolvere n integrali, poi sommare i contributi.

Precisazione. Quando useremo questo metodo per trovare uno spostamento in strutture iperstatiche, il sistema reale sarà l’isostatica associata, compresa di reazione X con il valore già trovato. Di conseguenza, il momento M non sarà altro che il momento dell’isostatica rassociata “finale”.

Capitolo 2

Strutture iperstatiche con metodo delle forze

2.1 Introduzione al problema

In questo capitolo andremo a trattare la risoluzione di strutture n-volte iperstatiche tramite l’uso del metodo delle forze. A differenza di quanto visto nel corso di statica, ci troveremo a dover affrontare strutture i cui gradi di vincolo sono n-volte maggiori dei gradi di libertà.

2.2 Strutture 1-volta iperstatiche

Una struttura è 1 volta iperstatica se la differenza tra gradi di vincolo v e gradi di libertà g è pari a uno:

−v g =1 (2.1)

Figura 2.1:

Il metodo risolutivo è il seguente:

1. Calcolare il grado di iperstaticità:

   Ci accertiamo che la struttura sia una volta iperstatica.

2. Degradare la struttura ad isostatica:

   Per poter risolvere una struttura iperstatica è necessario degradarla ad isostatica; per far ciò dobbiamo modificare i vincoli della struttura di partenza, in modo da ottenere una struttura tale che v = g. Potremo modificare i vincoli in maniera del tutto arbitraria, tenendo a mente

Figura 2.2:

due sole regole:

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10 CAPITOLO 2. STRUTTURE IPERSTATICHE CON METODO DELLE FORZE

• Le modifiche non dovranno generare cinematismi;
• In corrispondenza del vincolo rimosso, dovremo inserire un carico incognito X a sostituzione della reazione vincolare.

EX: Nella struttura in figura, rimuovendo il carrello in D dovremo riportare una reazione X incognita verticale;

• Dobbiamo imporre che lo spostamento in corrispondenza del vincolo rimosso sia nullo.

EX: Nella struttura in figura, rimuovendo il carrello in D dovremo imporre v = 0.

D

3. Istituire 2 sistemi: −nel caso di strutture 1 iper avremo due sistemi:

   • Sistema 0: è la struttura isostatica appena ricavata, sottoposta unicamente ai carichi esterni.
   • Sistema 1: è la struttura isostatica associata sottoposta unicamente ad un carico unitario X = 1 in corrispondenza della reazione incognita X.

A questo punto, determiniamo i valori delle reazioni vincolari con il metodo appreso nel corso di Statica.

4. Diagrammi dei momenti:

Dopo aver trovato le reazioni incognite nelle isostatiche “0” e &rdqu