Cinematismo

Moto circolare

È un moto in cui:

• La traiettoria è una circonferenza;
• Il modulo (il valore) della velocità non cambia;
• Il punto materiale percorre archi di circonferenza che sono direttamente proporzionali ai tempi impiegati.

ω = _Δα/_Δt

φ: Angolo in fase = _L(t)/_R

L = ωt

L(t) = L₀ + ωt → φ(t) = _L(t)/_R = _{L0 + ωt}/_R = _ω/_R t

Moto circolare

È un moto in cui:

• La traiettoria è una circonferenza;
• Il modulo (il valore) della velocità non cambia;
• Il punto materiale percorre archi di circonferenza che sono direttamente proporzionali ai tempi impiegati.

ω = ^Δα/_Δb

φ: Angolo di fase = ^L(t)/_R

L = ωt

In generale se il punto P all'istante t = 0 non si trova in O'

L(t) = L₀ + ωt → φ(t) = ^L(t)/_R = ^{L₀ + ωt}/_R = ω/R t

La velocità angolare del punto esprime la velocità con la quale esso batte di angolo φ.

ω = dφ/dt = v/R ⇒ ω = v/R ⇒ φ(t) = ωt

Il moto del punto P è un moto preciso T: il punto P dopo un tempo T si trova nel medesimo punto.

T = 2πR/N ⇒ T = 2π/ω [relazioni]

Tempo per un giro della superficie all’area le proprie f(x) e quindi il numero di giri in 1 secondo.

f = 1/T [Hertz]

L’accelerazione centrifuga è l’accelerazione che sperimenta un corpo che si trova solidale con un sistema di riferimento in rotazione.

L’accelerazione centrifuga e di conseguenza la forza centrifuga, è diretta radialmente rispetto al centro di rotazione, con verso che tende ad allontanare il corpo dal centro di rotazione.

a_c = ω²r = v²/r

\[\dot{u} = a_u \hat{u} + v_\theta \hat{\theta}\]

\[v_\theta = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{R\omega - R\omega_0}{\Delta t}\]

\[= R \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = R \dot{\theta} \quad \text{circ. unif.}\]

\[a_\theta = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R\]

\[b = \sqrt{(dR)^2 + (\omega^2 R)^2} = R \sqrt{d^2 + \omega^4}\]

MCU

\[\Delta \theta \propto \Delta t\]

\[\Longrightarrow \Delta \theta = \omega \Delta t\]

\[\theta = \theta_0 + \omega (t - t_0) \longrightarrow \theta_0 + \frac{v}{R} (t - t_0)\]

\[\omega_r = \omega_Q \quad \longrightarrow \omega = \frac{v}{R}\]

Moto armonico

Il moto armonico è il moto della proiezione, su uno dei della rotazione è un punto che si muove di MCU.

x = A cos θ = A cos ω_t

x = A sin (ω_t + φ)

x(t) = A sin (ω_t + φ)

v(t) = ^dx/_dt = ωA cos (ω_t + φ)

a(t) = ^dv/_dt = a(t) = -ω² A sin (ω_t + φ)

Esercizio sul moto circolare uniforme

Un punto materiale si muove con moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio R=40 cm. Ad un certo istante, quando si ha θ=0 e ω=ω₀=5 s⁻¹, il punto inizia a frenare con decelerazione angolare costante, e si ferma dopo aver percorso un giro completo. Calcolare:

• Il tempo t_f impiegato a compiere il giro;
• Dove si trova il punto al tempo t_f/2;
• Il modulo dell'accelerazione del punto materiale al tempo t_f/2.

t=0

θ(t:0)=0

ω(t:0)=ω₀

α

|θ(t)|=ω₀t - ¹/₂ dt²

ω(t)=ω₀-dt

d>0

t_f:|θ(t_f)|=^2π/_d

^ω_tf

ω_tf=0

ω_₀-dt_f=0 ⇒ t_f=^ω_₀/_d

|ω_o

ω_₀- ¹/₂ dω_₀²/d²=2π =2π=⇒ t_f=^ω_₀2/_4π

t_f = ^ω_₀/d

d = ^(4π)/_T2/_4π = 1,98 rad⁻²

t_f = ^ω_₀/d = ^4π/ω_₀ = ^4π 5⁻(r⁻¹) = 25 s ≍

t_f/2 = 1/2   4π/ω₀ = 2π/ω₀   ω₀² /π

Θ(t_f/2) = ω₀ t_f/2 - 1/2 α(t_f/2)² = 2π - π/2 = 3/2 π

{u_z = -Rω²u_θ = -Rd}

w(t_f/2) = ω₀ - d t_f / 2 = ω₀ - ω₀² / ω₀ = ω₀/2

a_z(t_f/2) = - Rω₀²(t_f/2) = -R ω₀² / 4 = -2,5 m/s²

a_θ (t_f/2) = - R ω₀²/4π = −0,8 m/s²

|a| = √(a_θ² + a_z²) = 2,6 m/s²