Centro di massa e gli urti

Centro di massa

Sistemi di punti materiali

Centro di massa: Punto geometrico: somma pesata delle posizioni delle masse ^→r_CM = (r₁ → m₁ + r₂ → m₂ + ... + r_N → m_N) / (m₁ + m₂ + ... + m_N).

^→r_CM = ∑_i=1^N m_i ∙ ^→r_i / ∑_i=1^N m_i.

^→v_CM = d^→r_CM/dt = ∑_i m_i ∙ d^→r_i/dt / ∑_i m_i = ∑_i m_i ∙ ^→v_i / M_TOT = ^→P_TOT/_MTOT.

^→v_CM = ^→P_TOT/M_TOT.

^→a_CM = d^→v_CM/dt = ∑_i m_i ∙ d^→v_i/dt / M_TOT = ∑_i m_i ∙ ^→a_i / M_TOT.

Accelerazione centro di massa.

Dinamica dei punti materiali

^→F_INT azione al 3^° principio della dinamica.

^→R_INT = ∑_i=1^{N →}F_i^INT = ^→F₁₂ + ^→F₂₁ + ... = 0.

^→F_EST interazioni del sistema con l'esterno.

Ex. ^→R_INT = ^→N_AB + ^→N_BA = 0.

^→R_EST = ^→F_PA + ^→F_PB + ^→N = 0.

Centro di massa

Sistemi di punti materiali

Centro di massa: Punto geometrico, somma pesata delle posizioni delle masse.

^R_CM = (m₁r₁ + m₂r₂ + ... + m_Nr_N) / M_TOT = ∑_i m_ir_i / ∑_i m_i.

v_CM = dR_CM / dt = ∑_i (m_i dr_i / dt) = ∑_i (m_iv_i) / M_TOT = p_TOT / M_TOT.

a_CM = dv_CM / dt = ∑_i (m_i dv_i / dt) / M_TOT = ∑_i m_ia_i / M_TOT.

Accelerazione centro di massa.

^P_TOT = ^v_CM ∙ M_TOT.

Dinamica dei punti materiali

^F_INT secondo il 3° principio della dinamica.

^R_INT = ∑_i^{N F}_i^INT = ^F₁₂, ^F₂₁, ... = 0.

^R_EST interazioni del sistema con l'esterno.

Ex. ^R_INT = N_AB + N_BA = 0.

^R_EST = ^F_PA + ^F_PB + N = 0.

Teorema del moto del centro di massa

∑ mi ũi = Ṁtot Ṽcm.

Ṽcm = ^Ḟest / _Ṁtot.

m1 ã1 = Ḟ1.

Ṽcm = ^Ṗest / _Ṁtot.

Ṗtot = ∑ Ḟest = ∑ Ḟest.

Ṙ̇est = Ṁtot ãcm.

^d/ _dt (Ṁtot J̇cm) = J̇cm + ∫ m²/ _d ( Ṁtot J̇cm).

Ṙ̇est = J̇Ṗest/ _{d t}.

I equazione cardinale della dinamica di sistemi di punti materiali

Esempio: Ṙ̇est = r→ Ḟ11 x mi ũt.

Ṗtot = Ṗtot.

m1 ũi + Ħ3 m2 ũt = μ1a.

m1 ũixf = - m2 ũtf.

^d/ _dt (ṙi x ũs) = Ṙ̇ cm.

Teorema del momento angolare del centro di massa

J̇sat = ∑ Pmi + r x mi ũi.

^d/ _dt (Mtμ) = Ṫ x ^d _dt.

II equazione cardinale della dinamica di sistemi di punti materiali

Se  ω ≡0, _Ji∴_UCM, _Σ Fest∴_CM→0 Ι _L TOT d_t=_{Mest TOT} Principio di conservazione del momento angolare totale.

↺※ ×  m_tot∗_UCM→0ͼ → _LTOT=const.

Momento ※ad un particolare  ω →0.

Teorema energia cinetica sistemi di punti materiali

⋶_K↔Σ_i ½ μ⁶_iu²_i∼_EK=_L TOT⋈∝_. +_L∜_.–∫_INTΩ F₂⁶d_t ⌠ _L^INT+ ⌞Σ^I∼_EK_TOT=L_{NC+ LC}⇏⇏L_NC−∵=L_NC♦₩=&∼⇐⇢P_TOT≅⎣⏢∙P_TOT=

Sistema di riferimento del centro di massa

N.B._{ooX12X12X12x aria ≡ ξ≈}⌁͖

Primo teorema di König

_{Zo tot} = ∑_i r_i × m_{i ui} = ∑_i (r_i = _rcm) × m_i (_ui + _ucm) = ∑_i r_i × m_{i ui} + ∑_i r_i × m_{i ucm} + ∑_{i rcm} × m_{i ui} = _rcm × ∑_i m_{i ucm} = _rcm × m_{tot ucm} = _Zcm.

_{Zo tot} = _Ltot + _Icm × m_{tot ucm}.

Secondo teorema di König

_{Ek tot} = ∑_i t m_i u_i² = ∑_i m_i u_i² + ∑_i m_{i ucm}² × ∑_i m_i (_ui - _ucm).

_Etot = _Eki + _{Ek cm}.

Riassunto

Punto singolo

^{_P = m · _v}

^{d_P / dt = _R}

^{_Zo = _r × m _u}

^{d_Lo / dt = _Mr}

^{_Ek = ½ m _u2}

^{Δ_Ek = _W}

Sistema di punti

^{_Ptot = ∑_Mtot · _ucm}

^{d_Ptot / dt = _Rest}

I eq. cardinale.

^_Lotot

^{d_Lo / dt = − _Rcm × _{Mtot ucm} + _Medast}

II eq. cardinale.

^{_{Ek tot} = ∑_{i Ek i}}

^{Δ_{Ek top} = _Wint_tot + _West_tot}

Teorema energia cinetica.

Dinamica degli urti

Due punti materiali entrano in contatto.

Forze di ≈ 10³ N e Δt ≈ 10^-3.

Δt≈0 ⇒ Le posizioni durante l'urto non cambiano (approssimazione impulsiva).

L'impulso delle forze non impulsive ≈ 0.

\(\vec{R}_{EST} = \frac{d\vec{P}_{TOT}}{dt}\) I.eq. cardinale.

\(d\vec{P}_{TOT} \approx 0\) ⇒ \(\Delta \vec{P}_{TOT} = \vec{F}_{EST}^{urto} dt \quad ; \quad \vec{J}_{EST} ≈ 0\).

Se il sistema è isolato (\(\vec{F}_{EST}=0\)), segue \(\vec{R}_{EST} non\ impulsive\) ⇒ \(\Delta \vec{P} ≈ 0\).

Caratteristiche urti

\(\vec{P}\)

\(\vec{P}_{1} = m_{1} \vec{V}_{1i} + m_{2} \vec{V}_{2i}\)

\(P_{f} = m_{1} \vec{V}_{1f} + m_{2} \vec{V}_{2f}\)

\(\Delta \vec{P} = P_{f} - P_{i} ≈ 0\)

\(\Delta \vec{P} = 0\) non è sufficiente.

\(\vec{P}_{TOT} = m \cdot \vec{V}_{CM} = (m_{1} + m_{2}) \vec{V}_{CM}\)

\(\Delta \vec{P}_{TOT} = \quad int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{R}_{EST} dt \quad ; \quad \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{R}_{CM} dt ≈ 0\) ⇒ \(\Delta \vec{P}_{TOT} ≈ 0 \quad ; \quad \Delta \vec{V}_{CM} ≈ 0\).

\(\Delta \vec{P}_{12} = m_{1} \vec{v}_{1f} + m_{2} \vec{v}_{2f} = \vec{j}\)

\(\Delta \vec{P}_{21} = m_{2} \vec{v}_{2f} + m_{2} \vec{v}_{2f} = \vec{j}_{2e}\)

Sapendo \(\Delta \vec{P}_{TOT}=0\) ⇒ \(\vec{J}_{12} + \vec{J}_{21} = 0\) ⇒ \(\vec{J}_{12} = -\vec{J}_{21}\).

Energia cinetica

E_M = E_K + E_P     E_K = ∑_i ½ m_iU_i²     E_P = ∑_i E_{P i}.

ΔE_M = ΔE_K + ΔE_P.

E_K = E_K^I + ½ m_totU_CM².

^{Può variare}

3 categorie

• Urto elastico: si conserva P_r, si conserva anche E_K (anche E_M).
• Urto anelastico: si conserva P_r, non si conserva E_K.
• Urto completamente anelastico: si conserva P_r, non si conserva E_K, i due corpi sono attaccati dopo l'urto anelastico.

Urto completamente anelastico

P_^r si conserva, E_K non si conserva.

ΔP = 0.

U_CM = (m₁ U₁^I + m₂ U₂^I) / (m₁ + m₂) E_K = ½ m₁U₁^I2 + ½ m₂U₂^I2 = E_K^I + ½ (m₁ + m₂) U_CM².

E_K = ½ (m₁ + m₂) U_CM².

ΔE_K = -E_K^I < 0.