Calcolo numerico completo - Prova orale

Numeri complessi

α ∈ ℂ

α = a + bi

Rappresentazione algebrica del numero complesso

Unità immaginaria: i² = −1

Parte reale: a Re(α)

Parte immaginaria: b Im(α)

Operazioni

α = a + bi   β = c + di

Addizioni

α + β = Re(α + β) + Im(α + β)    = (a + c) + (b + d)i

Moltiplicazioni

α β = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + i²bd                          = (ac − bd) + i(ad + bc)

Reciproco

Moltiplica numeratore e denominatore per l’unità immaginaria del denominatore.

α^-1 = −i/α + bi = α − bi/(a + bi) (a − bi) = α² + b² − α²/α² + b²

Divisione

α/β = αβ^-1

Complesso coniugato

α = a − bi

α · β = a² − b² se α = α allora b = 0: numero reale

Numeri complessi

a+bi ∈ ℂ

α=a+bi

Parte reale: a = Re(α)

Parte immaginaria: b = Im(α)

Operazioni

α=a+bi   β=c+di

Sottrazione: α + β = Re(α+β) + Im(α+β)=(a+c) + (b+d)i

Moltiplicazione: (α+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = ac+ adi + bci - bd=(ac-bd) + i(ad+bc)

Reciproco

Mai unito immaginario nel denominatore.

α = ^α-bi/_{α² + b²}

Divisione

α/β = α∣β

Complesso coniugato

α = a-bi

α-bi ∃&implies; β

Se α≠α allora b=0; numero reale

Modulo

Modulo di α = 2 + bi . α = √(a² + b²)

È un numero reale.

Rappresenta (a livello grafico) la lunghezza del vettore OP (Origine, P (a ; b))

Teorema di Pitagora

Piano Argand-Gauss

Piano Argand-Gauss (bi-complesso)

Asse immaginario

Asse reale

δ, Argomento, è l'angolo fra l'Asse Reale e il vettore = Arg(α)

È in radianti = ^60°/₂

Se α = 0 allora δ è indeterminato

Forma trigonometrica di α

Forma trigonometrica di α

α = |α|(cosδ + i·senδ) = |α|^a/_|α| + |α|^b/_|α|i α = α | | (cosδ + i·senδ)

α = β solo se

α = β

δ_α = δ_β

Moltiplicazione nella formula trigonometrica

Moltiplicazione nella formula trigonometrica

_^αβ = [cos φ + i sin φ] · [cos Ω + i sin Ω]

[cos φ cos Ω - sin φ sin Ω + i (sin φ cos Ω + cos φ sin Ω)]

= r s [cos φ + Ω) + i (sin (φ + Ω)]

Reciproco di un FT

Reciproco di un FT

_^α-1 = ₁/^{[cos δ + i sin δ]} = [[cos_δ - i sin_δ]cos_δ + i sin_δ = 1

₁/^{(cos δ + i sin δ)] · [cos_δ - i sin_δ]} i/ = ₁/^{[cos(δ) + i sin(δ)]}

cos(δ) = i c

Divisione

_α/^β = s [cos δ + i sin δ] [₁ / ^{cos Ω + i sin Ω}]

= r/s [cos(φ) · cos(-Ω) + sin φ · sin(-Ω) + i (sin φ cos (-Ω) + cos φ sin(-Ω))]

= r/s [cos(δ - Ω) + i sin(δ - Ω)]

Se δ = Ω & r/s avee il desigual o β allora α/β = 1

Esponenziale e formula di De Moivre

Esponenziale (formula di De Moivre)

(e^{0_{i π}})^m = [cos(mp) + i sin(mθ)]

Forma esponenziale di un numero complesso

Forma esponenziale di un numero complesso nella forma trigonometrica:

α = cosβ + i sinβ = e^iδ

Formule di Eulero

Formule di Eulero:

cosδ = ^{eiδ + e-iδ} / ₂

sinδ = ^{eiδ - e-iδ} / _2i

Matrici

Matrici

A = (_{m x n})

In generale per indicare una riga i e una colonna j . Si usa a_i,j dove i,j sono gli elementi della matrice i-esimo rigo A_i = (_{i,1 i,2} ... _i,m)