Calcolo numerico - Appunti

Errore assoluto e relativo

Dati un numero x ∈ ℝ e il suo corrispondente numero macchina:

e_a = |x - x̃|

e_r = |x - x̃| / |x|, x ≠ 0

| P - P̃ | ≤ 1 / 2 N^1-t

| P - P̃ | / |P| ≤ 1 / 2 N^1-t

Epsilon di macchina: eps = N^1-t

Precisione di macchina: ε_m = 1 / 2 N^1-t / 2 eps

x̃ = x + x ε

Dettagli su Matlab

• 64 bit
• 1 bit di segno
• 52 bit di mantissa
• 11 bit di esponente

ε_m = 1 / 2 N^1-t / 2 = 2^-52 ≃ 2.204 * 10^-16

N = 2

Arrotondamento = rounding to even

min: più piccolo numero di macchina non nullo: 2^-1022 ≃ 2.20 * 10^-308

max: più grande numero di macchina: M ≃ 1.8 * 10³⁰⁸

53 cifre della mantissa in base 2 corrispondono a circa 16 cifre per la mantissa in base 10

Operazioni di macchina

Dati due numeri di macchina x̃₁, x̃₂

x̃₁ ⊕ x̃₂ = x̃₁ + x̃₂

= (x̃₁ + x̃₂) (1 + ε₀)

x̃₁ ⊖ x̃₂ = x̃₁ - x̃₂

= (x̃₁ - x̃₂) (1 + ε₀)

ε₀ errore introdotto dall'arrotondamento

ε₀ errore dovuto all'arrotondamento

Tutto ciò perché il risultato di un'operazione aritmetica tra due numeri di macchina generalmente non è un numero di macchina.

La generica operazione di macchina ⊖ assembla a due numeri di macchina un terzo numero di macchina, ottenuto arrotondando l'esatto risultato dell'operazione in questione.

Proprietà

x̃₁ ⊕ x̃₂ = x̃₂ ⊕ x̃₁

p. commutativa

p. commutativa

x̃₁ ⊖ x̃₂ = x̃₂ ⊖ x̃₁

p. commutativa

In generale

x̃ (x̃₂ ⊕ x̃₃) ≠ (x̃ ⊕ x̃₂) ⊕ x̃₃

x̃ (x̃₂ ⊖ x̃₃) ≠ (x̃ ⊖ x̃₂) ⊖ x̃₃

(x̃ ⊕ x̃₂) ⊕ x̃ ⊖ (x̃₂ ⊕ x̃₃):

p. associativa

p. associativa

p. distributiva

p. distributiva

Errore assoluto e relativo

Dati un numero x ∈ ℝ e ̅ il suo corrispondente numero macchina:

e_a = |x - ̅|

e_r = |x - ̅| / |x|, x ≠ 0

|P - ̅| / |̅| ≤ 1/2 N^1-t

Epsilon di macchina: eps = N^1-t

Precisione di macchina: ε_m = 1/2 N^1-t = 1/2 eps

I̅ = I + ± εI

Dettagli su Matlab

• 64 bit
• 1 bit di segno
• 52 bit di mantissa
• 11 bit di esponente

ε_m = 1/2 N^1-t = 1/2 2^-52 = 2.2e-16

N = 2

Arrotondamento: rounding to even

t_min: più piccolo numero di macchina non nullo ̅ = ±2^-1022

t_max: più grande numero di macchina M̃ ≈ 1.8e 308

53 cifre della mantissa in base 2 corrispondono a circa 16 cifre per la mantissa in base 10

Operazioni di macchina

Dati due numeri di macchina ̅₁, ̅₂:

̅₁ ⊕ ̅₂ = (̅₁ + ̅₂) (1 + ε_⊕)

̅₁ ⊖ ̅₂ = (̅₁ - ̅₂) (1 + ε_⊖)

ε_⊕ errore introdotto dall'arrotondamento

ε_⊖ errore dovuto all'arrotondamento

Tutto ciò perché il risultato di un'operazione aritmetica tra due numeri di macchina generalmente non è un numero di macchina.

La generica operazione di macchina ⊛ associa a due numeri di macchina un terzo numero di macchina, ottenuto arrotondando l'esatto risultato dell'operazione in questione.

Proprietà

̅₁ ⊕ ̅₂ = ̅₂ ⊕ ̅₁   p. commutativa

̅₁ ⊖ ̅₂ = ̅₂ ⊖ ̅₁   p. commutativa

In generale:

̅ (̅₁ ⊕ ̅₂) ≠ (̅ ⊛ ̅₁) ⊕ ̅₂   p. associativa

̅ (̅₁ ⊖ ̅₂) ≠ (̅ ⊛ ̅₁) ⊖ ̅₂   p. associativa

Polinomio di grado n

Numero al denominatore

Se si valuta il polinomio in x_i => ℓ(x_i) = {1 se i=s, 0 se i≠s} => l_s(x) interpola i dati: (x₁, 0),...,(x_s-1, 0), (x_s, 1), (x_s+1, 0),...,(x_n+1, 0)

Ulteriore rappresentazione

Assegnati dati (x_i,y_i), i=1,...,n è immediato verificare che il polinomio di grado n p_n(x) = ∑_j=1ⁿ⁺¹ y_jℓ_j(x) soddisfi le condizioni di interpolazione.

Infatti: p_n(x_i) = ∑_j=1ⁿ⁺¹ y_jℓ_j(x_i) = y_i; ℓ_i(x_i) = y_i; i=1, ..., n+1

I polinomi: ℓ_s(x) di grado n sono detti polinomi fondamentali di Lagrange associati ai nodi x.

Esempio

Scriviamo la rappresentazione di Lagrange del polinomio p₃(x) interpolante i dati (0,1), (1,-1), (2,1), (1/2,-2). Per i polinomi l_s(x), s=1,2,3,4 si ha:

l₁(x) = (x-x₂)(x-x₃)(x-x₄) / (x₁-x₂)(x₁-x₃)(x₁-x₄) = (x-1)(x-2)(x-1/2) / (0-1)(0-2)(0-1/2)

l₂(x) = (x-x₁)(x-x₃)(x-x₄) / (x₂-x₁)(x₂-x₃)(x₂-x₄) = (x-0)(x-2)(x-1/2) / (1-0)(1-2)(1-1/2)

l₃(x) = (x-x₁)(x-x₂)(x-x₄) / (x₃-x₁)(x₃-x₂)(x₃-x₄) = (x-0)(x-1)(x-1/2) / (2-0)(2-1)(2-1/2)

l₄(x) = (x-x₁)(x-x₂)(x-x₃) / (x₄-x₁)(x₄-x₂)(x₄-x₃) = (x-0)(x-1)(x-2) / (1/2-0)(1/2-1)(1/2-2)

La rappresentazione di Lagrange del polinomio p₃(x) interpolante è:

p₃(x) = 1 · l₁(x) + (-1) · l₂(x) + 1 · l₃(x) + 2 · l₄(x)

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Nodi di Chebyshev e convergenza

Scegliendo come nodi d'interpolazione i punti x_i = _b-a/² z_i + _b+a/², i=1, ...., n+1

che rappresentano i nodi di: Chebyshev / Chebyshev-Lobatto nell'intervallo [a, b],

la successione dei polinomi: { P_n(x) } interpolanti una funzione f ∈ C¹ [a, b] nei nodi x_i, converge uniformemente a f, al tendere del numero dei nodi all'infinito.

Z ∈ [-1, 1] ⟶ x ∈ [a, b]

Teorema

{ P_n(x) } successione dei polinomi interpolanti f∞_a nei nodi: x ∈ [a, b] di Chebyshev / Chebyshev-Lobatto. Se f ∈ C^k [a, b] ⟹ || f - p _n || = O ( _{ln n}/^nk ) n ⟶ ∞ La convergenza è tanto più rapida quanto più regolare è la funzione f.

La convergenza uniforme non è garantita se la funzione f è solo continua.

A un aumento del grado n del polinomio interpolante non corrisponde necessariamente un miglioramento nell'approssimazione di una funzione f.

La convergenza uniforme del polinomio interpolante alla funzione interpolata dipende dalla scelta dei nodi e dalla regolarità della funzione f.

La scelta dei nodi equispaziati non garantisce la convergenza uniforme, neppure per funzioni dotate di derivato continuo di qualunque ordine.

Se f è continua con la sua derivata prima, la scelta dei nodi di: Chebyshev / Chebyshev-Lobatto garantisce invece la convergenza uniforme.