Biomeccanica del movimento - Dinamica inversa

Dinamica inversa

Definizioni e concetti chiave

Dinamica: branca della meccanica che si occupa della determinazione delle forze sia come effetto sia come causa del movimento.

Dinamica inversa: perché conosciamo la cinematica e la geometria e vogliamo capire le forze che causano le accelerazioni lineari ed angolari. Utilizziamo sempre le equazioni della dinamica ma assumono sistemi di equazioni lineari (e non differenziali come nel caso della dinamica diretta) quindi di semplice soluzione.

Quello che è complicato è ricavare tutte le grandezze necessarie per scrivere le equazioni per poterle risolvere. Quello che vorremmo sapere idealmente è le forze che i nostri muscoli esercitano su un segmento corporeo ma purtroppo non si arriva mai fino a questo dettaglio perché le equazioni di moto per ciascun moto nello spazio saranno 3 equazioni di equilibrio delle forze e 3 equazioni di equilibrio dei momenti, cioè le classiche leggi di Newton. 3 perché è scritta una per ciascuna componente del sistema di riferimento assoluto (laboratorio).

Sistemi complessi e decomposizione delle forze

I muscoli però sono molto numerosi quindi dovremmo scrivere un sistema il numero di incognite è straordinariamente maggiore al numero di equazioni che riesco a scrivere. Queste forze e questi momenti che andremo a risolvere con la dinamica inversa non sono altro che forze e momenti risultanti attivi a livello di ogni articolazione. Un qualsiasi sistema complesso di forze e coppie (o momento) può essere decomposto in un'unica forza e un unico momento agente sul corpo così abbiamo informazioni globali/sintetiche circa quelli che sono gli sforzi agenti su un particolare segmento.

Faremo riferimento alle equazioni di Newton che applicheremo (in quelle classiche si parla di corpi rigidi e forze agenti su di un corpo rigido supposto libero di muoversi nello spazio 3D). Il corpo umano è una catena cinematica vincolata tra di loro di corpi rigidi non siamo liberi di muoversi nello spazio, abbiamo piedi per terra per esempio. Per questo dobbiamo poter immaginare il segmento rigido di un nostro corpo libero di muoversi nello spazio. Per fare ciò quello che ci viene utile è il concetto di corpo libero (free body) che è quello che si ottiene ipotizzando di suddividere un segmento rispetto a quelli adiacenti mediante dei tagli ideali.

Analisi delle forze e delle coppie

Ad esempio, tra gamba e piede attuo un taglio ideale e sostituisco ai complessi forze e momenti che c'è nell'articolazione della caviglia con un'unica forza risultante e un unico momento risultante. Quindi posso pensare di staccare il piede dal resto del corpo e se a sua volta la gamba è tagliata dal resto del corpo posso andare a capire la forza risultante e la coppia risultante all'articolazione della caviglia e procedo via via verso l'alto. Cominceremo dal piede poi trovato forza e coppia risultante cambieremo il segno perché forza = e contraria (per il terzo principio) sono quelle che agiscono su due corpi adiacente.

Supponiamo di considerare che nella figura sotto il corpo più piccolo è il piede e il corpo grande è il resto del corpo.

Forze che agiscono sul corpo

• Ci saranno la forza e la coppia risultante per opera del taglio che ho fatto.
• Ogni corpo ha la propria massa quindi ci sarà una forza peso diretta verso il basso che posso cercare di determinare, non misurare perché dovrei staccare il piede e metterlo sulla bilancia.
• Se ho forze scambiate con l'ambiente esterno come in questo caso devo cercare di misurare queste forze perché non mi posso permettere altre incognite. Queste forze non possono essere stimate ma devono poter essere misurate, nel caso in cui siano rilevanti.
• Per il fatto che il corpo si muova nello spazio è sottoposto a una accelerazione lineare e a un'accelerazione angolare e velocità angolare. Forza di inerzia = m * (-accelerazione del centro di massa).

Inerzia e coppie di inerzia

Forza di inerzia e forza di gravità sono applicate nel centro di massa e si oppone alla variazione delle velocità lineare del corpo stesso. Il corpo ruota con una certa velocità angolare e a un'accelerazione angolare quindi il corpo è sottoposto a una coppia di inerzia che si oppone alla variazione delle velocità angolari del corpo stesso. Le coppie sono vettori liberi quindi non sono applicati al centro di massa come nel caso della forza di inerzia.

Segmenti e vincoli

Consideriamo il generico segmento libero di muoversi nel sistema di riferimento inerziale. I vincoli con i segmenti adiacenti sono stati sostituiti da forze e coppie risultanti alle articolazioni prossimali e distali.

Definendo:

• Q: centro di riduzione delle forze interne.
• F: la risultante delle forze gravitazionali (forza peso del generico segmento); forza intersegmentale, ovvero risultante delle forze interne (incognite) ridotte al punto Q.
• F_r: la risultante delle forze di reazione scambiate con l'esterno e agenti sul segmento nel punto.
• F: la forza d'inerzia (di D'Alembert) agente sul centro di massa.
• C: coppia intersegmentale, ovvero risultante dei momenti.