Bilanci in moto laminare

Indice

Indice ………….……….1

• Trasporto in moto laminare o nei solidi in una direzione………………………………………………………………………..….……3
• Moto di un film cadente ……….……12
• B Q D Milancio di quantità i oto in uno strato o moto laminare……………….………12
• Moto laminare di un fluido in un condotto cilindrico………………………………….…………….……..…19
• Sistemi di tipo anulare ……………………..……………………..………23
• Fluidi immiscibili adiacenti ……………………….…………...……26
• Moto di scorrimento attorno ad una sferab e .……….…………35
• Ilancio di energia in uno strato o moto laminare …………...…………38
• Conduttore elettrico attraversato da corrente elettrica…………….…..…..……43
• Trasferimento di calore attraverso pareti compositet (Rrasporto di calore in presenza di reazione chimica eattore catalitico)……………………………………………………..….......…45
• A letto fissomoto di un fluido in un condotto verticale con scambio di calore con’ ……………………………………….…..……51
• L esterno …………...……56
• C : Tonvezione naturale moto tra piastre parallele a diverse’ …………..……...……66
• Profilo di temperatura in un aletta di raffreddamento …..…………...73
• B Milancio di ateria in uno strato o in moto laminare………………………………..……73
• Introduzione alle principali grandezze ……………………….………….78
• Diffusione con reazione chimica eterogenea………………………………....…87
• Diffusione con reazione chimica omogenea……………………….…………..…..…94
• Assorbimento con reazione chimica …………………..…………101
• Profilo di concentrazione in catalizzatori porosi……………………………...………112
• Diffusione di materia su un film cadente– …………………..…….……122
• Processi reattivi non catalitici fluido particella

Trasporto in moto laminare o nei solidi in una direzione

Il nostro obiettivo è ricavare le distribuzioni di velocità nel moto laminare, in particolare vogliamo andare a ricavare i profili di velocità in alcuni sistemi fluidi in moto laminare e con geometrie semplici.

Lo strumento per raggiungere questo obiettivo è l’applicazione dei bilanci locali di quantità di moto, i quali andranno sempre preceduti dai bilanci locali di materia (globali).

In generale ci metteremo in condizioni di stazionarietà, ossia quelle così dette di flusso invariabile nel tempo: se facessimo una foto del sistema al tempo t=t sarebbe uguale a farla ad un tempo t > t .0 0

Per poter applicare il bilancio locale di quantità di moto si deve come prima cosa individuare il volume di controllo: riguarderà uno strato sottile di fluido o, per meglio dire, un volume di fluido che abbia almeno in una direzione delle dimensioni infinitesime, ed è proprio la direzione rispetto alla quale il volume sarà infinitesimo quella in cui la variabile sta variando (se la velocità varia lungo il raggio il volume infinitesimo dovrà riguardare la direzione radiale).

Strato di fluido con almeno una direzione infinitesima. Direzione rispetto a cui la variabile sta variando. Volume di controllo.

L’equazione di bilancio della quantità di moto ci dirà che: sommatoria delle forze, velocità di uscita della, velocità di ingresso di superficie e di volume, della quantità di moto, quantità di moto attraverso ±0 −= lume che agiscono sul, attraverso le superfici verso le superfici del volume di controllo, del volume di controllo volume di controllo.

L’equazione di bilancio è esattamente la stessa del bilancio integrale di quantità di moto, la differenza sta nel fatto che in questo caso è applicata ad un volumetto che almeno in una direzione risulta avere dimensioni infinitesime.

C’è da evidenziare come il bilancio di quantità di moto sia sostanzialmente un bilancio di forze.

Procedimento da seguire

Andiamo a vedere qual è il procedimento da seguire per risolvere questo tipo di problema:

• A. Scrivere il bilancio di quantità di moto (dopo quello di materia) per uno strato di spessore finito.
• 1. Far tendere a zero lo spessore ottenendo un’equazione differenziale del primo ordine.
• 2. Risolvere l’equazione differenziale per trovare la distribuzione spaziale di quantità di moto.
• B. Scrivere l’equazione costitutiva che descrive il flusso di quantità di moto, con particolare attenzione al fatto che si abbia un fluido Newtoniano (equazione di Newton) o meno.
• 3. Sostituire l’equazione del punto B nella distribuzione di quantità di moto ottenuta al punto 2.
• 4. Risolvendo troviamo la distribuzione spaziale delle velocità.

Avendo a che fare con delle equazioni differenziali sarà necessario scrivere le condizioni al contorno, necessarie per specificare il problema che stiamo trattando.

Sostituendo l’equazione costitutiva all’interno dell’equazione differenziale del primo ordine che otteniamo nel procedimento A, otteniamo un’equazione differenziale del secondo ordine che necessiterà di due condizioni al contorno (ci saranno due costanti di integrazione).1

Casi esaminati

I casi che esamineremo sono sostanzialmente 3:

• Interfaccia fluido-solido: la velocità del fluido deve essere uguale alla velocità del solido. = Se: ➢ Il condotto è fermo il fluido a contatto con il condotto deve essere fermo. ➢ Il solido si muove di velocità v anche il fluido a contatto con il solido si muoverà di velocità v (pensa a tavola da surf).
• Interfaccia liquido-gas: nella maggior parte dei casi (non sempre) succede che il flusso di quantità di moto sulla superficie interfacciale liquido gas sia pari a zero. =0
• Interfaccia liquido 1 - liquido 2: in questo caso si osserva che la velocità all’interfaccia del liquido 1 è uguale alla velocità del liquido 2 all’interfaccia, inoltre il flusso di quantità di moto del liquido 1 all’interfaccia è uguale al flusso di quantità di moto del fluido 2 all’interfaccia. = 1 2 All’interfaccia = 1 2

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Moto di un film cadente

Quello del moto di un film cadente ha un’enorme importanza sia dal punto fenomenologico che applicativo nell’ingegneria chimica.

Consideriamo la seguente rappresentazione: liquido in ingresso, serbatoio. Consideriamo il moto di un fluido lungo una superficie piana inclinata di un angolo rispetto alla verticale e avente larghezza (ortogonale all’asse del foglio) pari a W.

Il nostro obiettivo è quello di ricavare il profilo di velocità attraverso il film liquido.

Facciamo le seguenti ipotesi:

• Stato stazionario.
• Proprietà fisiche costanti (densità e viscosità).
• Assenza di effetti di imbocco e di sbocco: prendiamo il nostro fluido sufficientemente lontano dall’ingresso del serbatoio in cui viene immesso il liquido e sufficientemente distante dal punto di liquido stesso (compreso tra le linee tratteggiate). Questo si fa per evitare effetti di perturbazione legati all’imbocco e allo sbocco.
• Fluido viscoso: il moto risulta essere laminare.

Concentriamo dunque la risoluzione del problema alla porzione di fluido compresa tra le linee tratteggiate, supponendo che la lunghezza di questo tratto sia pari a L.

In sostanza stiamo escludendo la parte in cui il fluido incontra cambi di direzione e consideriamo una zona in cui il moto del liquido risulta essere sufficientemente regolare, oltre che avvenire in una sola direzione (z).

Fissiamo un sistema di riferimento con x rivolto ortogonalmente al pelo libero del liquido, mentre z sarà quella in direzione del moto.

La prima cosa che dobbiamo fare è scrivere il bilancio locale di materia, ma prima ancora vediamo quali sono le ulteriori semplificazioni che è possibile applicare:

• = = 0: il fluido non si muove né in direzione x, cioè perpendicolarmente alla piastra, né in direzione y, cioè ortogonalmente al piano del foglio.
• ≠ 0: è l’unica componente non nulla della velocità. + ∆ +

Consideriamo un elementino di fluido che le cui dimensioni sono comprese tra e e e ∆.

Il bilancio di materia in stato stazionario dovrà dirci che tutta la materia che entra nel volumetto di controllo deve anche uscirne, in particolare la superficie del volumetto attraversata dal flusso di massa ∆ è data da 3.

Rappresentando il volumetto in termini tridimensionali abbiamo che: la componente della velocità (freccia verde) entra nell’elementino di volume come riportato in figura, è chiaro dunque che la superficie che interessa il flusso ∆ di materia è.

Ricordiamo ancora una volta che non sono presenti componenti della velocità lungo x e lungo y. ∆

Il bilancio di materia locale in stato stazionario sarà espresso come: ∆: portata volumetrica di fluido che passa attraverso la super- 3 ∆ [ ].ficie ∆ + ∆ = 0 | |+∆ ∆: portata massica di fluido che passa attraverso la superfi- ∆ [ ].cie

∆: Dividiamo tutto per La densità abbiamo detto che risulta essere costante e pertanto può + | |+∆ essere semplificata, stesso discorso per W. ∆ =0 ∆ ∆ non sta variando lungo z e può anch’esso essere semplificato.

Da questa espressione otteniamo: + | |+∆ =0 ∆

Facendo il limite per ∆ → 0: questo significa che a parità di coordinata x se ci muoviamo lungo z incontreremo sempre lo stesso valore di ossia l’unica componente non nulla della velocità non varia lungo z. =0 Detta in altri termini, il profilo di velocità è indipendente da z, spostandoci lungo z incontreremo sempre lo stesso profilo di velocità.

C’è da fare molta attenzione al fatto che questo non significa che è costante in generale, perché lo è solo in direzione z (varia nelle altre direzioni, varierà sicuramente in direzione x) e cioè in direzione del moto.

A questo punto dobbiamo scrivere il bilancio di quantità di moto e per farlo rappresentiamo il sistema: denotiamo con lo spessore di liquido del film cadente.

Per poter applicare il bilancio di quantità di moto è necessario individuare il volume di controllo, in particolare questo sarà uno spessore del fluido compreso tra e + ∆ di lunghezza L e di larghezza W. 4 ∆

Noi stiamo considerando lo spessore del fluido perché è proprio in direzione x che la componente della velocità sta variando, infatti ricordiamo che lo spessore infinitesimo del volume di controllo va scelto proprio nella direzione in cui quel parametro sta variando.

Anche in direzione W la componente è nulla, avendo a che fare con una piastra di larghezza indefinita muovendoci in direzione trasversale alla piastra il profilo di velocità rimarrà lo stesso.

Avendo individuato il volume di controllo possiamo scrivere il bilancio di quantità di moto.

Essendoci un fluido in movimento sappiamo che la quantità di moto sarà scambiata mediante due meccanismi: uno molecolare e uno convettivo.

Il meccanismo molecolare nel caso della quantità molecolare è, quello che generava le che nel caso di fluidi newtoniani abbiamo espresso mediante la legge di Newton (flusso di quantità di moto per trasferimento molecolare).

Il trasferimento di quantità di moto per meccanismo convettivo è strettamente legato al fatto che c’è un fluido che si muove, un moto d’insieme.

Nel nostro caso sono presenti entrambi i meccanismi, ma ovviamente agiranno in maniera diversa e soprattutto su superfici diverse.

Le forze tangenziali saranno delle in quanto saranno dirette in direzione z e ortogonali alla direzione x, ovviamente essendo responsabili del fatto che il fluido più lento rallenta quello più veloce, saranno applicate alla superficie verde in figura e alla corrispondente superficie sottostante (superficie superiore e inferiore dell’elementino).

Il termine convettivo agisce sulla superficie rossa in figura e la corrispondente superficie dall’altra parte, questo perché il termine convettivo è legato al fluido che si muove e la velocità è diretta verso l’asse z.

− + ( ∆) − ( ∆) + ∆ () = 0 | |+∆ |=0 |=

Portata di quantità di moto netta Portata di quantità di moto netta (entrante - Forze agenti (entrante - uscente) per trasporto uscente) per meccanismo convettivo molecolare.

Analizziamo i vari termini:

• 3 ∆: ∆ [ ]. portata volumetrica di fluido che passa attraverso la superficie.
• ∆: ∆ [ ]. portata massica di fluido che passa attraverso la superficie.
• ∆: ∆ [ ]. portata di quantità di moto che passa attraverso la superficie.
• 3[ ]. ∆ : volume dell’elementino [].
• ∆ : massa del volume dell’elementino []
• ∆ : peso del volume dell’elementino

Notiamo come l’unica forza che agisce sul sistema sia la forza di gravità che, essendo una forza di volume, agirà sull’intero volume dell’elementino.

Poiché stiamo applicando il bilancio in direzione z, ossia la direzione del moto del fluido, è necessario proiettare la forza di gravità in tale direzione. 5

Il primo termine del bilancio può essere visto sotto due vesti:

• Trasporto molecolare di quantità di moto (come nel nostro caso).
• Forza di superficie: forza che agisce sulla superficie superiore e inferiore, intendendo che il fluido più lento esercita una forza resistente contraria al moto rispetto a quello più veloce, mentre quello più veloce esercita una forza di trascinamento nei confronti del fluido più lento (è come se fosse una pressione che moltiplichiamo per la superficie).

Non cambia niente esprimerla in un modo o nell’altro, ciò a cui bisogna stare attenti è non conteggiarla due volte: o si conta come un flusso di quantità di moto per trasporto molecolare o come una forza). tangenziale (l’espressione bilancio resta la stessa, è sempre moltiplicato per

Tornando al bilancio notiamo come i termini di portata di quantità di moto entrante e uscente per convezione siano uguali e possano essere semplificati, questo perché abbiamo detto che non varia in direzione z.

− + ∆ () = 0 | |+∆

Allo stesso modo possiamo semplificare che sono delle costanti: − + ∆ () = 0 | |+∆

Dividiamo tutto per ∆: − |+∆ | = () ∆

Facendo il limite per ∆ → 0: = ()

Risolvendo questa equazione otteniamo la distribuzione spaziale del flusso di quantità di moto, cioè come sta variando in