Argomenti teorici di Analisi matematica 2

Analisi

Matematica 2

1. Topologia in , Grafici e Insiemi di Livello

ℝ

Elementi di Topologia in ℝ

L'ambiente di lavoro è lo spazio vettoriale , dotato della norma euclidea

-dimensionale ℝ

=1 2 .

‖‖ = √∑

Intorno sferico: Dati e l'intorno sferico (o palla aperta) di centro e

• ∈ ℝ > 0,

0 0

raggio è:

( ) { }

= ∈ ℝ : ‖ − ‖ <

0 0

Classificazione dei punti rispetto a un insieme :

• ⊆ ℝ

Interno: se esiste un tale che ( )

∈ > 0 ⊆ .

o 0 0

Esterno: è interno al complementare .

o 0

Di frontiera: In ogni intorno cadono sia punti di che di . L'insieme

( )

o 0

di tali punti costituisce la frontiera .

Di accumulazione: Ogni intorno contiene almeno un punto di

( )

o 0

distinto da .

0

Proprietà degli Insiemi:

• Aperto: Ogni suo punto è interno ( Int ).

()

=

o Chiuso: Il suo complementare è aperto (contiene tutti i suoi punti di

o accumulazione e la sua frontiera).

Limitato: È contenuto in una palla di raggio finito: ∃ > 0: ‖‖ ≤ , ∀ ∈ .

o Compatto: Un insieme chiuso e limitato (Teorema di Heine-Borel).

o

Grafici e Insiemi di Livello

Sia : ⊆ ℝ → ℝ. +1

Grafico: L'insieme dei punti in definito da:

• ℝ +1

() ( ))

{(,

= ∈ ℝ : ∈ }

Per il grafico rappresenta una superficie nello spazio 3D.

= 2,

Insieme di Livello: Per l'insieme di livello è l'insieme di punti del dominio in

• ∈ ℝ,

cui la funzione assume valore costante :

() { ( ) }

= ∈ : =

Interpretazione Ingegneristica: In topografia e cartografia, le isoipse (curve di livello)

sono le sezioni orizzontali del terreno ad altitudine costante. In geotecnica e idraulica, gli

insiemi di livello rappresentano linee iso-pressione o linee equipotenziali del flusso idrico

nel suolo.

2. Limiti, Continuità e Proprietà delle Funzioni Continue

Limiti in Più Variabili

Sia e un punto di accumulazione per

: ⊆ ℝ → ℝ .

0

( ) |( )

lim = ⟺ ∀ > 0, ∃ > 0: ∀ ∈ , 0 < ‖ − ‖ < ⟹ − | <

0

→ 0

Nota critica: A differenza di dove ci si avvicina solo da destra o da sinistra, in ci si

ℝ, ℝ

può avvicinare a lungo infinite direzioni e percorsi curvilinei. L'esistenza del limite

0

impone che il valore sia il medesimo qualunque sia il percorso scelto. Se restringendo la

funzione a due curve differenti si ottengono limiti diversi, il limite globale non esiste.

Continuità

Una funzione è continua in se:

∈

0 ( ) ( )

lim = 0

→ 0

Teoremi Fondamentali

1. Teorema di Weierstrass: Se è un insieme compatto e è

⊂ ℝ : → ℝ

continua, allora ammette massimo e minimo assoluti su

.

2. Teorema dei Valori Intermedi: Se è connesso per archi e è

⊆ ℝ : → ℝ

continua, la funzione assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo

massimo.

3. Derivate Parziali, Piano Tangente e Differenziabilità

Derivate Parziali

2

Sia con aperto. La derivata parziale rispetto a nel punto è il

( )

: ⊆ ℝ → ℝ ,

0 0

limite del rapporto incrementale mantenendo costante:

( ) ( )

+ ℎ, − ,

0 0 0 0

( )

, = lim

0 0

ℎ

ℎ→0

Analogamente per : ( ) ( )

, + − ,

0 0 0 0

( )

, = lim

0 0

→0

Il gradiente di è il vettore delle derivate parziali: ( ) ( ), ( )).

, = ( , ,

0 0 0 0 0 0

Differenziabilità e Piano Tangente

L'esistenza delle derivate parziali misura la variazione solo lungo gli assi coordinati, il che

non garantisce neppure la continuità della funzione. È necessario un concetto più forte

di approssimazione lineare. 2

Definizione: è differenziabile in se esiste un vettore tale che:

( )

, ∈ ℝ

0 0 per

(√ℎ 2 2

( ) ( ) (ℎ, ) (ℎ, ) (0,0)

+ ℎ, + = , + ⋅ + + ) →

0 0 0 0

Se è differenziabile, allora .

( )

= ,

0 0

Piano Tangente: Se è differenziabile in , il grafico di ammette piano tangente

( )

,

0 0

di equazione:

( ) ( )( ) ( )( )

= , + , − + , −

0 0 0 0 0 0 0 0

4. Teorema del Differenziale Totale (Condizione Sufficiente)

Enunciato

2

Sia con aperto. Se le derivate parziali e esistono in un intorno di

: ⊆ ℝ → ℝ

e sono continue nel punto , allora è differenziabile in .

( ) ( ) ( )

, , ,

0 0 0 0 0 0

Dimostrazione

Vogliamo mostrare che l'incremento soddisfa la

( ) ( )

Δ = + ℎ, + − ,

0 0 0 0

definizione di differenziabilità. Scomponiamo l'incremento lungo due segmenti paralleli agli

assi: [( ) ( )] [( ) ( )]

Δ = + ℎ, + − , + + , + − ,

0 0 0 0 0 0 0 0

1. Consideriamo il primo termine come funzione della sola .

() (, )

: = +

0

Applicando il Teorema del Valore Medio di Lagrange in una variabile

sull'intervallo :

[ ℎ]

, +

0 0 con compreso tra e

( ) ( ) (, )

+ ℎ, + − , + = ℎ ⋅ + + ℎ

0 0 0 0 0 0 0

2. Analogamente, applicando Lagrange al secondo termine su :

[ ]

∈ , +

0 0

con compreso tra e

( ) ( ) ( )

, + − , = ⋅ , +

0 0 0 0 0 0 0

Sostituendo nell'espressione iniziale:

(, ) ( )

Δ = ℎ + + ,

0 0

Aggiungiamo e sottraiamo il prodotto scalare con il gradiente nel punto :

( )

,

0 0

( ) ( ))

(ℎ

Δ − , + ,

0 0 0 0

(, ) ( )] ( ) ( )]

= ℎ [ + − , + [ , − ,

0 0 0 0 0 0

Per la continuità delle derivate parziali in , quando , si ha che

( ) (ℎ, ) (0,0)

, →

0 0

e . Di conseguenza, le parentesi quadre tendono a

(, ) ( ) ( ) ( )

+ → , , → ,

0 0 0 0 0 0

zero. |ℎ| ||

Dividendo per e notando che e

2 2

‖(ℎ, )‖ = + ≤ 1 ≤ 1:

√ℎ 2 2 2 2

√ℎ √ℎ

+ +

( ) (ℎ, )|

|Δ − , ⋅

0 0

lim =0

2 2

(ℎ,)→(0,0) +

√ℎ

Questo prova la differenziabilità di nel punto .

( )

,

0 0

5. Derivate Direzionali e Formula del Gradiente

Definizione

Sia un versore (ossia La derivata direzionale di lungo nel punto

( )

= , ‖‖ = 1).

1 2

misura il tasso di variazione della funzione lungo la direzione

:

0 ( ) ( )

+ −

0 0

( )

= lim

0

→0

Formula del Gradiente

Teorema: Se è differenziabile in , allora la derivata direzionale esiste per qualunque

0

versore e si calcola come:

( ) ( )

= ⋅

0 0

Dimostrazione: Si definisce la funzione ad una variabile . Per la regola

() ( )

= +

0

della catena per funzioni differenziabili, la derivata prima è:

′(0)

( ) (0) ( ) ( )

− + −

0 0

′(0) ( )

= lim = lim =

0

→0 →0

D'altra parte, applicando la derivazione delle funzioni composte:

′() ( ) ′(0) ( )

= + ⋅ ⟹ = ⋅ ■

0 0

Proprietà Geometriche del Gradiente

Dalla formula del prodotto scalare: ( ) ‖( )‖‖‖ ( )‖

= cos = ‖ cos .

0 0 0

1. Direzione di massima crescita: è massima quando cioè quando

cos = 1,

ha la stessa direzione e verso di . Il gradiente indica la direzione di massima

( )

0

pendenza ascensionale (es. linea di massimo pendio in un rilievo).

2. Ortogonalità alle linee di livello: Se è tangente all'insieme di livello nel punto

, la funzione resta costante lungo tale curva, per cui Ciò implica

( )

= 0.

0 0

ovvero il gradiente è sempre perpendicolare alle linee di livello.

( )

⋅ = 0,

0

6. Derivate di Ordine Superiore e Teorema di Schwarz

Derivate Seconde e Matrice Hessiana

Se le derivate parziali primi e sono a loro volta derivabili, si ottengono le derivate

parziali seconde: 2 2 2 2

= , = , = , =

2 2

Le derivate seconde si organizzano nella Matrice Hessiana:

(, ) (, )

(, )

= ( )

(, ) (, )

Teorema di Schwarz

Enunciato: Se le derivate miste e esistono in un intorno di e sono

( )

,

0 0

continue nel punto , allora sono uguali:

( )

,

0 0 ( ) ( )

, = ,

0 0 0 0

Idea della Dimostrazione: Si costruisce un incremento rettangolare doppio:

(ℎ, ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + ℎ, + − + ℎ, − , + + ,

0 0 0 0 0 0 0 0

Applicando due volte il Teorema del Valore Medio di Lagrange unidimensionale (prima

rispetto a e poi rispetto a e viceversa), si esprime sia in termini di

(ℎ, ) ( )

, ,

1 1

che di . Dividendo per e facendo tendere , la continuità impone

( ) (ℎ, ) (0,0)

, ℎ ⋅ →

2 2

l'uguaglianza dei due limiti.

7. Formula di Taylor al Secondo Ordine

2

Se è di classe in un intorno di , è possibile approssimare la funzione attorno a

0 0

tramite un polinomio di secondo grado: 1

( ℎ) ( ) ( ) ( )ℎ (‖ℎ‖2)

+ = + ⋅ ℎ + ℎ +

0 0 0 0

2

In 2D, con :

(Δ, Δ)

ℎ = 1 2 2

( Δ) ( ) (Δ ) (Δ)

[ ]

+ Δ, + ≈ , + Δ + Δ + + 2 ΔΔ +

0 0 0 0

2

8. Estremi Liberi e Forme Quadratiche

Condizione Necessaria del Primo Ordine (Teorema di Fermat)

Teorema: Sia un punto interno al dominio di Se è un punto di estremo locale

.

0 0

(massimo o minimo) e è derivabile in , allora:

0

( ) = 0

0

I punti in cui si dicono punti stazionari o critici.

( ) = 0

0

Dimostrazione: Poniamo , dove è la base canonica. Se è un

() ( )

= +

0 0

massimo/minimo locale per allora è un punto di massimo/minimo locale per la

, = 0

funzione ad una variabile . Per il Teorema di Fermat unidimensionale:

() ′(0) = 0 ⟹

Ripetendo per ogni si ottiene

( ) ( )

= 0. = 1, … , , = 0. ■

0 0

Forme Quadratiche e Matrice Hessiana

Nei punti critici (( il segno del resto al secondo ordine è governato dalla forma

) = 0),

0

quadratica associata alla matrice Hessiana (ℎ) ( )ℎ:

= ℎ

0

Natura di Hf Condizione sugli Autovalori λi Natura del Punto Critico

(x0)

Definita Punto di Minimo Locale

Tutti > 0

Positiva Stretto

Definita Punto di Massimo Locale

Tutti < 0

Negativa Stretto

Autovalori di segno concorde e Punto di Sella (né max né

Indefinita discorde (∃ min)

> 0, < 0)

Almeno un e gli altri dello Caso Dubbio (servono

= 0

Semidefinita termini di ordine superiore)

stesso segno

Test del Determinante Hessiano (Caso 2D)

In due variabili, sia valutata nel punto critico:

= ( )

1. e Minimo locale.

det() > 0 > 0:

2. e Massimo locale.

det() > 0 < 0:

3. Punto di sella.

det() < 0:

4. Test inconcludente.

det() = 0:

9. Funzioni a Valori Vettoriali e Curve

Funzioni Vettoriali

Una funzione associa a un parametro reale un vettore:

: ⊆ ℝ → ℝ ∈

() (), (), ())

(

= … ,

1 2

Derivata: rappresenta il vettore velocità (tangente

• ′() ′(), ′(), ′())

(

= … ,

1 2

alla traiettoria).

Integrale:

• () (), ()).

= (∫ … ,

∫ ∫

1

Archi di Curva

Sostegno: L'immagine della funzione . È il tracciato geometrico nello

• ( ) ⊂ ℝ

spazio della curva.

Curva Chiusa: , con .

• () () [, ]

= =

Curva Semplice: La mappa è iniettiva su (la curva non si auto-

• () [, )

interseca). 1

Curva Regolare: Una curva si dice regolare se e il vettore velocità

• ([, ])

∈

non si annulla mai: ′() [, ]

≠ 0 ∀ ∈

La regolarità garantisce la presenza di una retta tangente ben definita e continua in

ogni punto.

10. Estremi Vincolati e Moltiplicatori di Lagrange

Formulazione del Problema

Si vuole determinare il massimo o minimo di una funzione obiettivo con la variabile

(, )

vincolata a giacere su un insieme definito da un'equazione di uguaglianza (, ) = 0

(vincolo).

Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange

2 1

Enunciato: Siano funzioni di classe . Sia un punto di estremo locale

, : ⊆ ℝ → ℝ 0

per vincolato a .

{(, ): (, ) 0}

= =

Se (condizione di regolarità del vincolo), allora esiste uno scalare

( ) ≠ 0 ∈ ℝ

0

(moltiplicatore di Lagrange) tale che: ( ) ( )

=

0 0

Giustificazione Geometrica e Analitica

Geometria: Nel punto di massimo o minimo vincolato, la curva di livello di deve

•

essere tangente alla curva di vincolo Se si intersecassero

(, ) = 0.

trasversalmente, ci si potrebbe spostare sul vincolo aumentando o diminuendo il

valore di Poiché i gradienti sono perpendicolari alle rispettive curve di livello, se

.

le curve sono tangenti, i gradienti e devono essere paralleli.

Dimostrazione Analitica:

• Sia una parametrizzazione regolare locale del vincolo tale che

() (, ) = 0

. Poiché la curva giace sul vincolo:

(0) = 0 (()) = 0 ∀

Derivando rispetto a in con la regola della catena:

= 0 ( ) ′(0)

⋅ = 0

0

Ovvero è ortogonale al vettore tangente .

( ) ′(0)

0

D'altra parte, poiché è punto di estremo per ristretta al vincolo, la

(0)

=

0

funzione ad una variabile ha un punto stazionario in

ℎ() (())

= = 0:

ℎ′(0) ( ) ′(0)

= ⋅ = 0

0

Sia che sono vettori ortogonali al medesimo vettore tangente .

( ) ( ) ′(0)

0 0

2

In , il sottospazio ortogonale a un vettore unidimen