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Scienza delle costruzioni

Analisi della deformazione

Studia come un corpo cambia forma e dimensioni quando è sottoposto a forze o spostamenti.

L'obiettivo è descrivere il movimento di ogni punto del corpo e misurare quanto esso si deforma.

1. Cinematica dei corpi continui deformabili

La studia il moto dei corpi senza considerare le cause (le forze) che lo producono.

CINEMATICA

Un è un corpo in cui la materia è distribuita in modo continuo, cioè non si

CORPO CONTINUO

considerano gli spazi tra le molecole. In pratica si assume che ogni punto del corpo abbia sempre dei

punti vicini.

Quando il corpo si deforma, ogni suo punto cambia posizione.

Configurazione iniziale e finale

Si distinguono due configurazioni: posizione del corpo prima della deformazione.

CONFIGURAZIONE INIZIALE (INDEFORMATA):

posizione del corpo dopo la deformazione

CONFIGURAZIONE DEFORMATA:

Se un punto aveva coordinate dopo la deformazione assume coordinate

(; ; ), ′(; ; ).

Il passaggio tra le due configurazioni è descritto dalle FUNZIONI DI MOTO.

(; )

= ;

(; )

= ;

(; )

= ;

campo di spostamento

È spesso più utile descrivere quanto ogni punto si è spostato.

Lo spostamento è definito come u= −

Ovvero =−

= −

=−

u

Il vettore viene chiamato campo degli spostamenti. Ogni punto del corpo possiede quindi

(; ; )

un proprio vettore spostamento.

2. Misure geometriche della deformazione

Sapere quanto un punto si sposta non basta per conoscere la deformazione.

Infatti, se tutto il corpo trasla della stessa quantità, non si deforma; se tutto il corpo ruota rigidamente,

non si deforma.

La deformazione dipende quindi da come cambiano le distanze tra punti vicini.

Per studiarla si confrontano due punti infinitamente vicini.

Se inizialmente erano separati dal vettore dX dopo la deformazione saranno separati da dx.

La differenza tra questi due vettori rappresenta la DEFORMAZIONE LOCALE

Gradiente di deformazione

La trasformazione locale è descritta dal gradiente di deformazione

∂

= ∂

Il tensore F indica come vengono modificati lunghezze, angoli, superfici, volumi.

È IL TENSORE FONDAMENTALE DELLA CINEMATICA.

Misura dell'allungamento

Consideriamo una fibra infinitesima di lunghezza iniziale la deformazione diventa

dopo

0

L'allungamento relativo è

=

0

Se λ > 1 → allungamento

• λ < 1 → accorciamento

• λ = 1 → nessuna deformazione

•

3. Deformazioni infinitesime

In moltissimi problemi di ingegneria gli spostamenti sono molto piccoli.Quando gli spostamenti sono

piccoli, le rotazioni sono piccole, le deformazioni sono molto inferiori a 1, si parla di

DEFORMAZIONI INFINITESIME.

In questo caso si possono trascurare tutti i termini quadratici.

Questa ipotesi semplifica enormemente i calcoli.

Approssimazione

Il gradiente di deformazione diventa ≈ + ∇

Dove I è la matrice identità; è il gradiente degli spostamenti.

∇u

4. Tensore della deformazione infinitesima

Il gradiente degli spostamenti contiene due effetti: deformazione e rotazione.

Per separarli si scompone il gradiente.

La parte simmetrica rappresenta la vera deformazione.

Si definisce 1

(∇ )

= + ∇

2

Questo è il TENSORE DELLE DEFORMAZIONI INFINITESIME.

È una matrice simmetrica

= [ ]

Significato fisico

Gli elementi diagonali misurano gli . Ad esempio

ALLUNGAMENTI UNITARI

, ,

=

Se è: positivo → allungamento; negativo → compressione.

Componenti fuori diagonale

Le componenti descrivono le Ad esempio

DEFORMAZIONI DI TAGLIO (SHEAR).

, ,

1

= ( + )

2

Esse misurano la variazione degli angoli inizialmente retti.

5. Tensore della rotazione rigida infinitesima

La parte antisimmetrica del gradiente degli spostamenti rappresenta invece la ROTAZIONE

, cioè un movimento che non provoca deformazione. Si definisce

RIGIDA 1

(∇ )

= − ∇

2

Questa matrice è antisimmetrica

= −

Essa descrive esclusivamente la rotazione del corpo.

Significato

Se un corpo ruota come un blocco rigido cambia orientamento e non cambia forma. Per questo

motivo il tensore della rotazione non produce deformazioni.

Scomposizione fondamentale ∇ = +

Il gradiente degli spostamenti può essere scritto come cioè

gradiente = deformazione + rotazione

Questa relazione è fondamentale nella teoria dell'elasticità.

6. Equazioni di congruenza (o di compatibilità)

Non tutte le distribuzioni di deformazione sono fisicamente possibili. Le deformazioni devono

essere tali da derivare da un unico campo di spostamenti continuo. Le condizioni che garantiscono

questo prendono il nome di: oppure

EQUAZIONI DI CONGRUENZA EQUAZIONI DI

.

COMPATIBILITÀ

Significato fisico

Immaginiamo di assegnare casualmente delle deformazioni in punti diversi del materiale. Può

succedere che, tentando di ricostruire il corpo deformato, alcune parti: si sovrappongano; si

separino; presentino "strappi" o discontinuità. Questo è impossibile per un materiale continuo. Le

equazioni di congruenza impediscono tali situazioni.

Forma matematica

Nel caso tridimensionale esistono , ottenute imponendo che

SEI EQUAZIONI DI COMPATIBILITÀ

le derivate seconde degli spostamenti siano compatibili tra loro.

Una delle più note è 2 2

2

+ =2

2 2

Le altre hanno una struttura analoga e coinvolgono le diverse componenti del tensore delle

deformazioni.

Perché sono importanti?

Le equazioni di congruenza permettono di: verificare se un campo di deformazione è fisicamente

realizzabile; ricavare il campo degli spostamenti a partire dalle deformazioni; garantire la continuità

del materiale durante la deformazione.

Sono fondamentali nei problemi di elasticità, nella meccanica dei solidi e nel metodo degli elementi

finiti.

Analisi della tensione

è una parte fondamentale della Meccanica dei Solidi e della Scienza delle Costruzioni. Il suo obiettivo

è studiare le che si sviluppano all'interno di un materiale quando esso è sottoposto

FORZE INTERNE

a carichi esterni. Conoscere lo stato di tensione permette di verificare se una struttura è in grado di

resistere ai carichi senza rompersi o deformarsi eccessivamente.

1. Sistemi di forze

Ogni corpo è soggetto a che possono essere applicate direttamente sulla superficie

FORZE ESTERNE

oppure distribuite nel volume. Le forze si distinguono in: , che agiscono su ogni

FORZE DI VOLUME

punto del materiale (ad esempio il peso dovuto alla gravità). , che agiscono

FORZE DI SUPERFICIE

sulle superfici del corpo (ad esempio una pressione o una forza applicata da un altro corpo). Quando

queste forze vengono applicate, all'interno del materiale si sviluppano delle , che

FORZE INTERNE

hanno il compito di mantenere il corpo in equilibrio.Per studiare queste forze si immagina di tagliare

idealmente il corpo con un piano. Le due parti ottenute esercitano una forza reciproca attraverso la

superficie di taglio: questa distribuzione di forze interne è descritta dal concetto di .

TENSIONE

2. Concetto di tensione

La tensione (o sforzo) rappresenta l'intensità delle forze interne distribuite su una superficie

infinitesima del materiale. Se su una superficie di area ΔA agisce una forza ΔF, la tensione media è

Δ

Δ

Facendo tendere l'area a zero si ottiene la tensione in un punto:

Δ

= lim Δ

Δ→0

Il vettore tensione dipende dall'orientazione della superficie considerata.

Componenti della tensione

Il vettore tensione può essere scomposto in due componenti.

Tensione normale

È la componente perpendicolare alla superficie. Indica se il materiale è soggetto a: TRAZIONE

(tensione positiva); (tensione negativa). Si indica con

COMPRESSIONE

Tensione tangenziale (o di taglio)

È la componente parallela alla superficie. Produce uno scorrimento relativo tra le varie parti del

materiale. Si indica con

3. Assiomi di Eulero

Per descrivere completamente lo stato di tensione si utilizzano gli assiomi di Eulero, che

stabiliscono alcune proprietà fondamentali delle tensioni interne. Essi affermano che:

Le forze interne sono distribuite continuamente nel materiale | Ogni superficie interna possiede un

vettore tensione. | Il vettore tensione dipende dal punto e dall'orientazione della superficie. | Le

tensioni soddisfano il principio di azione e reazione: le tensioni sulle due facce opposte della stessa

superficie sono uguali in modulo e opposte in verso.

Questi assiomi costituiscono la base della teoria della tensione continua.

4. Tensore di Cauchy

Poiché il vettore tensione cambia con l'orientazione della superficie, è necessario introdurre un

oggetto matematico che descriva tutte le possibili tensioni in un punto. Questo oggetto è il

. Esso lega il vettore tensione alla normale della

TENSORE DELLE TENSIONI DI CAUCHY

superficie tramite la relazione: ()

=

dove: σ è il tensore di Cauchy; n è il versore normale alla superficie; t è il vettore tensione agente su

quella superficie.

Questa relazione è nota come .

FORMULA DI CAUCHY

5. Componenti del tensore della tensione

Nel sistema cartesiano tridimensionale il tensore di Cauchy è rappresentato da una matrice 3×3:

= [ ]

Componenti normali

Gli elementi sulla diagonale sono le tensioni normali: σxx ; σyy ; σzz

Esse rappresentano le tensioni lungo gli assi x, y e z.

Componenti tangenziali

Gli elementi fuori diagonale rappresentano le tensioni tangenziali: τxy; τyx; τxz; τzx; τyz; τzy;

Esse descrivono le azioni di taglio.

Simmetria del tensore

Dall'equilibrio dei momenti si ricava una proprietà fondamentale:

=

=

=

Di conseguenza il tensore di Cauchy è . Per questo motivo le componenti

SIMMETRICO

indipendenti sono solo sei, invece di nove.

6. Equazioni di equilibrio interno

Affinché il corpo rimanga in equilibrio, le tensioni interne devono bilanciare le forze di volume. Le

equazioni di equilibrio derivano dal principio fondamentale della statica: somma delle forze uguale

a zero; somma dei momenti uguale a zero. Nel caso tridimensionale si ottengono tre equazioni

differenziali. Ad esempio lungo l'asse x:

+ + + = 0

dove rappresenta la forza di volume per unità di volume (ad esempio la gravità). Esistono

analoghe equazioni lungo gli assi y e z. Queste equazioni descrivono l'equilibrio ALL'INTERNO

del materiale.

7. Equazioni di equilibrio ai limiti (condizioni al contorno)

Oltre all'equilibrio interno, è necessario imporre le condizioni sulle superfici del corpo.Esse

possono essere di due tipi.

Condizioni di forza (Neumann)

Sono assegnate le tensioni agenti sulla superficie. Ad esempio: una pressione uniforme; una forza

distribuita.

Condizioni di spostamento (Dirichlet)

Sono assegnati gli spostamenti. Ad esempio: un incastro; un appoggio; un vincolo rigido.

Le equazioni ai limiti sono indispensabili per determinare un'unica soluzione del problema elastico.

8. Direzioni principali di tensione

In un punto qualsiasi il materiale può essere soggetto contemporaneamente a tensioni normali e

tangenziali. Esistono però alcune direzioni particolari nelle quali le tensioni tangenziali si annullano

completamente. Queste sono le . Le tensioni agenti lungo

DIREZIONI PRINCIPALI DI TENSIONE

tali direzioni prendono il nome di: prima tensione principale (σ₁); seconda tensione principale (σ₂);

terza tensione principale (σ₃). Le tensioni principali sono gli del tensore di Cauchy,

AUTOVALORI

mentre le direzioni principali sono i corrispondenti .

AUTOVETTORI

Importanza delle tensioni principali

Le tensioni principali sono molto utilizzate perché: eliminano le componenti tangenziali;

semplificano i calcoli; sono alla base dei principali criteri di resistenza dei materiali (ad esempio

Tresca e Von Mises).

9. Invarianti di tensione

sono grandezze che non cambiano se si ruota il sistema di riferimento. Sono molto importanti

perché descrivono lo stato di tensione indipendentemente dagli assi scelti. I tre invarianti principali

sono:

Primo invariante = + +

1

È la somma delle tensioni normali e rappresenta la parte idrostatica dello stato di tensione.

Secondo invariante

Dipende sia dalle tensioni normali sia da quelle tangenziali. È utilizzato in numerosi criteri di

resistenza.

Terzo invariante

Coincide con il determinante del tensore delle tensioni. È legato al prodotto delle tensioni principali.

Perché sono importanti?

Gli invarianti: non dipendono dalla scelta degli assi; permettono di confrontare diversi stati

tensionali; vengono utilizzati nelle leggi costitutive e nei criteri di rottura.

10. Cerchi di Mohr

I cerchi di Mohr sono uno strumento grafico che permette di determinare facilmente: tensioni

principali; tensioni tangenziali massime; tensioni agenti su piani inclinati; orientazione dei piani

principali. Sono molto utilizzati perché consentono di visualizzare in modo intuitivo lo stato di

tensione.

Caso piano

Nel caso bidimensionale si considerano: σx ,σy , τxy . Il cerchio di Mohr è costruito nel piano

avente: asse orizzontale → tensioni normali; asse verticale → tensioni tangenziali.

Centro del cerchio

+

=

Il centro è 2

Raggio 2

−

√( 2

Il raggio vale = ) +

2

Tensioni principali

Le tensioni principali sono = ±

1,2

Esse corrispondono ai punti in cui il cerchio interseca l'asse delle tensioni normali.

Tensione tangenziale massima

La massima tensione tangenziale è =

Essa corrisponde ai punti più alto e più basso del cerchio.

Interpretazione fisica

Il cerchio di Mohr permette di capire immediatamente: se prevale la trazione o la compressione; il

valore massimo del taglio; l'orientazione delle superfici più sollecitate; le tensioni principali senza

risolvere direttamente il problema agli autovalori.

Per questo motivo è uno degli strumenti grafici più importanti nell'analisi dello stato di tensione.

Il teorema dei lavori virtuali per i corpi deformabili

è uno dei principi fondamentali della Scienza delle Costruzioni, della Meccanica dei Solidi e

dell'Elasticità. Esso permette di verificare l'equilibrio di un corpo deformabile senza analizzare

direttamente tutte le forze che agiscono su di esso. Il teorema mette in relazione forze, spostamenti

e deformazioni attraverso il concetto di lavoro virtuale. È uno strumento molto importante perché

costituisce la base di numerosi metodi di calcolo, tra cui il Metodo degli Elementi Finiti (FEM),

utilizzato per l'analisi di strutture e componenti meccanici.

1. Il concetto di lavoro

Prima di comprendere il Teorema dei Lavori Virtuali è necessario ricordare il significato di lavoro

meccanico. Quando una forza provoca uno spostamento del punto su cui è applicata, essa compie

→

un lavoro. Se una forza F provoca uno spostamento s, il lavoro è = ⋅

→

Nel caso generale, essendo forza e spostamento vettori = ⋅

cioè il lavoro è il prodotto scalare tra forza e spostamento.

2. Il concetto di lavoro virtuale

Nel Teorema dei Lavori Virtuali non si considerano spostamenti reali, ma spostamenti virtuali.

Uno spostamento virtuale è: infinitesimo; immaginario (non realmente eseguito); compatibile con

i vincoli della struttura. In altre parole, è una piccola deformazione ipotetica che il corpo potrebbe

assumere senza violare i vincoli imposti. Il lavoro calcolato su questi spostamenti prende il nome di

lavoro virtuale.

3. Il Teorema dei Lavori Virtuali

Il principio fondamentale afferma che: Un corpo deformabile è in equilibrio se e solo se il lavoro

virtuale delle forze esterne è uguale al lavoro virtuale delle tensioni interne, per qualsiasi

∗

∗

=

spostamento virtuale compatibile con i vincoli. In forma sintetica:

∗

∗

− = 0

oppure

dove l'asterisco indica che il lavoro è virtuale. Questo significa che il lavoro prodotto dalle forze

esterne deve essere perfettamente bilanciato dal lavoro interno associato alle tensioni e alle

deformazioni del materiale