Appunti Trasmissione del calore

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Dipartimento di Ingegneria e Scienze Applicate

Trasmissione

del calore

·

L’equazione di Fourier Le alettature

·

I parametri concentrati La conduzione periodica

·

L’ebollizione La condensazione

·

L’irraggiamento Gli scambiatori di calore

Corso Trasmissione del calore

Docente Prof. G.E. Cossali

Appunti a cura di Cristiano Rollo

Anno accademico 2020/2021

Indice

Notazione 15

I L’equazione di Fourier 19

1 I meccanismi di trasmissione del calore 20

1.1 Le tre modalità di trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 L’operatore nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 La convenzione di somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Il teorema della divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Il bilancio di energia e le equazioni costitutive 22

2.1 Il bilancio in forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 La forma locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Il caso del corpo fermo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Il postulato di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 L’energia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 L’equazione di Fourier e le proprietà dei materiali 26

3.1 L’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 La conducibilità termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 La dipendenza dalla temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Le condizioni al contorno e l’adimensionalizzazione 30

4.1 Le tre specie di condizione al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Le condizioni alle interfacce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 L’adimensionalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Il regime stazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II La conduzione stazionaria monodimensionale 34

5 I problemi monodimensionali e la simmetria piana 35

5.1 Che cosa vuol dire monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 La simmetria piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Le simmetrie cilindrica e sferica 38

6.1 La simmetria cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 La simmetria sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.3 Il sommario delle tre soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.4 I profili a confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

Indice 2

III L’approccio integrale 41

7 Il teorema del trasporto 42

7.1 Il teorema in forma generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.2 Il corpo quasi monodimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.3 L’equazione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Il corpo quasi monodimensionale 45

8.1 L’ipotesi che chiude il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.2 La soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.3 L’esempio del tronco di cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.4 Il criterio di validità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

IV L’analogia elettrica 48

9 La resistenza termica 49

9.1 Le tre soluzioni senza generazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.2 Le condizioni al contorno di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9.3 L’analogia elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10 Le pareti multistrato 51

10.1 La parete piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

10.2 Il tubo cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

11 Il raggio critico e la resistenza di contatto 54

11.1 Il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

11.2 Il raggio critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

11.3 La resistenza di contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

V Le alettature 57

12 Il bilancio dell’aletta 58

12.1 Perché si alettano le superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

12.2 La formalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

12.3 Il bilancio sul volume infinitesimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

12.4 L’equazione dell’aletta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

13 L’aletta a sezione uniforme 61

13.1 L’equazione a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

13.2 Le tre condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

13.3 La soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

13.4 I profili di temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

14 L’efficacia dell’aletta 65

14.1 La definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

14.2 Le quattro leve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

14.3 L’efficacia globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Indice 3

15 L’efficienza e l’effetto del numero di Biot 69

15.1 L’efficienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

15.2 Il problema riscritto con il numero di Biot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

15.3 Il valore limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VI La separazione delle variabili 72

16 La lastra rettangolare 73

16.1 Quando il problema resta bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

16.2 L’esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

16.3 Il cambiamento di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

16.4 La separazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

16.5 Le condizioni di seconda specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

16.6 Le condizioni di prima specie e gli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

17 Il campo di temperatura e il segno della costante 76

17.1 Dove il metodo si ferma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

17.2 Il campo calcolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

17.3 Perché la costante deve essere negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

VII La soluzione per serie 78

18 Le serie di soluzioni parziali 79

18.1 La combinazione lineare delle soluzioni parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

18.2 I coefficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

18.3 La sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VIII Il fattore di forma conduttivo 82

19 I tubi di flusso 83

19.1 Isoterme e linee di flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

19.2 Il tubo di flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

19.3 Il tubo di flusso infinitesimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

19.4 Il fattore di forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

20 Il fattore di forma e i casi tabulati 86

20.1 L’uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

20.2 L’esempio del cilindro interrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

20.3 Le configurazioni tabulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

IX L’aletta bidimensionale 90

21 La geometria e le condizioni al contorno 91

21.1 La geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

21.2 Le condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

21.3 Il cambiamento di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

21.4 La separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Indice 4

22 La soluzione e il confronto con il modello 1D 94

22.1 La serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

22.2 La condizione convettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

22.3 La potenza scambiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

22.4 Il confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

X Il metodo dei parametri concentrati 97

23 La temperatura media e l’assunzione del metodo 98

23.1 L’equazione della temperatura media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

23.2 Le due condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

23.3 L’assunzione del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

23.4 La validità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

24 Le soluzioni convettiva e radiativa 101

24.1 Il caso convettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

24.2 Il caso radiativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

24.3 Il confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

25 L’analogia elettrica e il modello dell’edificio 104

25.1 Il bilancio sulla parete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

25.2 Il modello dell’edificio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

XI La soluzione per serie in transitorio 107

26 La separazione delle variabili in transitorio 108

26.1 L’esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

26.2 Le due semplificazioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

26.3 La separazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

26.4 Le condizioni al contorno e gli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

26.5 Dove il metodo si ferma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

27 La lastra piana 111

27.1 La serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

27.2 I coefficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

27.3 Il secondo esempio: la condizione convettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

28 Il cilindro e le funzioni di Bessel 114

28.1 L’esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

28.2 L’equazione di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

28.3 Le due condizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

28.4 I coefficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

29 La sfera 117

29.1 La sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Indice 5

XII I problemi non omogenei 119

30 La generazione interna di potenza 120

30.1 Il caso dell’equazione non omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

30.2 L’artificio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

30.3 Il problema trasformato è omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

30.4 Le condizioni trasformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

31 Le condizioni al contorno non omogenee 122

31.1 L’esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

31.2 La stessa funzione ausiliaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

31.3 Il risultato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

XIII L’integrale di Duhamel 124

32 I problemi ausiliari e la curva a gradini 125

32.1 Il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

32.2 I quattro problemi ausiliari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

32.3 La curva a gradini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

33 L’integrale e l’esempio della lastra 127

33.1 Il passaggio al limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

33.2 La forma alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

33.3 L’esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

XIV I diagrammi di Heisler 129

34 La lastra piana 130

34.1 L’adimensionalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

34.2 La soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

34.3 I tre diagrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

35 Il cilindro e la sfera 133

35.1 Il cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

35.2 La sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

35.3 Come si usano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

XV Il solido semi-infinito 136

36 La soluzione per similitudine e l’effusività 137

36.1 Il modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

36.2 La variabile di similitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

36.3 La funzione degli errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

36.4 L’effusività termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

36.5 Il caso convettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Indice 6

37 Il problema del contatto 141

37.1 Il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

37.2 Le quattro condizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

37.3 La temperatura di contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

37.4 Il flusso all’interfaccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

XVI La conduzione periodica 143

38 Il caso armonico monodimensionale 144

38.1 Che problema è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

38.2 La notazione complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

38.3 L’equazione per l’ampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

38.4 La soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

38.5 Il flusso termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

39 La profondità di penetrazione 146

39.1 La condizione all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

39.2 L’ampiezza e la profondità di penetrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

39.3 Il flusso e l’effusività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

39.4 Lo sfasamento di 45 gradi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

40 Il caso non armonico 149

40.1 Il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

40.2 La trasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

40.3 La proprietà che serve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

40.4 Il problema trasformato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

41 Il metodo dei quadrupoli 151

41.1 La soluzione in funzione della faccia di ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

41.2 La matrice di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

XVII La trasformata di Laplace 153

42 La trasformata e le sue proprietà 154

42.1 La definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

42.2 Le tre proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

42.3 Le tavole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

43 Il solido semi-infinito 156

43.1 Il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

43.2 La trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

43.3 La soluzione trasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

43.4 L’antitrasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

43.5 Lo schema del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Indice 7

XVIII L’ebollizione di massa 158

44 I parametri e i gruppi adimensionali 159

44.1 Che cosa cambia con la transizione di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

44.2 I parametri nuovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

44.3 I gruppi adimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

44.4 Le due classificazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

45 Il diagramma di Nukiyama 162

45.1