Appunti teorici di Analisi matematica 2

Analisi II

Derivate parziali

∂f/∂x derivare f in x, trattando le altre come costanti. Viceversa per ∂f/∂y. f(x₀, y₀, z₀) → contenuto in (x₀, y₀, z₀).

Derivate direzionali

f(α, β), ║v⃗║ = 1 ⟹ βᵩ = g(α)

lim (g(ρₙ + v⃗ₙ) - g(ρₙ))/d ≤ ∂f(ρ₀)/∂r

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) ⟶ ∇f(x₀, y₀)

∇f(x₀, y₀) · (u⃗)∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) ⟶ f continuo in ρ₀

∇f(x,y) · u⃗ = ∇f(x₀, y₀) · u⃗

Differenziabilità

f differenziabile in ρ₀ se:

• f(x, y) = f(x₀, y₀) + ∂f/∂x(x₀, y₀)(x-x₀) + ∂f/∂y(x₀, y₀)(y-y₀) + φ/√(x-x₀)² + (y-y₀)²

Criterio di differenziabilità

Se ∂/∂x e ∂/∂y sono continue in ρε ⟺ f differenziabile in ogni punto di Λ. Se f è continuo ⟹ f è differenziabile.

Piano tangente

Piano tangente al grafico di f in P(x₀, y₀) è:

• z = f(x₀, y₀) + ∇f(x₀, y₀) (P, P₀) + ε (ε - P₀)

Vettore:

• (∂z/∂x)(x₀, y₀), (∂z/∂y)(x₀, y₀), -1

f cerca più rapidamente per G(∣∣∇f(β)) perché il punto nella direzione nessuna f cresce più rapidamente.

Funzioni radiali

f variabile se il valore di f in P dipende dalla distanza di P da (x₀, y₀). Riconoscibile se le funzioni possono essere scomposte come quadrate x²+y² o √(x²+y²).

Derivate di ordine superiore

Teorema di Schwarz:

∂²/∂x∂y, ∂²/∂y∂x, e sono continue in D.

Derivate di ordine superiore

∂f/∂x deriva f in x, trattando le y come costanti. Viceversa per ∂f/∂y, ∂z/∂x ∂z/∂y (x₀, y₀, z₀) ∇f (x₀, y₀, z₀) → contenuta in P₀.

Derivate direzionali

f(α, β) |u| = 1 p₀ g(t)|u| = 1 |u| = α'i + β'j

lim g(P₀ + h(u)) - g(P₀)∇g(P₀) f continua in P₀.

f differenziabile in P₀ se: ∂f/∂x (x₀, y₀) ∂f/∂y (x, y) = f(x₀, y₀) + ∂f/∂x (x₀, y₀) (x - x₀) + ∂f/∂x (x₀, y₀) + ϕ (x, y₀).

Criterio di differenziabilità

Se ∂f/∂x, ∂f/∂y sono continue in un delta ➔ f differenziabile in ogni punto di Δ. Se f è continua ➔ f è differenziabile.

Piano tangente

Piano tangente al grafico di f in P (x₀, y₀) è:

• z = f(x₀, y₀) + ∇f(x₀, y₀) (P, P₀) ∋ (1)

Vettore π piano:

• (∂f/∂x (x₀, y₀), ∂f/∂x (x₀, y₀), -1)

f cerca pi∋ rispetto per T (Π f(x, y)) perchè f tende nella direzione verso cui cresce più rap∋.

Funzioni radiali

f variabile se vettore di f non dipende dalla distanza di P da (x₀, y₀). Riconoscente se in isole espresse come somma di quadrati x² + y² e √(x² + y²).

Derivate di ordine superiore

Teorema di Schwarz:

∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x ∧ sono continue in D.

∂²f/∂x² ∂²f/∂y₂ f (x, y) = ∂²z/∂x² ∂²z/∂y².

Polinomio di Taylor

T(x,y) = f(x₀,y₀) + _∂f/_∂x(x₀,y₀) (x-x₀) + (_∂f/_∂y (x₀,y₀) (y-y₀) + 1/2 _∂²f/_∂x² (x₀,y₀) (x-x₀)² + _∂²f/_∂x∂y (x₀,y₀) (x-x₀)(y-y₀) + _∂²f/_∂y² (x₀,y₀) (y-y₀)² + o ((x-x₀)²+(y-y₀)²).

Massimi e minimi

Punti critici:

∇f = o ∇β(ξ) = o ⇒ P_o punto critico.

Costruire HF:

• 1) det HF(ξ) > o allora: _∂²β/_∂x²1 (ξ) > o ⇒ P_o minimo
• 2) det HF(ξ) < o allora è punto di sella
• 3) det HF(ξ) = o non so

Costruire Taylor

Con autovalori: f = somma termini xⁱy^j e studi f(β) = λ₁x²+λ₂y²+σ(xⁱ+yⁱ).

λ₁, λ₂ non < o ⇒ non so dire.

λ₁, λ₂ una > o l'altra < o ⇒ punto sella.

λ₁, λ₂ entrambi: > o minimo < o massimo.

Campi vettoriali

F(x,y,z) = (F₁ (x₁, y₁, z₁), F₂ (x₁, y₂, z₂), F₃ (x₃, y₃, z₃)).

Jacobiana

Matrice delle derivate del campo ( _∇F ).