Appunti sull'equazione dell'energia in Fluidodinamica

Equazione dell'energia

Come visto in precedenza, le variabili fluidodinamiche sono: v, p, S, T da portare ad avere 6 equazioni:

• conservazione della massa
• conservazione Q.D.M. (x)
• Eq. di stato p-SAT
• Eq. dell'energia → è l’ultima che ci manca, la vedremo ora.

Applicando il I princ. della termod. ad un "sistema fluidoid", le cui energ. rappresentate non sono termiche e cintibile ma ma ad esempio chimiche sono:DE = dQ-taI qualq calore acquisit e converso rubito l’energ.di d'un vol materiale quantia cist per calore e lavoro.L'energia E persi in quanto dovuto ad un lavora dirolatad unes esezio, può avere tutto come proprietà estitiva.E = ∫∫∫edV con e energia per unità di mosse e= ₁/_Lu² + U

• de/dt = dE = ∫∫∫de/dt e∫∫∫edV

APPLICO QUIND TRI. TR./→ DE = ∫∫∫edV → ∫∫∫JeidA = L + QL = Lm + Ls con Lm covon delle gocce di mousca e LS di superficie.-Lm :∫∫∫f·ds dv puoi mi costruo che L + de/dt quindi avra veto potute quali de/dt ε/Σ-ω= W = ∫∫∫j.e dv-d∫∫∫y.e dv

→ bs ∫∫ f.e {i- Σm} ds → rimovere fusilla d'integrale ferilis pouvez valere volito "posizio" e anche Q = Qm +Ω_PΩ_P e "termine di produzione (intuma e voluno e conserviti)".- Qm : ∫∫∫S q dV dove per los text dubros di primo g [kg²]-Ω₀ : ∫∫i-m ds ↑ conformi il fluoro di volume quindi questi term.representa che rendio di kolale lungo la mpecife. Si mette

• O perquè k è potitivo è extranole e la me bhithale(λ'ce (tando ► T e pero denuto a guei di volunali.

→ tanto INSIME。

∂ ∫∫∫sedV + ∫∫sen(m.ds) - ∫∫∫e.f·ndV + ∫∫Ū {i-m.dS} - ∫∫∫S qV ∂V ∫δf·ndSche è la forma insigralce dell e dell'energia.b ) P problemi pe porver computers guardendo tale kysezione verso:

Equazione dell'energia

Come visto in precedenza, le variabili fluidodinamiche sono: v, p, S, T da cui si possono ad avere 6 equazioni:

• conservazione della massa
• conservazione q.m. (x)
• Eq. di stato P-SAT
• Eq. dell'energia è l'ultima che ci manca, la vedremo ora.

Applicando il I princ. della termod. ad un sistema fluidoid., le cui energie rappresentate non sono termiche e cinetiche ma anche ad esempio chimiche, abbiamo:

dE = dQ tal qual è calore acquisito e dConverso ridotto è l'ener. sc.d'un vol. materiale scambiato e.cest per calore e lavoro.

L'energia E pure in quanto dovuto ad un lavoro ciclico ad una forziera, posso avere remtta come proprietà estintive

f = ∭∭∭ρedV con e energia per unità di massa e = ₁/₂u² + U_{em. - transettinaere en. - cnitica} ū. _{en. intime}

dE = _d/_T = de∭∭∭seρedV_em.-cenitcna

Applico quindi i p. q.

d▜E = ∭∭∭sρedV +∭∫szeīt.n.dS = L + Q

L = Lm + Ls con lm lavoro dalle getorire di merce e Ls di superficie.

-Lm- ∭∫sF. ds̸.δ≭ posso mi scongo che _dt где L el quindi are sono puritone

perale _d▜t _d╍v₇. = W = ∭∭∭sF. ẁ.δV = ∭∭∭sF. ž.δV

-bs.∮∮ u̱.(F. ṁn dS _-> optinvere tout dobetwe întregale equidi percorrere valver t nolo "pressi"

e anoche Q = Qm+es.)

tбциoñe di produzione (diminuno e volume o esmunti)

-Qm:δ≭S qgV dovì per lo hermò triscorso oz primuo ß _q [^lg/_kς]^ä)

-(▫₂.)S - ▽3 KN̩N₄δ∫в_L cuyosN рrΔимаdi bolame quindi quento trum.

repeatment le rtedri dto locvate trucco peruve fin metut.

✒frank еdexэɛitivo pti emotratoc eneactile eо mе vicuciale

⸗(ce)авнеэр "e t treu destro _{e qliqudi sui voluml.}

TUTO INSIEME

_∂t _{∭∭∭ęeρedV} +∭∮seūtndS-∭∭∭dF.ndv+∮đ.ū-(ς̸n.dS)

眴:∭∭∭sedV _(§∫NDS

_{que ъ томте intgrale sen re, die тікom иeArche}

¡que en фiorne Integralte della eq. dell'energia

Su l prolobemi de festovox cnequimo,uario da tale equiziaione woroi:

-_x da ricordo = -p_z + λ ∇.u n_y + 2μ_x

-k=_{(k1, k2, k3)} Ci causa ne introduce un altro incognito =>

devo esprimere k in funzione delle in...miche da già era la quale:

k = f(T) è n&... una ce di differnza di temperetura tre...compo

• Tanto maggiore è ΔT tanto più aumeta u -
• je obso da del capo a Tmax e quelo a Tmin

preso ΔT da Tmax a Tmin negativo

=> viova -k ∇ T con k coeff del gremu di celete, ov-ci-sto

el seudo come in.

Deve devere ripos in forma differenziale con junit. Quaralli

ritado ageli integriali di volumen:

∂/∂t∫∫∫δεdV + ∫∫∫∇.(δε,u_i)dV = ∫∫∫_f·u-1dV + ∫∫∫_v.T, VdV + ∫∫∫^vgqV - ∫∫∫∇·k̄dV

E li leggi oteruolo

∂/∂t(δε) + ∇.(δε,u_i) = _f·u + ∇·(u,T) + δq - ∇·k̄

Note che che

• ∂/∂t(δε) + ∇·(δε,u_i) =
• ∫∂δε∂/∂t + ∫δε∂/∂t
• + ∫δε∇·δε & ∇·(δε,u_i)

e [∂δε∂/∂t + ∇.(δε)]

obtienero

∫δε∂/∂t = ∫_f·u + ∇.(u,T) + δq + k ∇² T eq. energico

onde ε=½(U + L) voglio

elimination e... pua linogram...

agnostic è p. presente

nell eq. dellos D.S.N.

=> a me enttere U er . .

instime

∫δε = D²D_u + D_U = subaggio D_y D_u mi rimane Dε = D_y D³²

multiplico per σ inversion-socess

ū[∫_V ^dδfdV = ∫_V δ d^{(ẏ / ẋ)},

→ ū∫_V D_t^dV/2 = δf.ū + (ū.ẋ)ū

lo sostengo all'ep. in forma di trasporto e ottengo

∫_V DV_t = ū.(∫_V ū̇V) = ∇T

notiamo che l'esperre il termine relativo alla forze

di molla, ciò significa che esse non condussero il nostro

∇ sensati̇ nυgere il, perest puguire e vivire invioles un

T che inuscer il-n-I.

∇.(T.ūy) = ū.(∇T.ū), T.(ūT) che dato che ho = T(ūT.F) eliminaie un termine e mi rimase.

∫_V DV_t = T.(ūTQ) + sP + V∇T

dato che su = C_v DT → Du = C_v DT_t

→ s Cυm DT_t = DV.T(ūQ) + sP + V∇T

carutrivansi in questo tonnuti.

-⨂(ūT) = (̣pT̅ + T̅), -̇(T̅) - pT̅.(ūT) + ̇T̅.(∇T̅) + ̇T̅.(∇x̄) di vido alis

∇T̅ in T̅ antisymetricia, è̃ immentis , vieno T̅ immiticris

il ducodetto pi';