Appunti sull'equazione dell'energia in Fluidodinamica

Equazione dell'energia

Come visto in precedente, le variabili fluidodinamiche sono: u, p, s, T che ci portano ad avere 6 equazioni:

• Conservazione della massa
• Conservazione q.o.m. (3)
• Eq. di stato -> p = rho R T
• Eq. dell'energia -> è l'ultima che ci manca, la vedremo ora:

Applicando il I princ. della termod. ad un sistema fluidodin., le cui energie rappresentate sono termiche e cinetiche, ma non ad esempio chimiche, avrò:

dE/dt = delta Q + L con Q calore acquisit. e L lavoro subito, l'energ. di un vol. materiale cambia cioè per calore e lavoro.

L'energia E può, in quanto dovuto ad un lavoro o viceversa ad una forza, può essere scritta come proprietà estensive.

E = triple integral s e dV con e energia per unità di massa e e = 1/2 u² + U

con e. termocinetica, en. cinetica, en. interna.

Applico quindi t.r.:

d/dt triple integral s e dV + double integral s e u bar . n hat dS = L + Q

L = Lm + Ls con Lm lavoro delle forze di massa e Ls di superficie.

Lm = triple integral s f . ds . dV può mi accorgo che dE/dt = L + Q quindi se uso potenze poiché dE/dt = [J/s] = W => triple integral s f . u dV = triple integral s rho f . u dV

Ls = double integral s u bar . (T bar . n hat) dS -> si riduce tutto dentro l'integrale perché parlando voglio nello spazio

e anche Q = Qm + Qs

Qm = triple integral s q dV dove per lo stesso discorso di prima q [W/kg]

Qs = - double integral s k bar . n hat dS con k flusso di calore, quindi questo termine rappresenta lo scambio di calore lungo la superficie. Si mette negativo perché k è positivo se entrante e n hat se uscente.

(C'è scambio se T è tra dentro e fuori del volume).

Tutto insieme

d/dt triple integral s rho edV + double integral s rho e u hat . n hat dS = triple integral s rho f . u dV + double integral s u . (T bar . n hat) dS + triple integral s rho qdV - double integral s k . n hat dS

Che è la forma integrale dell'eq dell'energia.

I 2 problemi che possiamo compiere guardando tale equazione sono:

Equazione dell'energia

Come visto in precedenza, le variabili fluidodinamiche sono: u, p, s, T che ci portano ad avere 6 equazioni:

• Conservazione della massa
• Conservazione q.o.m. (3)
• Eq. di stato -> p = sRT
• Eq. dell'energia -> è l'ultima che ci manca, la vedremo ora:

Applicando il I princ. della termod. ad un sistema fluido, le cui energie rappresentate sono termiche e cinetiche, ma non ad esempio chimiche, avrò:

dE/dt = sQ + sL con Q calore acquisito e L lavoro subito, l'energ. di un vol. materiale cambia cioè per calore e lavoro.

L'energia E può, in quanto dovuta ad un lavoro o calore ed una forza, può essere scritta come proprietà estensive

E = sss e dV con e energia per unità di massa e e = 1/2 u² + U

Applico quindi t.t.d.

dE/dt = d/dt sss e dV + sss e u*n dS = L + Q

L = Lm + Ls con Lm lavoro delle forze di volume e Ls di superficie.

Lm = sss s f ds dV può mi accorgo che de/dt = L + Q quindi se sono portate perché de/dt = [s] = W => sss s f ds dV = sss s f . u dV

Ls = ss u . (T - n) dS

si muove tutto dentro l'integrale perché parlando varia nello spazio

e anche Q = Qm + Qs

Qm = sss sq dV dove per lo stesso discreno di prima q [J/kg s]

Qs = -ss k . n dS con k flusso di calore, quindi questo term. rappresenta lo scambio di calore lungo la superficie. Si mette - perché k è positivo se entrante e n uscente.

(c'è segno + tra dentro e fuori del volume).

Tutto insieme

d/dt sss e dV + ss e u*n dS = sss s f . u dV + ss u . (T - n) dS + sss sq dV - ss k . n dS

Che è la forma integrale dell'eq. dell'energia.

I 2 problemi che possono compiere guardandola tale equazione sono:

• T che si scrive = -pI + lambda grad u I + 2 mu E
• K = (k₁, k₂, k₃) ci sono e introdurrei un'altra incognita => devo esprimere k in funzione delle incognite che già ho. Per fare:

k = k(T) e so che - k c'è se c'è differenza di temperatura tra 2 corpi

• Tanto maggiore è ST tanto più è aumentato u
• Il calore va dal corpo a Tmag a quello a Tmin

però grad T da Tmag a Tmin è negativo

=> scrivo k = -k grad T con K coeff. del flusso di calore, associato al fluido come mu.

Forma differenziale

Ora devo scrivere l'eq. in forma differenziale, con l'eqn. contin.

posso ogni integrali di volume:

partial/partial t SS sigma e dV + SS rho dot (sigma e u) dV = SS rho f · u dV + SS rho div (u · T) dV + SS s q dV - SS div · k dV

è li collego ottenendo

partial/partial t (rho e) + div (rho e u) = rho f · u + div (u · T) + rho q - div · k

= -div (-k grad T)= k nabla² T

Note che

partial/partial t (rho e) + div (rho e u) : rho partial e/partial t + rho u · grad e + e partial rho/partial t + e div (rho u)

= rho (partial e/partial t + u · grad e) = rho de/dt

per conservazione della massa e' = 0

otteniamo rho de/dt = rho f · u + div (u · T) + rho q + k nabla² T eq. energia

ora, e = 1/2 u² + U voglio eliminare u perché l'informazione cinetica è già presente nell'eq. della Q.D.M.

=> e come interviene U en. interna

de/dt = d(u²/2)/dt + dU/dt e notazione d(u²/2)/dt mi rimane dU/dt => per trovare dU/dt

moltiplico per u Navier-Stokes

u · [s Du/Dt = sF + v · T] use u che ode = d(o/2)

-> u · Du/Dt = D(u^2/2)/Dt ottenendo s D(u^2/2)/Dt = sF · u + (v · T)u

lo rovescio nell'eq. in forma di trasporti e ottengo

s D U/Dt = ∇ · (u · T) - (∇ · T)u + sφ + k∇²T

notiamo che compare il termine relativo alle forze di moto, ciò significa che esse non cambiano U mentre T senza di ipotesi vi, perché pressione e viscosità incidono su T che incide su U.

∇ · (T · u) = u · (∇ · T) + T · (∇u) che dato che ho -u · (∇ · T) elimino un termine e mi rimane

s DU/Dt = T · (∇u) + sφ + k∇²T dato che dU = Cv dT -> DU/Dt = Cv DT/Dt

-> sCv DT/Dt = T · (∇u) + sφ + k∇²T

correnti termiche ne questo termine

T · (∇u) = (-pI + τ)·(∇u) = -pI · (∇u) + τ · (Ω + ε) dividendo

∇u in Ω antisimmetrico e ε simmetrico, essendo τ simmetrica il prodotto per Ω è nullo, mi rimane così

sCv DT/Dt = -p∇ · u + τ·ε + sφ + k∇²T

tale termine lo indicherò con muφ², un simbolo per indicare che esvo comprende (du/dx)² e i vari effetti viscosi

Entalpia e forma finale

Ora, volendo scrivere in funzione di h = U + p/s entalpia

Cv DT/Dt = Dh/Dt - d(p/s)/Dt - dφ/Dt - p d(1/s)/Dt - 1/s dφ = dK - 1/s dp + p/s² ds

=> s(DU/Dt) = s(Dh/Dt - 1/s Dp/Dt + p/s² Ds/Dt) = -p∇ · u + muφ² + sφ + k∇²T

quindi s Dh/Dt = +Dp/Dt - p/s Ds/Dt - p∇ · u + muφ² + sφ + k∇²T

- p (1/s dS/Dt + ∇·u) cons. dallo moto = 0

otteniamo s Dh/Dt = Dp/Dt + muφ² + sφ + k∇²T con dh = Cp dT

s_p dT/dt = de/dt + mu phi² + sp + kv²T eq. energia finale. In forma entropica ottengo

dS/dt = sp + kv²T + mu phi²

È importante sottolineare che nell' eq. dell'energia non considero s_p ovvero i processi che portano a formazione di calore.

Bernoulli

Come per l'eq. della Q.D.N. una gerco Bernoulli (formule debole):

d e/dt = 8F . u + v . (T . u) + sp + kv²T conducono d/dt = phi flusso rot. mu trascurabile q = phi no prod. di calore k = 0 non c'è flusso di calore F = -vG forze di massa conservative s = cost. flusso incomprimibile

Si rimane con 8u . ve = -8vG . u - v . (p u)

perché T = -pI + 0x = phi perché mu trasc.

- v . (p u) = -v(pu) = -p v . u - u . vp

che è nullo perché s = cost.

Si rimane con

8u . ve = -8vG . u - u . vp ricaviamo e divido per s

u . ve + u . vG + u . vp/s = phi

u . v(e + G + p/s) = phi -> u . v(1/2 u² + v + G + p/s) = phi

chiamo questo termine H

perché h = v + p/s, qui ho anche G e 1/2 u² quindi e una entalpia totale - dinamica.

=> u . vH = phi cioè è principio se H è costante oppure se H varia ma perpendicolarmente a u:

H quindi non può variare lungo le linee di corrente - cioè vero tra una linea e l'altra, e costante