Appunti di Fluidodinamica

Fluidodinamica

Vettori del ordine tensori primo

Vettori del ordine tensori primo SDR✗ ✗ nel✗ Coordinate1 2 3,, XÌ èXÌ SDR ruotato nel Coordinate},, lij tra dell' il Oi angolo il vecchio 0J coseno asse e nuovo ÈlyjIj lij lijlàlzj ✗Xp ✗✗ ++ i== =2 3 .

Èlieta Ésli ÈlijIn li lij✗ ++= =i =, , , Notazione aleindici.

• : VaèatvisèYÉ (ÈÈ )è)( Vr2-✗ V1V vsvaz× +y ++ ==== ,, ✗ , ,, :\ È Èvièi.
• Lunghezza vettore vi del =a i. 1=" Vaiai')(/la aiai ==.
• Dipendenza tempo dal ÈliÈli ( ))✗ (Xi t ti === - -,, lijlis E-E- )()(✗ tt Xi= = =ilij dxjfI-lnj-dj-z.tl tempo dal indipendenti sono.
• Somma dejf-lis-dj.IE lo Di+ = ai + lijlij lijbi ( )Jj bictj + aiai ++ ===.

Tensori del ordine secondo

Tensori del ordine secondo Àpq (01-2-5 :|lipljq Anja :: = :AIJ Azz ArA= " }a-0123 lipljqAij: = pq ANTIajiaijSIMMETRICO AijAijSIMMETRICO= -: : = )(Aridita.

Determinante AskAaEijr prima riga: = _,,det )Ai AsiaA (Ars colonnaEijk prima= ,delta Kroneckerdi.

• { 1Sisi i J=se= o i #se J1) Sig Sji è simmetrico=.
• SirSijsjr ( )Contrazione ripetuti indici= ,, ȧin SknSiSi finSonSu-JinEE : = ==,- _,e3) cljsjk Clk= 7mnTjmrsnrEf : =,.
• Sjj 1 hh con= g- = ,.., .Sjj 822+8§ES 1+1+1=31,2 3g- += == »,,.

Tensore permutazione di { due tra O indici loro uguali se sono [ 1 pari 1 di 2,3 formano permutazione Kt ise j una i. j K ,,,, 1 1di 2,3 dispari formano permutazione Kise- j una ,,,.

Prodotto scalare

Prodotto scalare ( ) rispetto alla invariante rotazione degli assi ( () )lo / DI/ /Iobe ba lo cosaasa aa1acom = a .e= 2 > =., , ,,Èʰèi {è 1 iIo by Jse =b-aia èi èai= orto.

Normali. = i =/: seo=g- si. -, 'SiSijailoj =-,=3) Diloj Si arababit loaiai +ai a= =- >>_,.

Prodotto vettoriale e triplo scalare

Prodotto vettoriale ( b)ÈEijklo ci a ✗ci aj✗a c = icom= =| elei e2 3 b)(N loB. ✗= ✗: a aaan az = -] .| $3$1 $2 velocita rotazionedi' un incorpo :161lat sono. .= velocitaW angolare':N ✗CU vettore= ✗× posizione:.

Prodotto triplo scalare ( b c) djEijk✗ CKaia =.N ( lo c)B. Io complanari0se ✗: a sonoa e=. ,. ,.

Gradiente

Gradiente campo tensori vettoriale funzionile dello componenti cui: spazio sono↳ traiettorie famiglia tangenti di locale valore al di: acarne ovunque%÷ )( S lungo traiettoria t definito✗ Xa : parametro Xs laai 1= , ,,T Ty TY3£aya- grad 94 n= i: .= == ,☒axi i.

Divergenza

Divergenza F. dira TE TÈTEa ai= = ;i = + +, , ,Se F- lampo solenoideo a =se TY gradya == V9 +3¥FÉ 2¥I. gradydira = == + ,.

Rotore

Rotore rot Eijk Gilok× a = a == g-,il TE il:#:# :*:* :*-.

Classificazione campi

• Solenoidale Tdira oa o =-=: rotta.
• Irrotazionale 0 ✗ oa ==:se TqTy ☐ o✗ =a = 7se |Tx Ty9o a=a = ( a).
• Lamellare Tx.
• Complesso 0a =: .( )vettore rotore1- al suoa ( a).
• Beltrami di Tx 0✗ a: =( )µvettore rotore ala suo.

Se lamellare Beltrami complesso di è 1 -1-0a ae( a) ( a)Tx=D =Da. ✗a✗rotta =DSe solenoidale irrotazionale èa nF. =Do ✗a a.= 724.

Laplaciano è oa =:.

Tensori

• Prodotto tensoriale vettore vettore -DjAij tensoriale vettori tra lolo prodotto→ aia a e=,.
• Prodotto uno per scalare AijAscalare → aa ✗- =.
• Somma differenza eSij 1)( BijAij Dij AijBij +t -==.
• Rappresentaz simmetrica antisimmetrica f- .[ {Aij ( ) Aji )Aijtaji ( Aij+= -.

Contrazione ao è→ scalare rotazione degli invarianti alla ossiuno ,Aut AiiAii la delAn traccia A Aittensore èt= »l' tensore contrazione ordine porta di di di operazione puntensore ( 2)ordine di pa un - )( rettore.

Prodotto tensore tensoriale -tra tensoriale tensore 3° del tensore vettore prodotto ordine un un =e↳ ( )bi Aijaj.

Contrazione mettere colonna matrice 3×3 per: = )di Aij ( matrice ultra 3×3ai per riga=.

Isotropi

Isotropi Si dicono tensori componenti le isomorfi restano invariati cui i riferimento di rotazione dopo la sistema del( ) tutti 0 ordine satrapiscolari i: sono)(ordine 1° isotropo vettori è: nessuno 2° fij multipli solo relativi scalari ordine isotopi: e sono relativi 3° multipli scalari solo ordine isotopi Eijr: e sono, prodotti tensori 4° del di ordine 2° isotopi ordine di combinare sono: .

Dipendenza dal tempo

Dipendenza dal tempo Àpq lip It)laIt ) aij=[ ]d Àpq lipljq 0¥d- )](( ) [liplgaaijltlt Ai lt= = ]ott dt.

La derivata di tensori di leprodotti note regole segue la prodotti di derivazione per :d- D= DIIob)( a.= +a. . dtdt dt DId- dab) lo( ✗+ a✗a = ✗ dtdtdt.

Auto vettori e autovalori

Auto vettori autovalori e tdaA. autonettore autovalore aa ::= ;)( Si✗det aij 0 caratteristica =equazione : -↳ t InitAij IIInoti di valori per o=-: - >invarianti tensore del In Iz I scalari], , traccia AAnI AiiAnt t ==1 3312I ( )Aij AjiAiiajj=2 -;)(detI Ai=} ti tre automotori reali ii e sono Se Aij simmetrico ortogonali è corrispondenti loro tra sono .rispettivamente Sono principali valori i )(direzioni le principali assi o e Scelto riferimento degli il principali :ossi( ✗ Il +13ladit0 0 =1 la ✗Aij 311ha ✗tiIz la0o ++= 3= di ✗ 2×3I0 0 =}.

Fluidi caratteristiche

• 1) /Flussi imvisaidoviscoso:- /interno.
• 2) Esterno.
• 3) /Stazionario stazionario non laminare.
• 4) / / Turbolento di transizione fitlmeaid.

Numero di Reynolds

Numero Re di Reynolds : = µ sezione circolare in condotti A densita flusso Di condotto 9 viscosità nel' medio Mme diametro del condotto µ:: :an.

Viscosità

Viscosità Proprietà fisica del fluido che misura la frizione interna delle- : molecole e l’effetto di interazione molecolare tra due oggetti.↳ ][:&/dinamica µassoluta :↳ %Vcinematica =:.

Tipologie

• Newtoniani a temperatura e pressione costanti, lo sforzo di taglio: (shear stress) è proporzionale alla velocità di taglio (rateof shear). La costante di proporzionalità è la viscositàdinamica.
• Non Newtoniani :-1) Velocità la funzione della del viscosità tempo invaria e 2) ( )Velocità la funzione tempo del della viscosità in evaria n on.
• 2) Tipologia sottocategorie della :.
• Fluidi Bingham alla :- Lo sforzo di taglio è una funzione di potenza della velocità di taglio)(.
• Fluidi thshear pseudo plastici inning- :-All’aumentare della velocità di deformazione, la viscosità diminuisce(.
• Fluidi Thicker )latanti shear di ing- :-All’aumentare della velocità di deformazione, la viscosità aumenta.

Statica

• Tensione vapore di :- Pressione esercitata dal vapore di una sostanza in equilibrio di fase con il liquido di tale sostanza ad un data temperatura.
• Cavitazione :- Formazione di bolle di vapore all’interno di un fluido che collassano quando la pressione locale supera la tensione di vapore.
• Tensione superficiale- 'Bagn abilita- capillarità- pressione- ↳ atmosferica.
• Relativa la pressione preso zero come:↳ vuoto il.
• Assoluta zero preso come:Pr =P Pa- e legge cost Stevino di 2- 8 specifico+: : peso=8 G-È altezzaPj relativa piezometrica sottraggo :KoSe z =-8 Ko Pr quota alla quale 0: =.
• Galleggiamento-.

Cinematica

• Linea tangenti punto corrente di velocita' al in 'ogni- campo: e.
• Traiettoria linea tracciata da particella determinata una- :.
• Linea attraverso che particelle fumo passati punto di un- : sono comune.
• Prospettive studio di- ↳ Euleriana di studio fisso uno spazio:↳ particella attivamente lagrangiana nel moto seguire una: suo ¥ dtad miF- ✗DIeuleriano i incremento =at ZXIt generico : = spostamento deua8£ particella a ✗jDj derivata 0¥totale Emi: += axiDj accelerazione II 0¥ Tu2¥mia: = tu+= = ..

Tipi di deformazione

• (Traslazione )velocità.
• (Rotazione angolare)velocità.
• (Deformaz )allungamento per velocità allungamento di *deformazione per.
• (Perdeforme scorrimento velocità deformazione di ** ) scorrimento per.

1)☒ Velocità allungamento di deformazione per : Rappresenta gli elementi sulla diagonale del tensore gradiente di velocità, dunque gli elementi della sua parte simmetrica. abijgab1- dei &Eg