Appunti sulla prima parte del programma di meccanica dei solidi (fino a verifiche di resistenza)

Sforzo

Sforzo ì1 aAKPaPa MPa6 forza normale, sforzo perpendicolare distribuita dalla al piano sezione sulla sezione.

NB Una rettilinea ad trave detta solo ad assiale è azione cesse soggetta biella meccanica. Metti scalare no I sforzo tangenziale T TT da forza azionato una alla sezione tangente 1 d9 AAoan an COSOE cosa se non A NI1 Ni N 5N seno Perp a rispetto a Ne ai Ncos rispetto e Ne MISo 0cos so toe sforzi dalla a dipendono e posizione o di dall'angolo avervazione MINo cososeno DI CAUCHY CONTINUO delle dimensioni E dalla ho che differente struttura predominano non qui altre sulle.

Continuo

Si fissi l’attenzione su di un generico corpo tridimensionale che, sotto l’azione di assegnate azioni esterne, trova l’equilibrio in una certa configurazione. Sia V il volume occupato dal corpo in tale configurazione e sia S la sua superficie. Sul corpo possono agire carichi distribuiti sia al suo interno che sulla sua superficie. Si dirà che il corpo sia costituito da un mezzo continuo (o semplicemente che esso stesso è un continuo), nel senso che si trascurerà la reale natura molecolare, ovvero discontinua, della materia in esso presente, ritenendola priva di vuoti. La branca della meccanica che studia i corpi basandosi su questa schematizzazione, peraltro molto ragionevole, è detta meccanica dei continui.

Del di del continuo Candymodo le studiare passiamo ipotesi ora a. Le forze agenti sul corpo saranno distribuite con continuità: si avrà ad esempio su ciascun volumetto una forza dF che può essere pensata come applicata in un punto qualsiasi con E l’aggiunta di un momento di trasporto dM. Lo stesso discorso analogo può essere fatto sulla superficie in cui avremo una forza dF e un Ist momento di trasporto dm.

IF Gpa coppie non ci 11 sono superficie distribuite sulla 2 non forze coppie ammesse sono concentrate o. Su vincolata superficie se libera superficie 5 su contorno se superficie di distanza di a coppie lì dovute forze esterne a camp de forze distanza a campi II contatto forze esterne al dovute esterni corpi etc de contatto forze di Io da di contatto coppie l'equilibrio ap Impongo per. Per la superficie da I t trazione il superficiale agiogo Cim IF o2 as so Non hp Questa dire traducono che 11 concentrate ci si forze a sono nel superficie sulla. Non concentrate 21 ci sono coppie o distribuite sulla superficie.

Per il volume dI Cim il E forze di volume vettore d so II Cim ciò le ritenere a2 e equivale corpo non ma aa agiscono coppie di so distribuite di. Le Cauchy continuo ipotesi del fatte traducono il modello di di mediante si in ora parti il a piano corpo spezzare un immaggini normanle G Arbitraria normale generica aha del.

Affinché le due parti immaginate mantengano singolarmente e in come il equilibrio nel suo corpo dove dovranno scambiarsi insieme esse contraria e n attraverso azioni uguali e E di separazione superficie de due vi erai volumi si scambia forza hanno la p commentare puoi una in applicata sempre immagginarsi Élie. am pede dipento pattun a aggiungeme È Cim Ea riferito sforzo inna ax pde o na11 Cim IIo adi so di P definizione del definito dalla di della rotazione vettore e sforzo conceng normale na 01 Per Cim na GEie xasva de so.

Sia Si dove Reazione a Azione dall'inclinazione dipende vettore ce sforzo nada NB ha Il Pin di inforzo sulla normale vettore superficie agente del dal dal P dipende punto ma giacitura anche solo non generale corpo P o del considerato Si in le passante piano inoltre noti per generale diretto la lungo scomposto normale non può è come en ma essere la parallela a n.

Tensore di Cauchy degli sforzi

Sforzi tensore di Cauchy degli. Il di teorema Cauchy fra E sussista il In vettore quale reazione sforzo fondamentale capire e Per delimita due della la vettore giacitura superficie su cui esso ha agisce di far dee P infinitesimo intorno isolare punto questo s'immagini un a forma tetraedro 3 ai facce avente piani coordinati cadi quanto parallele e Indicando detto è dudi il Cauchy volume tetraedro di con normale e deades dei le delle avi facce ortogonali agli aree Ciò l'equilibrio si impone premesso annuceando traslazione alla ea­.nldi tutte le forze vettoriale somma di vettoriali esso su agenti NE tetraedro forza di Sua una agirà LEga gauna a DX superficie di di no DEdza ha LE LE ha I 1 ofat aalla allora l'equilibrio scriverà traslazione si come didI dà di 63 bar66 Ga II oma e e tolto trascurabile è dove dato bar stato di che ordine ponce superiore è dei de dove ho hai cadel o dato 63 Gare deto Gaiana divido per ha ce 6 ema esso ex was o Gare 63 Gaiana ha enina no6 È Gini Gare 63t ha Galina e ex ma no6.

Per relazione la cui è riscrivere possibile precedente come È 612 622632 Gale 6,16216 ha. Questa traduce di la il teorema di Cauchy ce vocazione esprime legge variazione Il teorema del ce è fa sforzo vettore gala noto mostra normale se ha con 3 di vettori lo normali i sforzo g superfici agenti aria precisata sono su del il in punto esame per corpo passanti ii sforzi Norman S S Y626 632 punto sforzo un E in 613 623 Gig63 sforzi tangenziali a 2 tensore sforzi degli io tensore indice da degli sforzi componente 20 Piano di indice ricevimento.

La di si relazione quindi Cauchy scrivere può come hai Gale LEE La tensione scrivere degli si può sforzi come Tre Try GxE yxgytyz­tzxtzy.bzeamen.

Simmetria del tensore di sforzo

Simmetria tensore di del sforzo intorno rotazione equilibrio una axe 633 6236,3 contribuiscono non all'equilibrio 623 621 6.1 a612 6211 622 uguali 6 Ed opposti da 6311 631_guyIs 66 g613636E DXa gaga da quelle sono tratteggiate quelle da aaaa aaaaaaaa naaaaagge dx. Quelli che sono rimangono È Gia Forza braccio da 612 62612 da la deduce cui si simmetrico p Rappresenta degli il teorema coniugazione dia tangenziali sforzi.

Lezione 8

Abbiamo stessi selettucendo tutti 612 procedimenti visto gli 62 per trovare E sia altri componenti ce a arriva gli. Per reale cui cui radice ammette è autovalori se simmetrica per una e autovettori e E6 Normale componente. La sforzo di ateq Gara Em Arancio di Sforzo componente Generale è Ia GaEn Ga Sforzo na tangenziale G1 Ia Ta è scalare a uno 16 ta.

Quindi le dato a componenti sue sono a direzioni principali Sforzo di. Ci si propone ora di mostrare che per ogni punto di un corpo passano sempre (almeno) 3 superfici mutamente ortogonali che risultano soggette solo a sforzi normali. Le direzioni dello spazio perpendicolari a tali superfici prendono il nome di direzioni principali di sforzo; gli sforzi che agiscono secondo tali assi si dicono sforzi principali.

Deve direzione Per determinare che sulla si imporre principale una superficie di diretto sforzo il normale sia la vettore come stessa ha Ga la esiste Canciano t.co 6ha a quindi se un ha I6E ha GIhaE ora es la o e 9 sistema ha linea Re omogeneo dati Condizione a sulliciente e GI o E necessaria nato affinche e G 3 autovalori 3 Autovettori i È 63621GI 6622612 632623613 6633I63 det IIGI Ig 62o s II e1616 o.

IIi Iz tensore in non invarianti del quanto sforzo di sono detti di del riferimento scelto sistema cambiano variare al dunque sono da intrinseche tensore e proprietà Ii 61 3p622 dove 633 la isotropa è pressione p Il dei Determinante di ordine minori 2 2Erthe6,633 6236326136361262611622 e622633 Is det ER risolta trovo 3 autovalori l'espressione sforzi sono de proprio gli principali GI611 GIE E autovettori trovato autovalori Dopo cerco gli aver gli 6 E GEIte GITE LIE in questa equazione q generale diverso vettori infiniti avrebbe a soluzioni avere e possono verso gli Per direzione modulo imponiamo ma questo uguale Normalizzazione LI the 1 the da di direzione troviamo 6 associata cui le sforzo a principale a Te troviamo Rifacendo Te stessa 6 se la cosa e per TINIL NENIL Te di sforzo terna destrorsa gg 611 GI GI.

Molteplicità

Molteplicità 1 E 0 o6 GIg GIGIai Zo Molteplicità G 31 O 6 6 GI 3o Molteplicità. Nel del direzioni tutte molt le siano principali caso uguali 2 a piano sforzi caso Tale 30 stato direzioni di sforzo sforzo sono al è principali principale ortogonale detto cilindrico tre. Se sforzi tutti le caso allora 3 e tutte most principali sono uguali gli direzioni doe direzioni punto dono il principali passanti sono spazio pon corpo di detto Questo sferico stato è idrostatico isotropo o sforzo di.

Costruiamo votazione matrice una RITRT LELe RELE matrice ortogonale Etti E GRAT punto preso espressione valida nel soltanto int.get.name considerazione lodi la NB dipende nel caratterizza tensione punto sforzo sforzo più ma non dalla E E normale.

Cerchio di Mohr

Arbelo di Mohr dato fa ba ta tutte na in Abbiamo le che ha visto faccio ruotare accora direzioni baita diverse trovo e coppie ATGig Rappresentazione di g gracicale lo.tl visualizzando componenti 6Ge6 o e unaaehai It circonferenza piano sforzo Mona Di Esso di Inain è è sforzi cui stato sforzo uno principali degli uno monaco Il tensore Ge quindi diventa di sforzo esempio Akfà Gia 622E.

Guardando ho la fig le no seno IE Era E o Gia cosa 622 seno Ea 2612 geno cosoi Ga fa cos'o6 Gri seno coso Gia seno cosa bar senza ha Ta GaiEaEa Gia cosa cosa senza 622 ancora sono seno aaaa nogeaaaa201161G Gia di senzo Il 622Gut622 cos parametrica una eq circonferenza 16 Gia costa 20 senza 122161E 622GO.

Centro S 1 Giada 206 62261 20 cui 60a sencos Ita 612 2061 senza 622 coss Ora le due membro membro quadrato equazioni al sommo elevo a e VITI R 16601 Re dove Gia6 6221 ciao circonferenza centro di oTA 122 DgGo.

Intro deformazioni

Dopo aver imparato a descrivere lo stato di sollecitazione nei continui tridimension­ali, si passa allo studio del comportamento deformativo di un continuo causato da generiche azioni esterne. Si è già osservato nell'Introduzione che un continuo tri­dimensionale è "intrinsecamente iperstatico", nel senso che la valutazione delle sollecitazioni al suo interno non può prescindere dalla messa in conto della sua de­formabilità: è necessario far figurare anche gli spostamenti da esso subiti fra le in­cognite del problema.

Ora continuo di Cerchiamo le di descrivere deformazioni un tridimensionale. Per far studiamo la iniziale conf sua questo caratterizza­ta SoVo da di vincolata è la suo cui volume parte una sup un P Votale Rispetto determinato dal conf di vettore a sarà punto uno fA Per esterne il nel carichi si tempo cause temperatura deforma corpo V SuS da trovandosi t corrente caratterizzata nella config a In di detti subisce Suola contorno anche parte spostamenti generale cedimenti. Nel di alla accade vincoli perfetti caso vincolari questo non me a passaggio 5 descrive traiettoria descritto corrente mette dal inio si c e punto una pOf XERisulta t vettore funzione che vettoriale descrive Ie_la tempo del traiettoria nel punto ii traiettorie I spostamento vettore Vo pAEXanni Il 11sta Suo Sua.

Deformazioni dei continui

Deformazioni dei continui Cinematica a DX Di D Do Lo OLO EOs8 Allungamento 8D LEOD Do Allungamento a tuttavia dalle dimensioni dipende l'allungamento iniziale togliere deformazioni dipendenza le uso questa per I IOE Longitudinale deformazione Normale IoEt E 0 deformazione trasversale Normale LIIE EE d E Stretch dove 1 a variazione nessuna 1 a tutta formula Infatti valida è via questa dog molto per piccole E ha1Es significato G E ÈD non Posibile 1 LD1 o Ocioe Infatti valide queste deformazioni sono espressioni solo piccole per modo de_ DE E Cgl e la trovo costante venal cosa impongo io E che Lolseolg loDs esee CIf Cd corpo indeformato Lolg cE EC ly.

Per cui deformazione logaritmica normale. La Questa indica si con lettera Usando i E lgtA i Due Cg sono ena perianisi X e1 01 Se accorciamento ea ee augganea. Ora Mi deformabile ad continuo riferisco un ooo fatto lo te Analogamente quanto a scrivere per posso EXPder Ieri dove Ep Stretch 1 1dgdipdip 1E 1 o com e AI.

Deformazioni di forma associate

Deformazioni forma di cambiamenti associate tanta e s1a È DXa Ex La E VeVe abs tg bisf aE8aricolo di volume mentre scorrimenti mon a Scorrimento agg agape. Questa def è normale non due infatti riguarda segmenti aaaa aaaaa aaaa Se riferisco al continuo mi continuo due di fibre del cambiare solo lunghezza non generiche possono subire anche da rotazione all'altra una una ma nel config passaggio relativa I add.

Ora Ip Sia fibre le fra l'angolo iniziale nella compreso con sedy Opg dea tra la allora l'angolo e variazione d'angolo oe scorrimento Spa8Pa è Pa angolare l'angolo tra risulta le se so fibre chiudersi tende a.

Descrizione finito un configurazione di cambiamento di di un continuo l'intorno l'approccio si di l'astensione fissa si lagrangiano pentuserà su un nel quale di durante si e immagina cambiamento materiale parti un seguirlo configurazione a generico ÈÈ È traiettorie I spostamento vettore u GPE funzioni matematiche e regolari continue 3l