Appunti su matrici

Geometria delle matrici

Introduzione

Siano m, n numeri naturali. Una matrice reale m x n è una tabella rettangolare costituita da m · n numeri reali disposti su m linee orizzontali (righe) e su n linee verticali (colonne).

Gli elementi della matrice A sono i numeri (si dice elemento di posto ij di A), la i indica la riga e la j indica la colonna in cui ci troviamo.

Tipi di matrici

• Matrice nulla: A si dice matrice nulla se a_ij = 0 ∀ij.
• Matrice quadrata: A si dice matrice quadrata se m = n. Gli elementi costituiscono la diagonale di una matrice quadrata.
• Matrice diagonale: Una matrice quadrata A si dice matrice diagonale se tutti gli elementi a_ij = 0 quando i ≠ j. Tutte le matrici quadrate nulle sono diagonali.
• Traccia di A: Sommatoria di tutti gli elementi della sua diagonale, da a₁₁ a a_nn.
• Matrice unità: A si dice matrice unità se tutti gli elementi della sua diagonale sono 1 mentre tutti gli altri sono 0.
• Matrici uguali: Si scrive A = B e si dicono uguali due matrici se a_ij = b_ij ∀i, j, quindi se hanno gli stessi elementi negli stessi posti.

Somma di matrici

La somma A + B delle matrici A e B è la matrice m x n il cui elemento di posto ij è dato da a_ij + b_ij.

Proprietà

• A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)
• A + 0 = A

Moltiplicazione di un numero reale per una matrice

kA è la matrice m x n il cui elemento di posto ij è k · a_ij. Sia A una matrice m x n, -A si dice opposta di A.

Proprietà

• ∀A, B m x n e ∀h, k ∈ R: (h+k)A = hA + kA
• (hk)A = h(kA)
• h(A + B) = hA + hB
• 0A = A

Trasposta

La trasposta di A è la matrice n x m il cui elemento di posto ij è a_ji.

Proprietà

• (A^t)^t = A
• (A + B)^t = A^t + B^t
• (kA)^t = kA^t

Matrice simmetrica

A si dice simmetrica se A = A^t, per cui se A è m x n allora a_ij = a_ji. Se i = j allora a_ij e A^t hanno la stessa diagonale quindi ogni matrice diagonale è simmetrica ma non il contrario. Le matrici simmetriche 2 x 2 sono tutte e sole nella forma (a b; b d).

Matrice antisimmetrica

A si dice antisimmetrica se A = -A^t. A può essere sia simmetrica sia antisimmetrica se e solo se A è nulla.