Appunti Statistica I

Lezione 09102026 teoria

09 October 2026 14:24

Il campionamento casuale stratificato: teoria

Campionamento di revisione contabile

Mariangela Zenga

09/10/2026

Universita degli Studi di Milano-Bicocca

Struttura della lezione

1. Perche e come stratificare la popolazione.
2. Ampiezza campionaria e allocazione del campione tra gli strati.
3. Errore proiettato, precisione e Upper Limit Error nel caso stratificato.

Esercitazioni (materiale a parte):

• Alfa S.p.A.: crediti verso clienti stratificati per importo;
• Beta S.r.l.: rimanenze di magazzino stratificate per linea di prodotto.

Riferimento: Commissione europea, Guida sui metodi di campionamento per le autorita di audit, sezioni 4.7 e 6.1.2.

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Perche stratificare

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La stratificazione

Definizione

Si ha una stratificazione quando la popolazione e suddivisa in sottogruppi, detti strati, e da ciascuno strato si estrae un campione indipendente. Nel campionamento casuale semplice stratificato, in ogni strato si usa il campionamento casuale semplice.

La stratificazione ha due scopi:

• efficienza: a parita di ampiezza campionaria si ottiene una precisione maggiore, oppure a parita di precisione serve un campione piu piccolo;
• rappresentativita: ogni sottogruppo della popolazione e sicuramente presente nel campione.

L'idea: invece di una popolazione molto variabile, si lavora con due o piu sottogruppi piu omogenei, cioe con variabilita minore.

Come scegliere gli strati

Gli strati vanno costruiti in modo da avere al loro interno poca variabilita degli errori. Si stratifica quando ci si attende che il livello di errore cambi tra gruppi della popolazione.

Variabili di stratificazione tipiche nella revisione contabile:

• importo della voce (saldo, valore della fattura, spesa per operazione): utile quando l'errore e associato al valore contabile;
• area geografica, filiale, magazzino, unita organizzativa;
• tipologia di cliente, fornitore o prodotto;
• livello di rischio della voce.

In strati diversi si possono applicare metodi diversi: ad esempio verifica al 100% delle voci di valore elevato e campionamento statistico sulle altre.

Lo strato al 100%

Se la popolazione contiene alcune voci di valore elevato, conviene isolarle in uno strato da verificare integralmente. Questo riduce la variabilita negli strati restanti.

Quale soglia?

Non esiste una regola generale. Un criterio empirico e includere le voci con valore contabile superiore alla soglia di rilevanza (TE). Approcci piu prudenti usano TE/2 o TE/3. La scelta resta affidata al giudizio professionale.

Conseguenze sul calcolo:

• le voci dello strato al 100% sono escluse da N nel calcolo dell'ampiezza e della precisione;
• TE e AE restano calcolati sul valore contabile dell'intera popolazione;
• l'errore trovato nello strato al 100% si aggiunge all'errore proiettato (non ha errore di campionamento).

Ampiezza e allocazione del campione

Notazione

h = 1, ..., H indice dello strato

N_h, N = ∑_h=1^H N_h numero di voci nello strato h e negli strati campionati

n_h, n = ∑_h=1^H n_h ampiezza del campione nello strato h e complessiva

BV_h valore contabile totale dello strato h

E_hi = BV_hi - AV_hi errore dell'i-esima voce del campione dello strato h

Ē_h errore medio nel campione dello strato h

Ampiezza campionaria

n = [ N · z_α/2 · σ_w / (TE - AE) ]²

dove σ_w² è la media ponderata delle varianze degli errori negli strati, con pesi N_h/N:

σ_w² = ∑_h=1^H (N_h/N) σ_eh²

σ_eh² = 1 / (n_h^p - 1) ∑_i=1^n_hp (E_hi - Ē_h)²

• σ_eh² si stima da revisioni precedenti oppure da un pre-campione di n_h^p voci per strato, che poi entra nel campione finale.
• Rispetto al caso non stratificato cambia solo la varianza: al posto di σ_e² dell'intera popolazione si usa la varianza entro gli strati, che è più piccola se gli strati sono omogenei.

Allocazione del campione tra gli strati

Calcolata l'ampiezza complessiva n, la si ripartisce tra gli strati in modo proporzionale alla loro numerosita:

n_h = (N_h/N) · n

• È il metodo di allocazione più semplice; esistono altri metodi che in alcuni casi danno una precisione maggiore.
• Conviene avere almeno 3 voci per strato, per poter calcolare le deviazioni standard.
• Se n_h supera il pre-campione dello strato, si estraggono altre n_h - n_h^p voci.

Allo strato al 100% si aggiungono tutte le sue voci: l'ampiezza totale verificata è n + N_100%.

Stima dell'errore e decisione

Errore proiettato: metodo 1

Media per unit

In ogni strato si moltiplica l'errore medio del campione per il numero di voci dello strato, poi si somma:

EE₁ = sum_h=1^H N_h * (sum_i=1^n_h E_hi / n_h) + E_100%

E_100% è l'errore totale trovato nello strato verificato integralmente: si aggiunge così com'è, perché quelle voci sono state controllate tutte.

Errore totale h-esimo gruppo

(sum_i=1^n_h E_hi / n_h) = Ē_h

Stima dell'errore medio dell'h-esimo gruppo

Errore proiettato: metodo 2

Tasso d'errore

In ogni strato si moltiplica il tasso d'errore del campione per il valore contabile dello strato, poi si somma:

EE₂ = sum_h=1^H BV_h * (sum_i=1^n_h E_hi / sum_i=1^n_h BV_hi) + E_100%

La scelta tra i due metodi segue la stessa regola del caso non stratificato, calcolata sul campione complessivo:

Cov(E, BV) / Var(BV) > t_e / 2 ⇒ metodo 2

Cov(E, BV) / Var(BV) ≤ t_e / 2 ⇒ metodo 1

Precisione

Metodo 1

SE₁ = N * z_α/2 * s_w / √n

s_w² = sum_h=1^H (N_h/N) * s_eh²

s_eh² = 1/(n_h - 1) * sum_i=1^n_h (E_hi - Ē_h)²

Metodo 2

SE₂ = N * z_α/2 * s_qw / √n

s_qw² = sum_h=1^H (N_h/N) * s_qh²

q_hi = E_hi - (sum_i=1^n_h E_hi / sum_i=1^n_h BV_hi) * BV_hi

Lo strato al 100% non entra nella precisione: non ha errore di campionamento. Il significato di s_qh² è richiamato nella slide seguente.

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Che cosa misura s²_qh: la variabile q_hi

In ogni strato h si calcola il tasso d'errore del campione dello strato e, per ogni voce, la variabile q_hi:

t_eh = ∑_i=1^n_h E_hi / ∑_i=1^n_h BV_hi      q_hi = E_hi - t_eh · BV_hi

• t_eh · BV_hi è l'errore atteso sulla voce i: l'errore totale del campione dello strato ripartito tra le voci in proporzione al loro valore contabile.
• q_hi è lo scarto tra l'errore osservato e l'errore atteso. Dentro ogni strato gli scarti si compensano: ∑_i=1^n_h q_hi = 0, quindi q̄_h = 0.
• s²_qh è la varianza di questi scarti nel campione dello strato:

s²_qh = 1 / (n_h - 1) ∑_i=1^n_h (q_hi - q̄_h)² = 1 / (n_h - 1) ∑_i=1^n_h q_hi²

Come si interpreta s²_qh

Interpretazione

s²_qh misura quanto gli errori dello strato si discostano dalla proporzionalità al valore contabile.

• Se gli errori sono proporzionali a BV (E_hi = c · BV_hi), oppure sono tutti nulli, allora q_hi = 0 per ogni voce e s²_qh = 0.
• Più gli errori crescono con il valore contabile, più s²_qh è piccola rispetto alla varianza degli errori s²_eh, e più il metodo 2 è preciso.
• Se invece gli errori non dipendono dal valore contabile, s²_qh può essere maggiore di s²_eh; in quel caso conviene il metodo 1.

Rispetto al caso non stratificato

È la stessa logica di Q_i, ma ogni voce è confrontata con il tasso d'errore del proprio strato t_eh.

Limite superiore e decisione

ULE = EE + SE

Il confronto con l'errore tollerabile TE (calcolato sull'intera popolazione) è identico al caso non stratificato:

• Primo caso: TE < EE - non certfica
• Sottocaso A: EE < ULE < TE - certifica (rischio α)
• Sottocaso B: EE < TE < ULE - inconcludente: ulteriori verifiche

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Schema della procedura

1. Scego gli strati e isolo lo strato al 100%
2. TE, AE sull'intera popolazione; N senza lo strato al 100%
3. Pre-campione in ogni strato: òeh e òw
4. Ampiezza n e allocazione n_h = ^N_h/_N n
5. Verifica del campione e dello strato al 100% scelta del metodo
6. EE, SE, ULE e confronto con TE

Testo dell'esercizio

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Il contesto

Il revisore di Alfa S.p.A. verifica i Crediti verso clienti al 31/12/2025 tramite circolarizzazione. Dall'analisi del partitario sa che i saldi sono molto asimmetrici: poche partite di importo elevato e molte di importo modesto. Decide quindi di stratificare per importo del saldo, isolando in uno strato da verificare integralmente le partite con saldo superiore a TE/3.

Strato 1: saldo fino a 10 000 €; partite 1217; valore contabile BVh 5 240 467 €.

Strato 2: saldo oltre 10 000 € e fino a TE/3; partite 280; valore contabile BVh 4 831 897 €.

Strato 3 (100%): saldo oltre TE/3; partite 3; valore contabile BVh 227 636 €.

Totale: partite 1 500; valore contabile 10 300 000 €.

I dati per la pianificazione

• Livello di confidenza: 90% (z_a/2 = 1,645).
• Errore tollerabile: TE = 2% del valore contabile totale.
• Errore atteso: AE = 0,5% del valore contabile totale.
• Pre-campione di 20 partite per strato nei due strati campionati:

υ_e1 = 260 €      υ_e2 = 1 450 €

Le partite del pre-campione entrano nel campione finale.

I risultati della circolarizzazione

Strato 1: Valore contabile del campione ∑ BV_hi 401 250 €; Errore totale nel campione ∑ E_hi 1 116 €; Deviazione standard degli errori s_eh 238 €; Deviazione standard di q_hi s_qh 236 €.

Strato 2: Valore contabile del campione ∑ BV_hi 395 000 €; Errore totale nel campione ∑ E_hi 3 150 €; Deviazione standard degli errori s_eh 1 380 €; Deviazione standard di q_hi s_qh 1 100 €.

• Strato 3 (100%): un errore di 1 850 € sulla partita CL-0524 (nota di credito per reso non contabilizzata); nessun errore sulle altre due partite (CL-1298, CL-0050).
• Sul campione complessivo dei due strati campionati: Cov(E, BV)/Var(BV) = 0,0231.

Punti da svolgere (1/2)

1. Parametri di partenza. Calcolate TE, AE, TE - AE, la soglia TE/3 dello strato al 100% e il numero di partite N da usare per l'ampiezza campionaria. Su quale valore contabile si calcolano TE e AE?

2. Ampiezza campionaria. Dal pre-campione calcolate σ²_w, σ_w e l'ampiezza complessiva n dei due strati campionati.

3. Allocazione. Ripartite n tra gli strati 1 e 2 con l'allocazione proporzionale. Quante partite vanno estratte oltre al pre-campione? Quante partite circolarizza in tutto il revisore?

4. Scelta del metodo. Calcolate t_e sul campione complessivo e, con la regola basata su Cov(E, BV)/Var(BV), indicate il metodo di stima da applicare. Interpretate il risultato.

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Punti da svolgere (2/2)

1. Errore progettato. Calcolate Ē_h e t_eh in ogni strato, poi EE₁ e EE₂. Qual e il tasso d'errore progettato con il metodo 2?

2. Precisione. Calcolate S_w, s_w, SE₁ e SE₂.

3. Decisione. Calcolate ULE con entrambi i metodi, rappresentate EE, ULE e TE su una retta e indicate la decisione del revisore. Commentate la differenza tra i due metodi.

4. Riflessione. Che cosa ha portato la stratificazione? Confrontate la quota del campione assegnata allo strato 1 con la sua quota di partite e di valore contabile.

TE = 2% TC = 0,02 . 10'300'000 = 206'000 E

AE = 0,5% . TC = 0,005 . 10'300'000 = 51500 E

TE - AE = 206'000 - 51500 = 154500 E

TE e AE si calcola sulle 1500 partite.

N* = N₁ + N₂ = 1217 + 280 = 1497

pre campioni di 20 partite sullo strato 1 e sullo strato 2

Ê_e1 = 260

Ê_e2 = 1450

s_w² = 1217/1497 . 260² + 280/1497 . 1450² =

= 48209

s_w = 669,48

n = [1497 . 1,645 . 669,48 / 154500]² = 10,671² =

= 113,87

n* = 114

n₁ = 1217/1497 . 114 = 92,68 -> 93

n₂ = 114 - 93 = 21

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n₁ = 1213/1497 . 114 = 92,68 23

STRATI1

1

2

3(100%)

Pre-camp

20

20

-

CAMPIONE n_h

93

21

3

Partite da estrarre

93 - 20 = 73

21 - 20 = 1

3

77

STRATO 1

STRATO 2

n_h

93

21

BV_h camp.

401250

39500

ERRORE TOT. camp

1116

3150

E_h

12

150

S_eh

238

1380

S_qh

236

1100

Nello STRATO al 100% errore 1850 su una sola partita [o per le altre 2 partite]

t_e = (1116 + 3150) / (40125 + 39500) = 0,005358

t_e/2 = 0,00268

Gv (E,BV) / Var(BV) = 0,0231 > 0,00268 = t_e/2

=> Si sceglie il METODO 2

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