Appunti di Statistica

1. La statistica

La statistica permette di raccogliere le informazioni importanti di una serie di dati e sintetizzarle, in modo tale da capire il significato di questi.

Il campionamento dei dati presenta due elementi fondamentali:

• La popolazione N, insieme di tutte le unità oggetto di studio.
• Il campione n, sottoinsieme delle unità osservate nella popolazione.

Il campionamento può essere di due tipi. Il campionamento casuale semplice è il procedimento usato per selezionare un campione n di oggetti da una popolazione, in modo tale che ciascuna unità di quest’ultima sia scelta a caso. Anche ogni campione n deve avere la stessa possibilità di essere selezionato. Il campione che si ottiene con questo metodo è detto campione casuale. Il secondo metodo è il campionamento sistematico per cui si suppone che le unità della popolazione siano organizzate in una lista. Si seleziona un’unità j per ogni elemento della popolazione N, dove j è il rapporto tra la dimensione della popolazione N e la dimensione del campione n: N/n. La prima unità del campione sistematico è data dalla scelta casuale di un numero tra 1 e j.

Esempio: n=100 e N=5000. Ottengo j=50 e il numero che seleziono casualmente è 20. La prima unità sarà in posizione 20 e le successive saranno in posizione 70, 120, 170 e così via fino ad arrivare a 100 unità.

Notiamo come lo studio della statistica sia necessario per trarre conclusioni sull’intera popolazione quando le informazioni sono state ottenute da un campione.

La statistica è una caratteristica specifica del campione mentre il parametro è una caratteristica specifica della popolazione.

Esempio: si vuole conoscere l’età media degli iscritti alle liste elettorali degli USA. Essendo la popolazione molto vasta si dovrà considerare solo un campione casuale, per esempio 500 elettori, e calcolarne l’età media. Visto che la media è calcolata su dati campionari si parla di statistica, ma se fossimo in grado di calcolare l’età media dell’intera popolazione parleremmo di parametro.

In alcune situazioni possono presentarsi degli errori che derivano da una conoscenza limitata delle informazioni, questi sono gli errori campionari. Altre volte gli errori sono legati alla pratica e quindi alle tecniche di campionamento che possono verificarsi durante un’indagine, questi sono gli errori non campionari. Alcuni esempi di quest’ultimi:

• La popolazione campionata non è quella di riferimento. È importante eseguire un campionamento della popolazione e non di un suo sottogruppo.
• Le unità campionate forniscono risposte imprecise o false. Se le domande sono formulate in modo errato oppure si tratta di domande sensibili che difficilmente avranno risposte veritiere.
• Mancano risposte alle domande del questionario. Gli intervistati possono rifiutarsi di rispondere e questo può determinare un aumento di errori sia campionari (la dimensione campionaria finale sarà minore di quella prevista) che non campionari (la popolazione dalla quale si è estratto il campione può non rispettare quella di interesse). In questo caso i risultati deriveranno da un campione casuale estratto sulla popolazione disponibile a rispondere.

Il metodo statistico prevede l’individuazione del problema, successivamente si passa alla raccolta dei dati prodotti dai diversi processi e li si analizza usando uno o più procedimenti statistici. Dall’analisi si ottengono delle informazioni che vengono trasformate in conoscenza.

Come si indicano i dati? Sulle righe le unità statistiche (su chi/cosa sto facendo le misurazioni) e sulle colonne le misurazioni effettuate (cosa sto misurando), dette variabili.

La statistica si divide in statistica descrittiva che comprende metodi grafici e numerici usati per sintetizzare i dati e trasformarli in informazioni, e la statistica inferenziale che fornisce le basi per le previsioni e per le stime che consentono di trasformare le informazioni in conoscenza. La statistica inferenziale è un processo che può comprendere stime, verifiche di ipotesi, analisi di relazioni e previsioni. Con lo studio di questa si raccolgono le informazioni e successivamente le si analizzano.

I dati possono avere una doppia origine:

• Essi rappresentano tutta la popolazione di riferimento e si basano su due elementi, l’indice di tendenza centrale affiancato a quello di variabilità.
• Sono un campione, fanno parte di una popolazione più alta, sulla base di questi devo capire quali caratteristiche mi interessano della popolazione.

2. Descrizione grafica dei dati

Le variabili

Possono essere classificate in diversi modi.

Se ci si sofferma sulla quantità di informazioni contenute nei dati si distinguono le:

• Variabili categoriche, generano risposte che appartengono a gruppi o categorie come ad esempio “hai un telefono?”, oppure riguardano domande relative al genere o al corso di laurea frequentato.
• Variabili numeriche, comprendono le variabili discrete e le variabili continue.
  • La variabile numerica discreta può avere un numero finito di valori e generano risposte che provengono da un processo di conteggio come il numero di iscritti ad una classe o il numero azioni di un investitore.
  • La variabile numerica continua può assumere un qualunque valore all’interno di un intervallo di numeri reali e di solito è originata da un processo di misurazione e non di conteggio, alcuni esempi sono il peso, la temperatura, la distanza tra due città o il tempo impiegato a concludere una gara.

Se si trattano i livelli di misurazione invece si considerano le:

• Variabili qualitative, con queste non si può attribuire alcun significato misurabile alla differenza tra coppie di numeri. Ad esempio si ha un giocatore con la maglia numero 20 ed uno con quella numero 10, dal numero non si può concludere che il primo sia più bravo del secondo.

I dati qualitativi utilizzano, come livello di misurazione, la scala nominale e quella ordinale. I livelli di misurazione nominale e ordinale si riferiscono a dati ottenuti da domande di tipo categorico. I valori assunti dalle variabili nominali sono etichette a cui, per ogni risposta, viene assegnato un codice numerico che ha un solo significato di classificazione mentre i dati ordinali indicano un ordine gerarchico o degli elementi e anche qui i valori assunti sono delle etichette (esempi: giudizio sulla qualità di un prodotto o preferenze dei consumatori tra bibite diverse).

• Variabili quantitative, con queste si può ottenere un significato misurabile nella differenza numerica. Ad esempio se uno studente ottiene un punteggio di 90 in un test un altro ottiene 45 la differenza è misurabile e ha un significato.

I dati quantitativi includono la scala ad intervallo e la scala di rapporto. I dati misurati in scala ad intervallo o di rapporto sono riferiti ad una scala dove la differenza di intensità tra coppie di misure ha un significato. Nella scala ad intervallo i valori sono ottenuti in relazione ad un punto di riferimento prefissato (es. la temperatura) mentre con la scala di rapporto si indicano sia un ordine che una distanza e il rapporto tra due misure assume un significato preciso (una persona che pesa 100 kg pesa il doppio di una che ne pesa 50 kg).

La classificazione usata per la raccolta dei dati è importante perché determina una diversa scelta della rappresentazione grafica, alcuni grafici sono usati per variabili categoriche e altri per variabili numeriche. È importante anche considerare i valori mancanti o missing values che richiedono una codifica speciale nella fase di inserimento dei dati e se non propriamente trattati possono determinare elaborazioni errate.

La modalità è il valore che può venire fuori dalla variabile, sono i numeri della variabile. Es. le modalità del titolo di studio sono tre.

Esempi di variabili

Le variabili qualitative:

• Sconnesse, quando non sono ordinabili: il colore degli occhi.
• Ordinata: il titolo di studio.

Le variabili quantitative:

• Continue non trasferibili: il peso.
• Continue trasferibili: il reddito.
• Discrete trasferibili: quantità (es. di mele).
• Discreta non trasferibile: età.

Sulle variabili qualitative non posso fare i conti o una media dei conteggi ma posso fare delle statistiche.

Rappresentazioni grafiche per le variabili categoriche

Le variabili categoriche possono essere descritte tramite tre tipologie di grafici che sono distribuzioni di frequenze tabellari. I seguenti grafici sono utilizzati da manager e analisti di mercato per descrivere i dati raccolti con sondaggi e questionari.

1. Diagrammi a barre
2. Diagrammi a torta
3. Diagrammi di Pareto

Distribuzione di frequenze

La distribuzione di frequenza è una tabella utilizzata per organizzare i dati. La colonna di sinistra comprende tutte le possibili risposte relative alla variabile oggetto di studio, mentre la colonna di destra contiene l’elenco delle frequenze per ogni classe.

La distribuzione di frequenze relative si ottiene dividendo ciascuna frequenza per il numero complessivo di osservazioni. Se moltiplico ciò per 100% ottengo la distribuzione delle frequenze percentuali.

Esempio: l’indice HEI delle sane abitudini alimentari misura su una scala, da 0 a 100, l’adeguatezza dei consumi di verdura, frutta, cereali ecc. Nel dataset sono raccolti dei punteggi su un campione di 4460 partecipanti allo studio, i punteggi sono stati misurati in due giorni diversi.

La variabile “activity level” identifica il livello di attività fisica del partecipante:

• 1 Sedentario
• 2 Attivo
• 3 Molto attivo

La tabella rappresenta le distribuzioni di frequenze e percentuali della variabile “activity level”.

Diagramma a barre

Serve per attirare l’attenzione sulla frequenza di ogni categoria.

Nel diagramma a barre l’altezza di ogni rettangolo rappresenta la frequenza e non è necessario che le barre si tocchino.

Esempio: la seguente figura rappresenta il diagramma a barre relativo alla distribuzione di frequenze dei dati della tabella precedente.

Il diagramma a barre ha anche una sua estensione denominata diagramma a barre sovrapposte. Considerando la seguente tabella costruiamo il suo diagramma a barre sovrapposte.

Un’ulteriore estensione è il diagramma a barre accostate, di cui di seguito è rappresentato il grafico.

I grafici permettono un confronto visivo tra i totali e le singole componenti.

Diagramma a torta

Lo si utilizza quando si vuole sottolineare la proporzione delle frequenze di ciascuna categoria. Il cerchio rappresenta il totale mentre i settori circolari rappresentano le parti del totale.

Esempio: la tabella elenca le quote di mercato dei diversi sistemi operativi Microsoft nei mesi di Gennaio 2017 e Gennaio 2018.

Nella Figura A viene rappresentato il diagramma a torta relativo alle quote di mercato di Gennaio 2017. Nella Figura B quelle relative a Gennaio 2018.

Diagramma di Pareto

È un diagramma a barre che rappresenta le frequenze delle cause di difettosità, viene utilizzato dai manager che devono identificare le principali cause dei prob