Appunti riguardanti l'intero corso Fisica 1

Misure e vettori

Metodo sperimentale

La fisica è una scienza basata sul metodo sperimentale, messo a punto da Galileo, con lo scopo di arrivare ad una descrizione oggettiva e quantitativa del mondo. Il metodo sperimentale si basa su quattro fasi:

• Osservazione e raccolta dei dati
• Formulazioni delle ipotesi
• Fase sperimentale, verifica e modifica delle ipotesi
• Leggi e formulazione matematica

Grandezze fisiche

Una grandezza fisica è una proprietà o caratteristica di un fenomeno o corpo che può essere misurata quantitativamente ed è definita se si è indicato il modo operativo per misurarla e la misura è riproducibile. Le grandezze fisiche possono essere:

• Scalari (per definirle basta il valore numerico della misura)
• Vettoriali (per definirle si devono specificare modulo, direzione e verso)

Due grandezze si dicono omogenee se hanno la stessa dimensione. L’analisi dimensionale è una condizione necessaria, ma non sufficiente, per verificare la correttezza di un’operazione.

Sistema internazionale di unità di misura

Una grandezza fisica è identificata da un valore numerico e da un’unità di misura. Il Sistema Internazionale ha stabilito sette grandezze fondamentali da cui derivano le altre dette grandezze derivate:

• Tempo secondo s
• Lunghezza metro m
• Massa chilogrammo kg
• Intensità di corrente ampere A
• Temperatura kelvin K
• Quantità di materia mole mol
• Intensità luminosa candela cd

Misure

Le misure possono essere:

• Dirette (scelta una grandezza omogenea campione, la si paragona alla grandezza da misurare)
• Indirette (si usano espressioni matematiche per misurare la grandezza)

Attraverso la misurazione si associa un valore numerico accompagnato da un’unità di misura ad una grandezza. Una misura si scrive: = ± ∆ []

Grandezza = valore numerico ± incertezza [unità di misura]

In una misura tecnica è sempre necessario inserire l’incertezza che dà informazioni sull’affidabilità dell’operazione di misurazione.

Incertezza della misura

L’incertezza della misura (errore) è sempre presente e può dipendere da vari fattori:

• Accuratezza (dipende dall’operatore)
• Errore strumentale (dipende dalla strumentazione e dalla sensibilità dello strumento)
• Errore sistematico (dipende dal metodo sperimentale e si sviluppa sempre in una sola direzione)
• Errore accidentale (dipende da varie cause, si verifica in entrambe le direzioni e si può ridurre con l’analisi statistica)

Misure dirette

In una misura diretta, il valore della misura è pari al valore medio calcolato come media aritmetica tra tutte le misure, l’incertezza è data dalla somma algebrica delle incertezze. [] = ̅ ± ± [X]

Grandezza = valore medio ± errore strumentale ± errore sistematico

Se allora si deve aumentare il numero di misure effettuate e ( − ) > valutare statisticamente l’incertezza.

Misure indirette

In una misura indiretta, il valore vero è dato dal valore medio delle grandezze misurate direttamente, per la propagazione delle incertezze si usano le derivate parziali dopo aver valutato gli errori sulle singole misure dirette. Le derivate parziali sono calcolate rispetto ad una variabile per volta della grandezza indiretta, considerando le altre costanti: (, , , …)

Devianza

La devianza valuta la dispersione e indica quanto un risultato sperimentale differisce rispetto al valore atteso. Nelle misure dirette: 2∑( ) = − ̅ =1

Varianza e varianza empirica

La varianza valuta la dispersione intorno alla media e indica quanto una misura varia intorno al suo valore medio. Per n piccolo si usa la varianza empirica, per n non piccolo la semplice varianza. Nelle misure dirette:

12 2 = − ̅ )∑( =1

12 2 = − ̅ )∑(−1 =1

Nelle misure indirette: 2 2 2 2 2 2 2 = + + ⋯ + ( ) ( ) ( )

Errore standard ed errore standard empirico

L’errore standard (deviazione standard o scarto tipo) è in genere indicato come la radice quadrata della varianza. Per un numero grande di misure si può usare indistintamente errore standard o errore standard empirico, mentre per piccoli valori di n è meglio usare il secondo. Nelle misure dirette:

1 2√ = − ̅ )∑( =1

1 2√ = − ̅ )∑( −1 =1

Nelle misure indirette: 2 2 2 √( 2 2 2 = + + ⋯ + ) ( ) ( )

Questa esprime la bontà media di ogni singola misura e fornisce il limite di confidenza della misura stessa. Si dimostra che si ha il:

• 68.3% di probabilità che il risultato di una misura differisca meno di σ dal valore vero
• 95.4% di probabilità che la misura cada entro 2σ dal valore medio
• 99.7% di probabilità che la misura cada entro 3σ dal valore vero

Errore relativo ed errore relativo percentuale

L’errore relativo dà informazioni sulla qualità della misura ed è definito come: ∆ = |̅ |

Moltiplicando per cento si trova l’errore percentuale: ∆ = × 100% |̅ |

Semidispersione massima

La semidispersione massima è una stima grossolana riguardo agli errori casuali e indica l’incertezza massima: − = 2

Errore massimo

L’errore massimo rappresenta un limite superiore della stima dell’incertezza su f: (̅ , , , … ) (, ̅, , … ) (, , ̅, … ))∆(, , , … = ∆ + ∆ + ∆ + ⋯| | | | | |

Analisi statistica dei dati

Supponendo di aver raccolto una sequenza di valori ognuno con la propria frequenza , questi dati possono essere rappresentati con un istogramma che è, però, poco significativo in quanto non comunica nessuna informazione immediata sui risultati della misura effettuata. Per rendere più significativi gli istogrammi si possono dividere le serie di valori in intervalli, contando quanti valori misurati cadono in ciascun intervallo. L’altezza del rettangolo avente per base è scelta in modo ∆ tale che l’area sia uguale alla frazione di misure che cadono nell’intervallo ∆ stesso: ∆ = =

Le grandezze prendono il nome di densità di frequenza normalizzata o = ∆ densità di frequenza. Aumentando il numero N delle misure si possono scegliere intervalli sempre più stretti. Al limite, per si ottiene una distribuzione → ∞, ∆→ 0 continua.

Teorema del limite centrale

Si dimostra che, se una misura è soggetta a molte sorgenti di errori casuali e a trascurabili errori sistematici, la distribuzione dei valori misurati sarà descritta da una caratteristica curva a campana, simmetrica e centrata sul valor medio della distribuzione: la cosiddetta distribuzione normale o di Gauss, che sarà la distribuzione limite cui tendono i risultati. La distribuzione limite definisce una funzione continua che, all’aumentare delle misure, sarà sempre meglio () approssimata dall’istogramma definito dalle frequenze .

Funzione di distribuzione normale

La funzione di distribuzione normale è data da: 2)1 −( − 0= [ ]22√2

Diversi valori di σ (deviazione standard della media) corrispondono ad esperimenti con precisioni diverse. Curve di distribuzione dei dati più strette sono associate ad esperimenti più precisi (minore dispersione dei dati dal valore medio).

A volte i risultati di una misura ripetuta vengono dati in termini di Full Width Half Maximum (FWHM), ossia ampiezza a metà altezza della distribuzione normale: = 2√22 = 2.35

Calcolo vettoriale e componenti di un vettore

I vettori sono la rappresentazione matematica di una grandezza vettoriale e possono esprimere con segmenti orientati la posizione di un punto P nello spazio. Un vettore può essere individuato tramite le sue componenti lungo un sistema di assi cartesiani.

Il modulo è dato da: 2 2 2|| = √ + +

Le componenti sono legate dalle seguenti relazioni trigonometriche: || || = cos = sin

L’angolo può essere espresso come: tan =

Versori

Un versore è un vettore unitario (modulo pari a 1) diretto lungo gli assi cartesiani, di ̂ cui indica il verso positivo. In particolare, sono i versori rispettivamente ̂, ̂, dell’asse. Ogni vettore può essere espresso mediante le proprie componenti, , . cartesiane e i versori:

̂ = + + = ̂ + ̂ +

Con: = sin cos = sin sin { = cos

Somma e differenza di vettori

Dati due vettori a e b la loro somma è un vettore c il cui verso e la cui direzione si possono trovare con la regola del parallelogramma e il modulo è la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti del vettore. Dati due vettori a e b la loro differenza è un vettore c dato dalla somma tra a e l’opposto di b e si esprime mediante l’altra diagonale del parallelogramma.

Il vettore c si ottiene sottraendo o sommando le componenti omologhe:

⃗⃗ )̂( )̂⃗ = ⃗ + = + + + + ( + ( )̂

⃗⃗ )̂( )̂⃗ = ⃗ − = − + − + ( − ( )̂

Prodotto di uno scalare per un vettore

Dato un vettore a e uno scalare k, il loro prodotto è ancora un vettore ka che ha stessa direzione di a, modulo uguale a k volte quello di a e verso uguale ad a se > 0, opposto ad a se < 0. Si moltiplica ogni componente per lo scalare: ̂⃗ = ̂ + ̂ +

Prodotto scalare

Il prodotto scalare è un’operazione tra vettori che ha come risultato uno scalare e si definisce come: ⃗ |⃗||⃗⃗ ⃗⃗|∙ = cos

Vale la proprietà commutativa e se il prodotto scalare è nullo vuol dire che i vettori sono perpendicolari o uno coincide con il vettore nullo; moltiplicare scalarmente un vettore per se stesso restituisce il quadrato del suo modulo. Il prodotto scalare può essere determinato come la somma dei prodotti delle componenti omonime dei due vettori: ⃗ ⃗⃗∙ = + +

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale tra due vettori A e B genera un vettore C ortogonale al piano individuato da A e B; il verso si stabilisce con la regola della mano destra mentre il modulo nel seguente modo: |⃗ |⃗| |⃗||⃗⃗| ⃗⃗|× = = sin

Il prodotto vettoriale non è commutativo: × = − × Se il prodotto vettoriale è nullo i due vettori sono paralleli tra loro o uno dei due è il vettore nullo. Il vettore ortogonale ottenuto si può trovare grazie al calcolo del determinante di una matrice 3 × 3: ̂̂ ̂⃗ ⃗⃗ × = | |

Cinematica del punto materiale

Meccanica e cinematica

La meccanica studia il moto utilizzando leggi quantitative. Una sua branca è la cinematica che studia il moto dei corpi senza occuparsi delle cause che lo generano. Le grandezze fondamentali sono lunghezza, velocità ed accelerazione.

Punto materiale e traiettoria

Il punto materiale è un corpo privo di dimensioni o le cui dimensioni sono piccole o trascurabili rispetto alle altre in gioco. È il caso più semplice per studiare il moto di un corpo e per descriverlo sono sufficienti tre coordinate nello spazio, due nel piano e una sulla retta. Mentre un punto geometrico ha coordinate costanti, un punto fisico ha coordinate dipendenti dal tempo.

La traiettoria è il luogo geometrico dei punti occupati successivamente dal punto materiale nel suo moto. È una curva dipendente dal tempo e continua nello spazio.

Sistema di riferimento e sistema di coordinate

Il sistema di riferimento è un insieme di corpi fissi relativamente l’uno all’altro e rispetto ai quali si definisce la posizione del corpo studiato e il suo movimento. La scelta del sistema di riferimento è arbitraria e si tratta di un concetto fisico.

Il sistema di coordinate è un concetto geometrico scelto per descrivere matematicamente il moto di un corpo rispetto al sistema di riferimento. Esistono infiniti sistemi di coordinate e per ogni problema bisogna scegliere quello più consono per descriverlo.

Traiettoria, velocità, accelerazione

Lo spostamento, la velocità e l’accelerazione sono grandezze vettoriali. La traiettoria è definita come: ()̂⃗() = ()̂ + ()̂ +

La velocità (sempre tangente alla traiettoria) è la derivata prima della traiettoria e se la coordinata x cresce, altrimenti decresce: > 0 ⃗ ⃗̇() ()̂()̂ ()̂⃗ ≡ ≡ = ̇ + ̇ + ̇

L’accelerazione è la derivata prima della velocità e la derivata seconda della traiettoria: 2⃗() ⃗() ⃗̈() ()̂()̂ ()̂⃗ ≡ ≡ ≡ = ̈ + ̈ + ̈2

Integrando la velocità si trova la traiettoria e integrando l’accelerazione si trova la velocità.

Moto rettilineo (1D)

Il moto rettilineo è il tipo più semplice di moto e si svolge lungo una retta sulla quale vengono arbitrariamente fissati un’origine e un verso. Il moto del punto può essere descritto con una sola coordinata che lega lo spazio percorso al tempo. Il ()diagramma orario si ottiene riportando sull’asse delle ascisse i valori del tempo e su quello delle ordinate i valori dello spazio.

Velocità nel moto rettilineo

La velocità media dà informazioni complessive sul moto ma non sulle sue caratteristiche ed è definita come lo spazio percorso in relazione al tempo impiegato per percorrerlo: ∆ − 2 1 = = ∆ − 2 1

La velocità istantanea rappresenta la rapidità con cui varia la posizione del punto nell’istante di tempo considerato e si definisce su un intervallo infinitesimo: ∆() () = lim =∆ ∆→0

La relazione tra velocità media e velocità istantanea è data da: ∆ () − 10 = = = ∫ () ∆ − − 0 0 0

Integrando la velocità ( si può risalire alla legge oraria valida per ogni = ()) moto rettilineo: ∆ = ∫ = ∫ () ⇒ () = + ∫ ()0 0 0 0

Moto rettilineo uniforme

Il moto rettilineo uniforme è un moto in cui la traiettoria è rettilinea e la velocità è costante; vengono percorsi spazi uguali in tempi uguali: () = + ∫ = + ( − )0 0 0 0

Accelerazione nel moto rettilineo

L’accelerazione indica la variazione della velocità in un intervallo di tempo. L’accelerazione media è definita come: ∆ − 2 1 = = ∆ − 2 1

L’accelerazione istantanea è la rapidità con cui la velocità varia nel tempo: 2 = =2 Se allora la velocità è costante e ci si trova in un moto rettilineo uniforme; se = 0 la velocità aumenta, altrimenti diminuisce. > 0

Integrando l’accelerazione ( si può risalire al moto vario: = ()) ∫ = ∫ () ⇒ () = + ∫ ()0 0 0 0

Relazione tra accelerazione e velocità

Se è nota la dipendenza dell’accelerazione dalla posizione: ()