Appunti riassuntivi e formulari di Statistica

POLITECNICO DI MILANO

Autore

Andrea Viale

Corso di Laurea: Ingegneria Meccanica

Anno Accademico: 2025/2026

Semestre: I Statistica

Insegnamento:

Codice Insegnamento: 086449

Numero di CFU: 5

Professore: Nicolussi Federica

Libro di testo (di riferimento): Statistica per ingegneria – Montgomery, Runger, Hubele

Descrizione:

Il seguente file è interamente basato sulle lezioni frontali del corso ed integrato tramite il libro di

testo di riferimento, indicato dal professore. Sono inoltre presenti alcuni approfondimenti

riguardanti gli argomenti più complessi e delicati, all’interno degli stessi paragrafi, oppure a parte.

Cosa include il seguente file:

10 riassunti appositi alla preparazione dell’esame, che coprono nello specifico la seconda parte del

corso, più difficile e complicata (test: ipotesi, adattamento, confronto, indipendenza, proporzione,

media, varianza; inferenza previsione; linee guida per l’esame, …)

Documento redatto a scopo di studio personale. È severamente vietata la riproduzione, la condivisione e la rivendita non

autorizzata a terzi. Questo materiale non sostituisce lo studio sui testi ufficiali o la frequenza alle lezioni.

Programma del corso:

Statistica Descrittiva. Distribuzione di frequenza, istogrammi, box-plot. Media, moda, mediana.

Indici di variabilità. La disuguaglianza di Chebychev. Percentili, IQR. Elementi di probabilità. V.A.

continue. Distribuzioni: uniforme, esponenziale, Normale. V.A. discrete. Distribuzioni: binomiale e

di Poisson. Indipendenza. Teorema Centrale del Limite. Teoria della stima e test. Stimatori non

distorti. Errore quadratico medio. Test. Errore di tipo I. Test z sulla media di una Normale. P-value.

Dimensione del campione ed errore di tipo II. IC per la media di una Normale: varianza nota. Test t

e IC per la media di una Normale: varianza ignota. Test chi-quadrato e IC per la varianza di una

Normale. Test e IC su due medie. Test t per dati accoppiati. Test chi-quadrato di buon adattamento.

Modelli lineari: Regressione lineare semplice e multipla. Stima ai minimi quadrati dei parametri del

modello. Test e IC per i parametri di un modello lineare. Previsione di una nuova osservazione.

Analisi e scelta del modello.

Versione del file: 1.2

In caso di eventuali modifiche (correzione di errori o altre) la versione del file cambia

Nota dell’autore:

“ Grazie per il tuo acquisto!

Grazie di cuore per l'acquisto e per la fiducia che mi hai dimostrato! Ho dedicato molto tempo e

cura alla stesura di questo documento; spero vivamente che queste dispense ti siano utili per

alleggerire lo studio, comprendere al meglio la materia e per superare l'esame con successo.

Se ti sei trovato bene e reputi questo materiale di qualità, ti chiedo un piccolo favore: parlane con i

tuoi amici qualora dovessero aver bisogno di appunti chiari e affidabili su cui prepararsi. Il

passaparola è il supporto più prezioso che tu possa darmi: il ricavato di queste vendite, infatti, è ciò

che mi permette di continuare questa attività, dedicando tempo e risorse alla stesura, alla

revisione e alla pubblicazione di nuove dispense per i prossimi corsi.

Un grande in bocca al lupo per il tuo esame e per il proseguimento dei tuoi studi! ”

Andrea

Altre mie pubblicazioni:

- Dispense di Costruzione di Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Fisica Tecnica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Principi di Ingegneria Elettrica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica Applicata alle Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica dei Fluidi (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Tecnologia Meccanica (lezioni, esercitazioni e mappe mentali)

Elenco aggiornato a Luglio 2026 "Se ho visto più lontano, è perché stavo sulle spalle di giganti."

— Sir Isaac Newton

Riassunti II parte

Statistica descrittiva

Frequenze assolute ( ): numero di volte in cui un determinato valore si

n

presenta in un insieme di dati = #

n x

i i

​ ​

Frequenze relative ( ): proporzione con cui un dato si presenta rispetto al

f r ​

totale frequenze assolute n i

frequenze relative = =

⇒ ​

f r

totale osservazioni i

​ ​ ​

n

​ TOT ​

Frequenze cumulate (relative): se specificato possono anche essere assolute

{ 1 se = 1

i

=

f cumulata + se = 1

i ​ ​

f f i 

​ cum rel

i−1 i

​ ​

​ ​

Tabella di frequenze

Dati grezzi Frequenze assolute Frequenze relative

x n f r ​

n 1

x n ​

1 1 n ​

​ ​ TOT ​

n 2

x n ​

2 2 n ​

​ ​ TOT ​

… … …

n n

x n ​

n n n ​

​ ​ TOT ​

Per i caratteri continui si effettua il raggruppamento in classi

Riassunti II parte 1

Indici di centralità

Sono indici che rappresentano l’intera distribuzione in quanto indicano il suo

valore centrale

indice che lascia inalterata la somma del totale ( )

Media: n =

∑ x X

n

i

i ​ ​

n

1 ∑

=

X x i

​ ​ ​

n = 1

i

Media ponderata k k

1 ∑ ∑

=

= ⋅ ⋅

X x n x f

i i i r i

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

n ​

= 1 = 1

i i

Tuttavia la media è influenzata dai valori anomali quindi si dice che non è un

indice robusto

Non è possibile calcolare la media sui dati qualitativi in quanto essi non sono

numeri

Su dati raggruppati in classi la media si calcola rispetto ai valori centrali di tutte

le classi: n ⋅

∑ f X

ass m

i i

​ ​ ​

​ ​

i=1

=

X classi ​ ​

N

−

con valore medio della classe

b a

= (a , )

X b

i i

​ ​

m i i

2

i ​ ​ ​ ​

​

Mediana (Me): è quel valore di tale che

X n n

# ( ≤ Me ) ≥ # ( ≥ Me ) ≥

∧

x x

i i

2 2

​ ​ ​ ​

Per dati discreti:

Riassunti II parte 2

se è dispari la mediana è il valore centrale ( in posizione )

n+1

n x 2 ​

Me = x ( )

n+1 ​

2 ​

se è pari la mediana è la media dei due valori centrali

n +

x x

( ) ( )

+1

n n

​ ​

2 2

Me = ​ ​

2 ​

La mediana non è influenzata dai valori anomali quindi si dice che è un indice

robusto

La mediana è il quantile di ordine 0.5

La mediana richiede un ordinamento dei valori, quindi non è possibile calcolare

la mediana sui dati qualitativi in quanto generalmente non è possibile ordinarli

Indici di posizione

Quantili di ordine ∈ [ 0, 1 ]

α

: # ( ≤ ) ≥ ⋅ ∧ # ( ≥ ) ≥ ( 1 − ) ⋅

q x q α n x q α n

α i α i α

​ ​ ​ ​ ​

Quartili: quantili che dividono la distribuzione in quattro parti uguali (ognuna

contenente il 25% della distribuzione)

= = Me = =

Q q Q q Q q

1 2 3

0.25 0.5 0.75

​ ​ ​ ​

Stima puntuale quartile:

Dato il quartile il punto del quartile appartiene alla

kN

∈ [a , ] (Q , )

Q b

k i i k 4

​ ​ ​ ​

retta che passa per e , quindi la sua stima si

(a , ) (b , )

f f

cum. ass. cum. ass.

i i

i−1 i

​ ​ ​

​ ​

trova con la seguente formula: −

kN f f

cum. ass. cum. ass.

− (Q −

= )

i i−1

​ ​

f a

​ ​

cum. ass. k i

4 −

i−1

​ ​ ​ ​ ​

b a

​ i i

​ ​

Riassunti II parte 3

Moda: è la modalità (se è qualitativo) oppure il valore (se è quantitativo) di più

x

frequente nella distribuzione

ci possono essere anche più mode all’interno di una distribuzione (se

presenta due picchi diversi)

Classe modale: classe con densità più alta

Indici di dispersione

Vengono associati agli indici di centralità per misurare come i valori di variano

x

rispetto ad una misura centrale

Varianza campionaria: rappresentano gli scostamenti quadratici di X rispetto

alla media n n

[ ]

1 1 n

∑ ∑

2 2

^ 2 2 2

= −

=

= −

(

S s x X) x X

i i

−1 −1 −1

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

n n n

= 1 = 1

i i

[ ]

k k

1 1 n

∑ ∑

2 2

2 2

⋅ − (?)

= − = ⋅

(

s x X) n x n X

i i i

i

−1 −1 −1

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

n n n

= 1 = 1

i i

Più è grande e maggiore è la dispersione della distribuzione

La varianza è molto influenzata dai valori anomali dunque non è un indice

robusto

Varianza: n 2

(x − ) ⋅

∑ X f ass

i − 1

i

​ ​ ​ N

​ ^

2 2

i=1

= =

S S

​ ​

N N

Deviazione standard (o scarto quadratico medio): è la media quadratica degli

scostamenti di dalla media

X i ​

Riassunti II parte 4

n

1 ∑ 2

= = −

(

s s x X)

i

−1

​ ​ ​ ​ ​

n = 1

i

Essendo la varianza non robusta anche la deviazione standard non è

robusta

Differenza interquantile: indica il campo di variazione del 50% centrale della

distribuzione IQR = −

Q Q

3 1

​ ​

Non è influenzato dai valori anomali dunque è un indice robusto

Range: differenza tra il valore massimo ed il valore minimo della distribuzione

Rappresentazioni grafiche

Carattere qualitativo:

Grafico a torta

Grafico a barre: linee con altezza pari alle frequenze assolute oppure

relative

Carattere quantitativo discreto (o una distribuzione di frequenze):

Grafico a barre: linee con altezza pari alle frequenze assolute oppure

relative

Carattere quantitativo continuo (o una distribuzione in classi):

Istogramma: presenta tanti intervalli quante sono le classi e usa dei

rettangoli con area pari alla frequenza assoluta o relativa (e non l’altezza)

Riassunti II parte 5

per la rappresentazione grafica (a differenza del grafico a barre dunque

considera anche l’ampiezza delle classi)

Ampiezza della classe: a i ​

Altezza del rettangolo: = densit aˋ di frequenza (assolute o relative)

d i ​ n f

i r

=

= i

​ ​

d ​

i ​ ​ ​

a a

i i

​ ​

Commento di un istogramma:

1. trend: es. cresce fino a toccare il picco nella classe x e poi decresce

2. in quale direzione si allunga (qual è la coda più lunga)

La direzione in cui si allunga mostra la simmetria / asimmetria della

distribuzione:

Distribuzione simmetrica ⇒ media ≈ mediana ≈ moda

Distribuzione asimmetrica positiva ⇒ media > mediana > moda

Distribuzione asimmetrica negativa ⇒ media < mediana

Box-Plot: descrive la distribuzione tramite indici di posizione e di dispersione

Vengono raffigurati:

Minimo della distribuzione: min = − 1.5 IQR

Q 1 ​

Massimo della distribuzione: max = + 1.5 IQR

Q 3 ​

Mediana Me

Un rettangolo che va da a , che rappresenta quindi la differenza

Q Q

1 3

​ ​

interquantile e che è centrato sulla mediana

IQR = − Me

Q Q

3 1

​ ​

Questo metodo è utile per confrontare distribuzione diverse della stesso

fenomeno tra loro, ed è un metodo robusto, infatti non considera gli outliers

Statistica descrittiva bivariata

Riassunti II parte 6

Statistica descrittiva che considera due fenomeni alla volta

(x , ), … , (x , )

y y

1 1 n n

​ ​ ​ ​

Dipendenza lineare

Tenta di rappresentare la distribuzione di punti tramite una retta, individuando

una relazione lineare tra le due variabili osservate

Covarianza: misura il numero di campioni concordanti, è un indice utile a

rappresentare il grado di dipendenza lineare

n

1 ∑

cov(x, = = ( − ( −

y) S x x) y y)

xy i i

−1

​ ​ ​ ​ ​ ​

n = 1

i

La covarianza di una stessa variabile rappresenta la sua varianza

2

cov ( ) = =

x, x S S

xx ​

relazione lineare positiva

> 0

S xy ​ relazione lineare negativa

< 0

S xy ​

Indice di correlazione: indica la forza e la direzione della relazione lineare tra

due variabili S xy

( ) = [ −1, 1 ]

∈

​

r x, y ​

S S

xx yy

​ ​ ​

indica una correlazione positiva perfetta

= + 1

r indica una correlazione negativa perfetta

= − 1

r indica un’assenza di correlazione lineare

= 0

r

Due variabili indipendenti sono anche indipendenti linearmente ed hanno una

correlazione uguale a zero (il contrario non è detto)

Indipendenza ⇒ Incorrelazione

Se un fenomeno è la causa di un altro allora i due fenomeni saranno fortemente