Appunti riassuntivi e Formulari di Meccanica dei fluidi

POLITECNICO DI MILANO

Autore

Andrea Viale

Corso di Laurea: Ingegneria Meccanica

Anno Accademico: 2025/2026

Semestre: II Meccanica dei Fluidi

Insegnamento:

Codice Insegnamento: 083503

Numero di CFU: 7

Professore: Berzi Diego

Libro di testo (di riferimento): Idraulica – D. Citrini, G. Noseda

Descrizione:

Il seguente file è interamente basato sulle lezioni frontali del corso ed integrato tramite il libro di

testo di riferimento, indicato dal professore. Sono inoltre presenti alcuni approfondimenti

riguardanti gli argomenti più complessi e delicati, all’interno degli stessi paragrafi, oppure a parte.

Cosa include il seguente file:

5 riassunti appositi alla preparazione dell’esame, che coprono ogni possibile argomento che potrebbe

capitare nella prova (fluidi: definizioni e reologie; statica dei fluidi, dinamica dei fluidi reali; linee guida

per esame, …)

Documento redatto a scopo di studio personale. È severamente vietata la riproduzione, la condivisione e la rivendita non

autorizzata a terzi. Questo materiale non sostituisce lo studio sui testi ufficiali o la frequenza alle lezioni.

Programma del corso:

Sistemi continui e proprietà fisiche dei fluidi: equazione di stato, idrocinematica, bilanci di massa e

di quantità di moto. Idrostatica: concetto di pressione, statica dei fluidi comprimibili e

incomprimibili, spinte idrostatiche. Modello di fluido ideale: equazione di Eulero, teorema di

Bernoulli e considerazioni meccaniche ed energetiche; processi di efflusso, misure di velocità e di

portata; effetti della comprimibilità. Teoremi meccanici globali: formulazione integrale

dell'equazione dell'equilibrio dinamico, spinte dinamiche e macchine idrauliche (pompe e turbine).

Meccanica dei fluidi reali in regime stazionario: modelli monodimensionali, flussi laminari e

turbolenti, profili di velocità nelle tubazioni; condotti lisci e scabri; calcolo di un impianto a fluido.

Meccanica delle correnti in regime non stazionario: condotte in regime non stazionario,

fenomenologia di colpo d'ariete. Modello di fluido Stokesiano: relazioni sforzi-deformazioni,

equazione di Navier-Stokes, considerazioni energetiche e soluzioni semplici (flusso laminare

stazionario tra lastre piane e parallele e in tubi cilindrici, lubrificazione idrodinamica). Similitudine,

analisi dimensionale e modelli: Teorema e gruppi adimensionali significativi nella meccanica dei

fluidi; modelli e similitudine. Flussi su corpi immersi ed interazioni fluido-struttura: concetti di lift e

drag, flussi attorno a corpi immersi. Strato limite: sviluppo dello strato limite su lastra piana,

transizione tra strato limite laminare e turbolento, strato limite turbolento, effetti del gradiente di

pressione e separazione.

Versione del file: 1.2

In caso di eventuali modifiche (correzione di errori o altre) la versione del file cambia

Nota dell’autore:

“ Grazie per il tuo acquisto!

Grazie di cuore per l'acquisto e per la fiducia che mi hai dimostrato! Ho dedicato molto tempo e

cura alla stesura di questo documento; spero vivamente che queste dispense ti siano utili per

alleggerire lo studio, comprendere al meglio la materia e per superare l'esame con successo.

Se ti sei trovato bene e reputi questo materiale di qualità, ti chiedo un piccolo favore: parlane con i

tuoi amici qualora dovessero aver bisogno di appunti chiari e affidabili su cui prepararsi. Il

passaparola è il supporto più prezioso che tu possa darmi: il ricavato di queste vendite, infatti, è ciò

che mi permette di continuare questa attività, dedicando tempo e risorse alla stesura, alla

revisione e alla pubblicazione di nuove dispense per i prossimi corsi.

Un grande in bocca al lupo per il tuo esame e per il proseguimento dei tuoi studi! ”

Andrea

Altre mie pubblicazioni:

- Dispense di Costruzione di Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Fisica Tecnica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Principi di Ingegneria Elettrica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Statistica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica Applicata alle Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Tecnologia Meccanica (lezioni, esercitazioni e mappe mentali)

Elenco aggiornato a Luglio 2026 "Non c’è vento favorevole per il marinaio che non sa dove andare."

— Lucio Anneo Seneca

Fluidi

Fluidi statici

Sono i fluidi che non presentano sforzi tangenziali = 0

τ

In statica il legame costitutivo è =

Φ p I

Fluidi ideali

Definizione

Sono fluidi inviscidi, hanno cioè viscosità nulla

Caratteristiche

Essendo inviscidi, anche se si muovono non presentano sforzi tangenziali =

τ

0 (come quella dei fluidi statici)

Reologia =

Φ p I

Cadente

La cadente è nulla e infatti l’energia meccanica per unità di peso (trinomio di

J

Bernoulli) si conserva durante il moto (fluido ideale, pesante, incomprimibile in

condizioni di moto permanente)

=0 ⇒ = const

J H

Fluidi reali

Definizione

Fluidi 1

Sono fluidi dotati di viscosità non nulla

Caratteristiche

Essendo viscosi durante il moto presentano sforzi tangenziali e, dato che in

questo caso l’energia meccanica non è conservata, si scaldano

Reologia [vedi dopo]

Reologia dei fluidi Stokesiani 2

2

= + 0 + 1 +

Φ ⋅ ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; )

p I f I1 I2 I3 I f I1 I2 I3 D f I1 I2 I3 D

[vedi dopo]

Reologia dei fluidi Newtoniani 2

= + 2μ

Φ ( ∇ ⋅ −

p I v) I D

μ

3 ​

Cadente

La cadente è non nulla e infatti l’energia meccanica per unità di peso

J

(trinomio di Bernoulli) non si conserva durante il moto (viene degradata in

calore) 2 ∂H

λ V =

>

= 0 ⇒ −

J J

2g ∂s

​ ​

D

Dove l’indice di resistenza per condotte circolari cilindriche

λ

Moto laminare Moto turbolento

64 1 2.51 1

( )

R

= = log +

− 2

λ 10

Re 3.71

​ Re

​ ​ ​ ​ ​

D

λ λ

​ ​

Fluidi Stokesiani

Sono i fluidi che rispettano le seguenti caratteristiche:

1. Sono compatibili con la statica, quindi quando sono fermi il legame

costitutivo è =

Φ p I

2. La funzione presente nel loro legame costitutivo deve essere isotropa (o

f

“oggettiva”) ovvero indipendente dal sistema di riferimento

Fluidi 2

3. La funzione presente nel loro legame costitutivo deve essere funzione

f

solo di una qualsiasi derivata nel tempo della deformazione (noi useremo la

velocità di deformazione)

I fluidi Newtoniani sono una sottocategoria dei fluidi Stokesiani (anche gli

Pseudoplastici e i Dilatanti)

Classificazione tempo-indipendente (statica)

Considera il rapporto tra sforzi tangenziali e velocità di deformazione in

condizioni statiche

Fluidi Newtoniani

La viscosità è costante e quando non sono sollecitati non presentano sforzi

tangenziali

Il legame tra sforzi tangenziali e velocità di deformazione è lineare e passa

per l’origine

Fluidi non Newtoniani

Sono tutti i fluidi che non sono newtoniani

Fluidi alla Bingham

La viscosità è costante e finché lo sforzo tangenziale applicato non supera

un valore critico il fluido si comporta come un solido indeformabile

Fluidi 3

Il legame tra sforzi tangenziali e velocità di deformazione è lineare ma non

passa per l’origine

Sono i fluidi che possiedono una forma propria e che presentano un valore

critico di sforzo tangenziale (”di soglia”) al di sotto del quale non si

deformano

Fluidi Pseudoplastici

La viscosità diminuisce all’aumentare della velocità di deformazione

Il legame tra sforzi tangenziali e velocità di deformazione è meno che

lineare

Fluidi Dilatanti

La viscosità aumenta all’aumentare della velocità di deformazione

Il legame tra sforzi tangenziali e velocità di deformazione è più che lineare

Classificazione tempo-dipendente

Considera anche come il rapporto tra sforzi tangenziali e velocità di

deformazione varia nel tempo

Non è da sapere

Fluidi Tissotropici

Il legame tra sforzi tangenziali e velocità di deformazione è monotono

decrescente nel tempo

Mantenendo una velocità di deformazione angolare costante la

microstruttura interna cede gradualmente e lo sforzo tangenziale

necessario per mantenerla in moto si abbassa nel tempo

Fluidi Reopettici

Il legame tra sforzi tangenziali e velocità di deformazione è monotono

crescente nel tempo

Fluidi 4

Mantenendo il fluido in movimento ad una velocità di deformazione

angolare costante la resistenza via via aumenta, e quindi aumenta anche la

viscosità apparente

Mappa

Fluidi 5

Statica dei fluidi - Esercizio 1

Diagramma delle pressioni

Legge di Stevino

p p p

~ ~ ~

A B

+ const ⇒ + + = +

= = ⇒

​ ​

z z z p p γ h

A B B A W AB

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

γ γ γ

W W

​ ​

Ipotesi

Fluido in quiete (se le differenze di altezza sono piccole

Fluido incomprimibile < 1000 m

vale anche per comprimibili)

Fluido pesante: l’unica forza di volume agente è la forza peso

Temperatura costante

Conseguenze

Tutte le superfici orizzontali sono isobare

Alla quota geodetica del piano dei carichi idrostatici corrisponde la

pressione nulla

Cose importanti

La pressione in un gas è costante

L’inclinazione della retta delle pressioni rispetto alla verticale corrisponde

all’arcotangente del peso specifico del fluido , e quindi maggiore

( arctan )

γ

è il peso specifico del fluido e maggiore sarà l’inclinazione della retta delle

pressioni rispetto alla verticale

Spinte

Statica dei fluidi - Esercizio 1 1

Note

Nel caso di esercizi in cui sono presenti solidi immersi attenzione che

bisogna considerare sia le spinte lungo le superfici piane che le spinte sulle

superfici curve!

Attenzione ai versi dei vettori ed ai loro segni

Superfici piane ^ ^

+

=

S S i S j

x y

​ ​ ​

Modulo =

S p A sup

G

​ ​ ​

Con pressione in corrispondenza del baricentro della superficie

p G ​

Direzione: normale alla superficie e passante per il centro di spinta CS

Metodo grafico CS: il centro di spinta coincide con il baricentro del solido

delle pressioni

Metodo analitico CS L

CS ( , ) ⇒ = + , = (nei nostri casi)

ξ η ξ ξ x η

G G 2

​ ​ ​

Con coordinata del baricentro della superficie e

x x

G ​ I G

= ​

ξ G ​ ​

x A sup

G ​ ​

Per questo il centro di spinta risulta sempre più lontano dalla retta di sponda

rispetto al baricentro

Verso: positivo se di compressione

Calcolo baricentri figure geometriche

Statica dei fluidi - Esercizio 1 2

Rettangolo Triangolo Trapezio

2 rispetto al

=

y h ( 2a + )

h G 3 h b

​ ​

= =

vertice

y y

G G

2 3 ( + )

​ ​ ​ ​

a b

rispetto alla

=

y h/3

G

con altezza ​ rispetto alla base

h base maggiore,

con altezza

h con base minore e

a b

base maggiore

In alternativa è possibile calcolare il baricentro del trapezio suddividendo la

forma in un rettangolo ed un triangolo e facendo la media pesata sulla

superficie dei due baricentri +

b A b A

T T R R

= ​ ​ ​ ​

G trapezio +

​ ​

A A

T R

​ ​

Con “braccio” (o distanza) rispetto ad una delle due basi del trapezio, oppure

b

in alternativa rispetto alla retta di sponda, misurata lungo il piano della

superficie piana (quindi quello verticale se lo è la superficie, oppure quello

inclinato se lo è anche la