Appunti Probabilità e statistica matematica

Introduzione

Esperimento casuale

Evento che non ha un esito certo

Evento

Un qualsiasi esito dell’esperimento casuale

Spazio campionario (Spazio degli eventi)

Insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento casuale

Operazioni tra eventi (Insiemi)

Ci sono diverse operazioni che possono essere effettuate tra eventi in probabilità, tra cui:

• Unione: rappresenta l'evento che almeno uno degli eventi originari si verifica. Si denota come A ∪ B.
• Intersezione: rappresenta l'evento che entrambi gli eventi originari si verificano. Si denota come A ∩ B.
• Complemento: rappresenta l'evento che l'evento originale non si verifica. Si denota come A' o Ā.
• Differenza: rappresenta l'evento che l'evento A si verifica ma B non si verifica. Si denota come A - B.
• Differenza simmetrica: di due eventi A e B è un insieme che rappresenta tutti gli elementi che appartengono a uno dei due eventi, ma non appartengono a entrambi. La differenza simmetrica è definita come (A - B) ∪ (B - A) e si denota come A Δ B. Questa operazione viene utilizzata per identificare gli elementi unici che appartengono a entrambi gli eventi, aiutando così a comprendere le relazioni tra gli eventi.

Queste operazioni sono utilizzate per definire e analizzare gli eventi in probabilità e per calcolare la probabilità di un evento composto.

Spazio di probabilità

Lo spazio di probabilità è descritto come una terna (Ω, F, P), dove:

• Omega (Ω): è l'insieme degli eventi, ovvero lo spazio degli esiti possibili di un esperimento casuale.
• F: è un insieme di sottoinsiemi di Ω, noto come l'algebra di probabilità, che rappresenta tutti gli eventi di interesse per l'analisi statistica.
• P: è una funzione di probabilità che assegna un valore di probabilità a ciascun evento in F. La funzione di probabilità soddisfa tre proprietà fondamentali: P(Ω) = 1, P(E) ≥ 0 per ogni evento E in F, e la legge di somma totale, che afferma che la somma delle probabilità degli eventi disgiunti è uguale a 1.

Questa terna fornisce una descrizione completa del comportamento casuale di un sistema, e viene utilizzata per analizzare e prevedere le probabilità degli eventi in un esperimento casuale.

Assiomi

Gli assiomi della probabilità sono le proprietà fondamentali che definiscono una funzione di probabilità. Essi includono:

• Positività: P(E) ≥ 0 per ogni evento E in F.
• Normalizzazione: P(Ω) = 1, dove Ω è l'evento composto dall'intero spazio degli eventi.
• Additività: Per gli eventi E1 e E2 che sono disgiunti (E1 ∩ E2 = ∅), la probabilità dell'evento composto E1 ∪ E2 è data dalla somma delle probabilità individuali di E1 e E2.

Questi assiomi forniscono una base per la costruzione e l'analisi di una funzione di probabilità, e sono importanti per la formulazione e la risoluzione dei problemi statistici.

Conseguenze degli assiomi

Le conseguenze degli assiomi della probabilità sono le proprietà derivate da questi assiomi che sono utili per la modellizzazione e l'analisi di problemi di probabilità. Alcune delle conseguenze più importanti sono:

• La probabilità dell'evento vuoto è 0, ovvero P(∅) = 0.
• La probabilità dell'universo è 1, ovvero P(Ω) = 1.
• La probabilità di un evento complementare è la differenza tra 1 e la probabilità dell'evento originale, ovvero P(E') = 1 - P(E).
• La probabilità dell'unione di due eventi è la somma delle probabilità individuali a meno delle probabilità comuni, ovvero P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2).

Leggi di De Morgan

Le leggi di De Morgan sono due regole che descrivono la relazione tra eventi in uno spazio di probabilità. Le due leggi di De Morgan sono:

• La prima legge di De Morgan afferma che la negazione dell'unione di due eventi è uguale all'intersezione della negazione di ciascun evento: (A ∪ B)' = A' ∩ B'.
• La seconda legge di De Morgan afferma che la negazione dell'intersezione di due eventi è uguale all'unione della negazione di ciascun evento: (A ∩ B)' = A' ∪ B'.

Eventi equiprobabili

Gli spazi di esiti equiprobabili sono spazi di probabilità in cui ogni evento ha la stessa probabilità di accadere. Ad esempio, se si lancia una moneta fair (equilibrata), ci sono due esiti possibili: testa o croce, e ognuno di questi eventi ha una probabilità di 0,5 di accadere. Questa situazione può essere modellizzata come uno spazio di esiti equiprobabili con due eventi: {testa, croce}.

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio

Il calcolo combinatorio è una branca della matematica che si concentra sulla conta e la classificazione di eventi discreti. Si occupa di rispondere a domande come: "Quanti modi diversi posso scegliere gli elementi da un insieme?" o "Qual è la probabilità che un evento specifico si verifichi in una determinata situazione?".

Raggruppamenti semplici o con ripetizione

I raggruppamenti semplici e con ripetizione sono due tipi diversi di raggruppamenti.

Nel caso dei raggruppamenti semplici, gli elementi di un insieme non possono essere ripetuti. Ad esempio, se si dispone di un insieme di tre elementi A, B e C, ci sono tre modi per combinarli: AB, AC e BC.

Nel caso dei raggruppamenti con ripetizione, gli elementi di un insieme possono essere ripetuti. Ad esempio, se si dispone di un insieme di tre elementi A, B e C, ci sono nove modi per combinarli con ripetizione: AA, AB, AC, BB, BA, BC, CC, CA, CB.

Disposizioni semplici

Le disposizioni semplici sono un tipo di raggruppamento che descrive l'ordine in cui gli elementi di un insieme vengono selezionati. Ad esempio, se si dispone di un insieme di tre elementi A, B e C, ci sono sei modi per ordinarli: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

Le disposizioni semplici si calcolano moltiplicando il numero di modi in cui è possibile selezionare un certo numero di elementi dall'insieme per il numero di modi in cui è possibile ordinarli. La formula per il numero di disposizioni semplici di k elementi selezionati da un insieme di n elementi è data da:

D(n, k) = n! / (n - k)!

dove k è il numero di elementi selezionati e n è la dimensione totale dell'insieme. La formula descrive quanti modi diversi ci sono per selezionare e ordinare k elementi da un insieme di n elementi.

Disposizioni con ripetizione

Le disposizioni con ripetizione si calcolano utilizzando una formula differente rispetto alle disposizioni semplici. In questo caso, gli elementi possono essere ripetuti e non c'è limitazione sulla quantità di volte che ogni elemento può essere selezionato. La formula per il numero di disposizioni con ripetizione di k elementi selezionati da un insieme di n elementi è data da:

D(n, k) = n^k

dove k è il numero di elementi selezionati e n è la dimensione totale dell'insieme. La formula descrive quanti modi diversi ci sono per selezionare k elementi da un insieme di n elementi, consentendo la ripetizione degli elementi.

Permutazioni semplici (di oggetti tutti distinti)

Le permutazioni semplici sono un tipo di permutazione che non consente la ripetizione degli elementi. Il numero di permutazioni semplici di un insieme di n elementi è dato dalla formula di fattoriale:

P(n) = n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1

dove n! è il simbolo di fattoriale che indica la moltiplicazione di tutti i numeri interi compresi tra 1 e n. Ad esempio, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Questa formula descrive quanti modi diversi ci sono per permutare un insieme di n elementi, dove gli elementi non possono essere ripetuti.

Permutazioni con ripetizione (di oggetti non tutti distinti)

Le permutazioni di oggetti non tutti distinti sono calcolate utilizzando il principio delle permutazioni con ripetizione, dove ogni oggetto può essere scelto più volte. Tuttavia, si deve tenere conto del fatto che gli oggetti possono essere distinti e quindi bisogna dividere il risultato finale per il fattoriale delle ripetizioni di ciascun oggetto.

P(n, h₁,…, h_n) = n! / (h₁!h₂!...h₃!)

dove n sono gli elementi totali e h₁,h₂,…,h_n sono le combinazioni degli elementi che si ripetono.

Combinazioni semplici

Le combinazioni semplici sono il numero di modi in cui un insieme di elementi può essere selezionato senza ripetizione e senza considerare l'ordine. La formula per calcolare le combinazioni semplici è:

C(n,k)=n!/(k!(n-k)!).

Dove n è il numero di elementi nell'insieme e k è il numero di elementi selezionati. Supponiamo di avere un insieme di 6 elementi (A, B, C, D, E, F) e vogliamo sapere quanti modi possiamo selezionare 3 elementi. La formula per le combinazioni semplici sarà C(6,3) = 6! / (3! (6-3)!) = 20. Ci sono 20 modi in cui 3 elementi possono essere selezionati da questo insieme senza considerare l'ordine.

Combinazione con ripetizione

Le combinazioni con ripetizione sono i modi in cui si possono selezionare "k" oggetti da un insieme di "n" oggetti permettendo la ripetizione di uno stesso elemento. La formula per calcolare il numero di combinazioni con ripetizione è: C(n+k-1, k).

Un esempio di combinazione con ripetizione potrebbe essere selezionare 3 lettere dall'alfabeto "ABCDEF". In questo caso, le combinazioni con ripetizione possibili sono AAA, AAB, AAC, ABA, ABB, ABC, etc. Il numero totale di combinazioni può essere calcolato utilizzando la formula (n+k-1)! / (k! (n-1)!). dove n=6 e k=3.

Applicazione del calcolo combinatorio

L'estrazione da un'urna è un processo casuale in cui si prelevano alcuni oggetti da un'urna contenente un certo numero di oggetti diversi. La quantità di oggetti prelevati e la disposizione di questi oggetti nell'urna possono essere considerati come variabili aleatorie, e possono essere analizzati utilizzando le tecniche di combinatoria e di probabilità. Le estrazioni da un'urna possono essere con reimmissione (quando gli oggetti possono essere riposti nell'urna dopo ogni estrazione) o senza reimmissione (quando gli oggetti non possono essere riposti nell'urna).

La formula per calcolare la probabilità di estrazione da un'urna con reimmissione di un certo numero di elementi di un tipo (ad esempio, palle bianche) è data da:

P(n)= (numero di elementi del tipo scelto / numero totale di elementi nell'urna)ⁿ, dove n è il numero di estrazioni. Questa formula si basa sul principio di indipendenza tra le estrazioni, che significa che la probabilità di estrarre un elemento del tipo scelto non dipende da ciò che è stato estratto in precedenza.

La formula per calcolare la probabilità di estrazione di k elementi distinti da un'urna con n elementi senza reimmissione è:

P(k elementi distinti) = C(n, k) * (n - k)! / n!

dove C(n, k) è il coefficiente binomiale, che rappresenta il numero di combinazioni semplici di n elementi presi k per volta.

Per esempio, la probabilità di estrarre 2 palline rosse da un'urna che contiene k palline rosse e n-k palline di altri colori senza reimmissione è data da:

P(2 rosse) = C(k, 2) / C(n, 2), dove C(n, k) è la combinazione di n elementi presi k a k.

Probabilità condizionata

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata è la probabilità di un evento A dato che si è verificato un altro evento B. Si può esprimere come P(A|B) = P(A e B) / P(B). Il condizionamento restringe il campo degli esiti.

Esempio: Supponiamo di avere una urna con 6 palle bianche e 4 palle rosse. La probabilità di estrarre una palla rossa è 4/10. Se sappiamo che la prima estrazione è una palla rossa, la probabilità condizionata di estrarne un'altra rossa è 3/9, in quanto ci sono 3 palle rosse rimaste su 9 palle in totale.

Partizione

Una partizione di un insieme è una suddivisione di quell'insieme in sottoinsiemi disgiunti e non vuoti che coprono l'insieme originario.

Teorema delle probabilità totali

Il Teorema delle Probabilità Totali afferma che la probabilità di un evento E rispetto allo spazio degli eventi S è pari alla somma delle probabilità degli eventi E condizionati rispetto a una partizione di S. Questo significa che se dividiamo lo spazio degli eventi S in sottospazi, allora la probabilità di un evento E può essere calcolata come la somma delle probabilità di E in ogni sottospazio. In parole più semplici, questo teorema ci dice che la probabilità totale di un evento può essere ottenuta sommando le probabilità dei suoi sottoeventi.

La dimostrazione del Teorema delle Probabilità Totali può essere effettuata considerando la seguente relazione tra le probabilità degli eventi e le probabilità condizionate degli stessi eventi:

P(A) = Σ P(A | B_i) * P(B_i)

dove B_i sono gli elementi di una partizione di eventi mutuamente esclusivi e congiunti che coprono lo spazio di esiti. P(B_i) è la probabilità dell'evento B_i e P(A | B_i) è la probabilità condizionata dell'evento A dato che l'evento B_i si è verificato. Questa relazione afferma che la probabilità di A è uguale alla somma delle probabilità condizionate di A dato che ogni evento B_i si è verificato, moltiplicate per la probabilità dell'evento B_i. Questo teorema è molto utile per calcolare la probabilità di eventi complessi utilizzando le probabilità di eventi più semplici.

"Mutuamente esclusivi" significa che due eventi non possono accadere contemporaneamente, ovvero se uno di essi accade l'altro non può accadere. In termini di probabilità, se gli eventi sono mutuamente esclusivi, la loro somma delle probabilità è inferiore a 1.

Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes può essere dimostrato utilizzando l'algebra e la probabilità condizionata. La formula del teorema di Bayes afferma che la probabilità condizionata di un evento A data la verificazione di un altro evento B è data dalla probabilità di verificare l'evento B data la verificazione dell'evento A moltiplicata per la probabilità a priori dell'evento A, divisa per la probabilità a priori dell'evento B. Questa formula può essere utilizzata per calcolare la probabilità di un evento in base a informazioni relative ad altri eventi.

La formula del teorema di Bayes è:

P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

• P(A | B) è la probabilità condizionata di A dato B, ovvero la probabilità che A accada se B è vero.
• P(B | A) è la probabilità condizionata di B dato A, ovvero la probabilità che B accada se A è vero.
• P(A) è la probabilità a priori di A, ovvero la probabilità che A accada prima di considerare B.
• P(B) è la probabilità a priori di B, ovvero la probabilità che B accada prima di considerare A.

Questo teorema è particolarmente utile quando si hanno informazioni incomplete o incerte su un evento, ma si conosce la probabilità di alcuni eventi condizionati. Questo teorema viene spesso utilizzato in ambiti come l'analisi dei dati, la medicina, la finanza e l'intelligenza artificiale.

Differenza tra teorema di Bayes e teorema delle probabilità totali

Il Teorema di Bayes descrive la relazione tra la probabilità di un evento A (che si verifica) e la probabilità di un altro evento B (che è già noto) alla luce di nuove informazioni. La formula del teorema di Bayes specifica come calcolare la probabilità condizionata di un evento A, ovvero la probabilità che si verifichi l'evento A alla luce del fatto che si è verificato l'evento B.

Il Teorema delle Probabilità Totali, invece, descrive la relazione tra la probabilità totale di un insieme di eventi e la probabilità di ciascun evento singolo all'interno di quell'insieme. La formula del Teorema delle Probabilità Totali specifica come calcolare la probabilità totale di un insieme di eventi come somma delle probabilità di ciascun evento singolo all'interno di quell'insieme.

Indipendenze tra eventi

L'indipendenza tra eventi significa che la probabilità di un evento non è influenzata dall'occorrenza o meno di un altro evento. In altre parole, se gli eventi A e B sono indipendenti, allora la probabilità di A che accade non cambia se B accade o meno, e viceversa. Matematicamente, questo significa che P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B).

Mentre: la probabilità condizionata viene utilizzata per calcolare la probabilità di un evento, tenendo in considerazione l'informazione che un altro evento si è verificato. Gli eventi che dipendono tra loro vengono modellati come eventi condizionati. Ad esempio il teorema di Bayes viene utilizzato per calcolare la probabilità condizionata di un evento che dipende da altri eventi.

Teorema dell’indipendenza

Il teorema dell'indipendenza afferma che due eventi sono indipendenti se la probabilità di un evento non dipende dall'altro evento. In altre parole, la probabilità che si verifichi un evento non cambia se si conosce che si è verificato un altro evento. Matematicamente, questo può essere espresso come: P(A|B) = P(A) dove A e B sono eventi indipendenti.

La dimostrazione del teorema dell'indipendenza si basa sulla definizione di indipendenza tra eventi.