Appunti prima esercitazione di Analisi matematica

Esercitazione

Insieme di arrivo

y=f(x)

x

y

Condizioni per il dominio

Funzione

Algebrica

Trascendente

Razionale

Intera (-oo,+oo)

Fratta denomin 10

Irrazionale

Pari radicando >0

Dispari (-oo,+oo)

Esponenziale base > 0

Logaritmica base > 0

Goniometriche

sen(x), cos(x) (-oo,+oo)

tan(x)=sen(x)/cos(x) x != pi/2 + kpi

cotan(x)=cos(x)/sen(x) x != kpi

Dato f(x) trovare il suo D:

1) f(x)=2ln(|x-3|)

D: |x-3|>0

x-3 != 0

Vx in R - {3}

x != 3

(-oo,3)U(3,+oo)

2) f(x)=sqrt(e^x-1) + sqrt(1-x²)

e^x-1 >= 0

e^x >= e⁰

x >= 0

(1-x²)>0

-x²>-1

x²<1

x>0

-1<x>1

D: 0 ≤ x ≤ 1

[0,1]

DISEQUAZIONI EXP

1) e^x-2>0

e^x>2

ln(e^x) ≥ ln(2)

x ≥ ln(2)

2) e^x>0 se base >0 allora e sempre >0

3) e^x>-2

4) f(x)= ln(sqrt(x-2)-3) + sqrt(ln(x))

I   sqrt(x-2)-3>0

II   x-2≥0

III   ln(x)>0

IV   x>0

    (sqrt(x-2))²>(3)²

    x-2>9

    x>11

    ln(x)≥0

    ln(x)≥ln(1)

    x>1

x>11

x≥2

x≥1

x>0

Dis. logpuo essere 70 e co

x > 11

D = (1,+∞)

log(x) > 0    log(1) -> x > 1

ln(x-1) > 2

e^ln(x-1) > e²

x - 1 > e²

x > e² + 1

esercizi sul dominio da prova di esame

1) f(x) = √ln(x-3) - (x/(x-2))^8x

I   ln(x-3) ≥ 0 -> ln(x-3) ≥ ln(1)x-3 > 1 → x ≥ 4

II   x-3 > 0 → x > 3

III   x-2 ≠ 0 → x ≠ 2

IV   x/(x-2) > 0

N   x > 0

D   x-2 > 0 → x > 2

x < 0 v x > 2

x ≥ 4

D = [4,+∞)

1) f(x) = ln(2x)/x³

{ 2x > 0    x > 0x³ ≠ 0    x ≠ 0 }

D = (0,+∞)

(2,0)

INTERSEZIONI ASSI CARTESIANI

Asse x => y = 0

f(x) = 0

ln(2x) = 0

ln(2x) = ln(1)

x = 1/2

A(1/2,0)

asse y => x = 0 non appartiene al dominio

f(x) non interseca asse y

SIMMETRIE

SIMMETRIA rispetto all'asse x

f(x) e pari se f(x) = f(-x)

f(x) e dispari se f(-x) = -f(x)

f(x) ne pari, ne dispari;

f(x) = ln(2x) / x³

f(x) e pari se f(x) = f(-x)

Dato che f(x) != f(-x) f(x) non e pari

f(x) e dispari se f(-x) = -f(x)

ln(-2x)/-x³ = - ln(2x)/x³

f(x) non e dispari

x CASA dal dominio fino alle simmetrie

1. f(x) = e^5x2-1 : (x-x²) Tutto
2. f(x) = 5^x + 5^-x simmetrie
3. f(x) = |x| + 3x simmetrie

f(x) = e^5x2-1 - (x - x²)

forallx in R

ASSI CARTESIANI

asse y (x = 0)

e^02-1 - (0 - 0) = y

e^0-1

e^-1 = y

y = 1/e

asse x (y=0)

e^5x2-1 . (x - x²) = 0

e^5x2-1 (x - x²) = 0

e^{x 5x2-1} - e^2(5x2-1) = 0

e x^5x2-1 = e x^2.5x2-2

1 = 2 NO INTERSEZION

SIMMETRIA

e^5x2-1 . (x - x²)

e^5(-x)2-1 (-x - (-x)²)

e^5x2-1 (-x + x²) != e^5x2-1 . (x - x²)

e^5x2-1 (-x + x²) != -e^5x2-1 . (x - x²)

NE PARI NE DISPARI

f(x) = 5^x + 5^-x

D = forall x in R

f(x) = f(-x)

s^-x + s^x = s^x + s^-x

e' pari

f(x) = |x| + 3x

D: x x in R

f(x) = f(-x)

|x| + 3x = |-x| + 3(-x)

|x| + 3x = x - 3x

x - 3x = -x + 3x

NE PARI NE DISPARI