Appunti Meccanica dei mezzi porosi

Appunti di meccanica dei mezzi porosi

Introduzione

Professor Alfio Grillo
Ludovica D’Incà
Marzo 2023

Un ringraziamento speciale va alle studentesse De Ridolfi Marta e Marino Francesca che hanno letto, corretto e migliorato questi appunti. A loro va, inoltre, un grande grazie per i contributi grafici che troverete all'interno di queste pagine. Vi voglio bene fiorellini.

Lezione 1 - 07/03/2023

NOTA BENE: questi appunti sono COMPLEMENTARI alle dispense caricate sul portale. Necessitano infatti di un continuo confronto con le notazioni/calcoli fatti sulle dispense.

Densità di massa intrinseca e apparente

Supponiamo di avere un mezzo multifasico che significa che il materiale è costituito da N materiali distinti. Ad esempio, se considero un laminato (= un materiale composito costituito da più lamine disposte una accanto all'altra in modo tale da riuscire a distinguere una lamina dall'altra), non è un materiale multifasico, ma è composito perché costituita da più materiale (ogni lamina magari è costituita da un materiale con le proprie proprietà).

Ciò che rende il materiale multifasico è la coesistenza, cioè il fatto che le N fasi coesistono in ciascun punto x ∈ B dove B è la regione di spazio S occupata dal materiale al tempo t (con linea del tempo/timeline). Allora io ho una fotografia al tempo t del mio materiale e ad ogni punto ho la coesistenza di tutte N le fasi.

Allora questo tipo di modello è un modello macroscopico, ovvero questo modo di descrivere va bene solo se mi metto a guardare il materiale da una distanza sufficientemente elevata, affinché io non abbia modo di distinguere un materiale rispetto all'altro.

Frazione di volume

Come faccio a valutare quanta più fase di un materiale c'è rispetto ad un'altra? Questo viene fatto tramite una misura chiamata frazione di volume, cioè il punto x in realtà è il centro di massa del REV; quindi relativamente al punto x io andrò a valutare la frazione di volume della fase α-esima al tempo t e nel punto x come un rapporto di volumi, cioè questo oggetto sarà la misura (nel senso proprio della teoria della misura) del volume Ω(x, t)_α occupato dalla α-esima fase al tempo t diviso il volume del REV centrato in x:

|Ω(x, t)|_α
φ(x, t)_α := |Ω(x)|

Questa è la definizione di frazione di volume ed è ovvio che (banalmente) la frazione di volume soddisfa:

Σ_α=1^Nφ(x, t)_α = 1

Mezzi porosi saturi e insaturi

Nota: Se prendiamo il REV e lo intendiamo come un volume di campionamento che sta muovendosi virtualmente all'interno del suo mezzo, allora siccome abbiamo N fasi con densità diverse, noi identifichiamo x con il suo centro di massa e supponiamo che il REV sia del tipo in figura 1 allora succede che posso pensare al REV come:

Σ_α=1^NΩ(x) = Ω(x, t)_α

Questo dimostra il fatto che è scelto in maniera tale che anche se ciascun dominio dipende dal tempo, la loro unione non dipende dal tempo. Allora perché il singolo Ω potrebbe variare nel tempo? Perché potrebbe avvenire una transizione di fase o potrebbe avvenire una semplice deformazione meccanica. Allora la somma delle frazioni di volume (per costruzione) deve fare sempre 1. Però noi riusciamo immediatamente a fare una distinzione forte tra:

• Mezzi porosi saturi: mezzi porosi costituiti essenzialmente da una o più fasi solide e una fase liquida che occupa tutto lo spazio dei pori;
• Mezzi porosi insaturi (o non saturi): mezzi porosi in cui i pori sono parzialmente riempiti da liquido e parzialmente riempiti da un fluido aeriforme;

Nota 1: I pori sono qualcosa di più dei vuoti perché io posso avere un mezzo con dei vuoti, ma non è definibile come mezzo poroso; affinché un mezzo con dei vuoti sia definibile come poroso, lo spazio dei vuoti deve essere connesso (io devo potermi muovere all'interno dello spazio dei vuoti). Esempi classici di ingegneria del sottosuolo sono i terreni dove si va ad effettuare una trivellazione per l'estrazione del petrolio, dove c'è acqua (fluido bagnante), petrolio (olio, fluido non bagnante) e aria (fluido non bagnante). Nel corso si tratteranno solamente mezzi porosi saturi. Esempi classici di mezzi porosi saturi sono i materiali biologici, in particolare:

• Cartilagine: Spugna fatta da macromolecole biologiche chiamate protoglicani cariche negativamente (immaginiamo le spazzole per le bottiglie), alle cui estremità dei filamenti si trovano dei gruppi carichi negativamente che sono immersi in un fluido (praticamente acqua) ricco di ioni positivi; questo è molto importante per le proprietà meccaniche. La cartilagine è globalmente neutra però quando la schiaccio, ad ogni impatto questi gruppi si ripiegano su se stessi, l'acqua va via perché viene assorbita dalle trabecole dell'osso, la cartilagine perde volume e ad un certo punto i gruppi non hanno ioni negativi sopra e sotto, quindi si generano delle forze elettrostatiche positive che garantiscono alla cartilagine di non collassare; quindi gli ioni hanno un'importanza meccanica importantissima;
• Cervello: Mezzo poroso perché è costituito da materiale cerebrale iperelastico, molto soffice, isotropo ed è ripiegato con le pieghe cerebrali ed è immerso in un fluido ricco di sostanze che nutrono le cellule;
• Pelle
• Occhio

Abbiamo quindi dato una definizione di frazione di volume, quindi abbiamo un descrittore della composizione del mezzo multifasico e soprattutto mi dà la possibilità di definire la densità intrinseca, o 'vera', e la densità apparente.

Densità intrinseca e apparente

Ora, per ogni α = 1, ..., N definiamo ρ⁽ⁱ⁾_α la densità di massa intrinseca, o vera, cioè quella che avrebbe il singolo α-esimo costituente se fosse "da solo", cioè è la densità di massa che l’α-esimo costituente se non avesse vicini che coesistono con lui nel punto. Allora ρ⁽ⁱ⁾_α si può pensare come massa del costituente α-esimo

ρ⁽ⁱ⁾_α = |Ω(x, t)|_α

Questa densità è molto importante da introdurre perché nella quasi totalità degli esempi che faremo è caratterizzante del nostro materiale. Per esempio, se ho un mezzo multifasico che è costituito da un solido (un polimero) ed un fluido (acqua) in condizioni di temperatura e pressione ambiente, posso ritenere l’acqua come un materiale incomprimibile e quindi la densità intrinseca è costante. Quindi ho bisogno di conoscere questo oggetto perché conoscendo questo oggetto inizio a conoscere il mio materiale, inizio a conoscere la risposta costitutiva del materiale: la conoscerò parzialmente, ma comincerò a raccogliere informazioni. Dirò ad esempio che quel materiale/quel fluido, è incomprimibile che implica che la sua densità di massa è costante in un certo intervallo (o pluri intervallo) dello spazio degli stati.

Per esempio, considerando l’equazione di stato dei gas perfetti

p = nRT

ρ ora questo oggetto può essere riscritto (in modo più suggestivo) come

p = nρRT

La pressione è uno sforzo, allora quella che è stata appena scritta è un’equazione costitutiva e ρ è una densità vicina alle deformazioni volumetriche; allora questa scrittura è una scrittura molto comoda se voglio dare un legame costitutivo al gas. Posso anche scrivere

p

ρ = nRT

Ho semplicemente invertito i termini, ma dal punto di vista fisico ho trattato un materiale in cui sono in grado di dare un legame costitutivo sulla densità, una legge di stato. Questo è importante perché se il mio materiale è incomprimibile, allora ρ è costante; significa che le equazioni costitutive non sono più invertibili: perdo l’invertibilità, ovvero lo Jacobiano diventa nullo (lo Jacobiano di ρ è nRT) e la legge costitutiva non va più bene, è cambiata la fisica.

Per un fluido come l’acqua le cose sono più complicate; posso avere una dipendenza della densità dalla temperatura o avere una dipendenza dalla composizione di una miscela, ma ancora non dipende dalla pressione quindi sto dando un legame costitutivo sulla densità. Conoscere allora la densità intrinseca è importante perché mi dà una prima informazione costitutiva sul materiale.

Densità apparente

Definiamo densità apparente della fase α-esima la quantità

ρ⁽ⁱ⁾_α := φ_α ρ⁽ⁱ⁾_α

con ρ⁽ⁱ⁾_α ≤ ρ⁽ⁱ⁾_α. Allora se io ho un mezzo poroso saturo e lo asciugo, non 'ammazzo' la densità intrinseca dell’acqua che è data, ma elimino la frazione di volume dell’acqua. Quindi questa scrittura è fondamentale perché quella che noi andiamo a misurare veramente non è ρ⁽ⁱ⁾_α: noi vediamo ρ⁽ⁱ⁾_α. Allora se riesco a trovare un modo per descrivere φ e mi assegno ρ⁽ⁱ⁾_α in qualche modo costitutivamente, io riesco a descrivere come evolve la densità della α-esima fase del mio materiale.

Cos’è φ? Dalla definizione di densità apparente segue che

φ(x, t)_α ∈ [0, 1]

Se dovessimo però catalogare φ è una funzione a valori reali positivi adimensionale, ma siccome è un rapporto di volume posso dire che è:

|Ω(x, t)|_α |Ω(x)| = (x, t)|_α

allora posso dire che φ è una densità di volume, che significa che sto cambiando misura cioè sto passando da una misura di volume di campionamento ad una misura di volume con label α, quindi φ è una derivata di Radon-Nikodym. Questo è importante perché se io prendo la funzione unitaria e poi voglio quantificare la fase in una pozione di mezzo multifasico, utilizzerò φ_α.

Allora φ(x, t)_α è una densità di volume, ma è anche un cambio di misura (di volume). Quindi se io adesso voglio studiare il volume occupato dalla fase α-esima al tempo t, questo sarà

∫_B^tφ(x, t)_αdv(x)^(t)

dove dv(x) è la misura di Lebesgue su B e attraverso la derivata di Radon-Nikodim passo a quella che potrei chiamare dv_α(x, t) = φ(x, t)_αdv(x), allora io adesso a φ posso dare il significato matematico che voglio.

Che cos’è φ da un punto di vista geometrico? φ non è uno scalare vero e proprio perché se io gli applico un cambio di volume, lui si prende lo Jacobiano della trasformazione, allora φ è uno pseudoscalare. Io posso cominciare a 'produrre struttura' trattando un campo pseudoscalare come cinematico purché riesca a definirne bene gli enti duali.

Σ_α=1^N φ(x, t)_α = 1 è un vincolo, quindi le frazioni di volume nascono come campi vincolati e quindi è uno pseudoscalare vincolato.

Meccanica dei mezzi porosi

A questo punto la meccanica dei mezzi porosi subisce (a seconda degli autori che se ne sono occupati) una distinzione di come viene formulata la teoria:

• Equazioni di bilancio: in questo caso la frazione di volume è trattato come un oggetto da 'togliersi dai piedi' il prima possibile attraverso una serie d’ipotesi e attraverso manipolazioni. Questa questione ha anche dei risvolti economici perché la maggior parte dei software commerciali sono basati su questo (Comsole, Abacus), ovvero fanno l’ipotesi di materiale incomprimibile per chiudere il modello. D: Cos’è φ? R: Boh, qualcosa da eliminare;
• D: Cos’è φ? R: Qualcosa da determinare costitutivamente;
• Cinematisti: per loro alla D: Cos’è φ? R: Ente cinematico di cui determinare la dinamica cercando il duale e facendone il bilancio oppure facendo la lagrangiana;

In questo corso si formulerà la teoria secondo il primo punto della lista. Parlando di legge evolutiva si pensa sin da subito alle equazioni differenziali, allora per l’approccio del primo punto si hanno solo equazioni del primo ordine, non posso avere equazioni di ordine diverso; nel secondo approccio posso avere equazioni di ordine superiore al primo, ma giustificarle non è sempre facile; nel terzo approccio posso arrivare ad equazioni del secondo ordine (equazioni della dinamica).

Posso ora definire la densità del mezzo multifasico, se vi è coesistenza tra le fasi, il mezzo multifasico prenderà il nome di miscela (= implica la coesistenza delle fasi perché implica che il materiale risultante sia il frutto dell’aver miscelato le varie fasi). Quando si parla di miscela succede che il volume della miscela è diverso dal volume che ottengo semplicemente unendo i sottovolumi perché questi per organizzarsi tra di loro occuperanno una porzione di spazio più ampia; ora noi questa variazione di volume totale dovuta al fatto che i materiali per poter formare una miscela devono essere miscibili, ma comunque hanno sempre un po’ di immiscibilità, noi trascuriamo questa variazione di volume. (Ex. acqua-petrolio-aria dove posso pensare due fluidi come miscela, ma non posso mescolare acqua-petrolio o aria-acqua: essi sono imiscibili. Allora una cosa è la coesistenza delle fasi e una cosa è la miscela, cioè io in un punto non ho più la concezione di interfaccia tra le fasi, ma vedo come descrittore della composizione solo le frazioni di volume) (Ex. sale disciolto in acqua come parametro descrittivo ho molarità, molalità, frazione di massa, concentrazione, ma non andiamo poi (nella nostra approssimazione) a distinguere l’interfaccia tra lo ione di sale e l’acqua circostante).

Nota 2: Mezzo multifasico = miscela

Densità di miscela

DEF 1 (Densità di miscela):

Σ_α=1^N ρ(x, t) := φ(x, t)_α ρ⁽ⁱ⁾_α

quindi la densità di miscela è qualcosa che io sto definendo come additivo (il che in generale non è vero). Guardando alle miscele di gas, richiamando la legge di Amagat con l’ipotesi di additività dei volumi; per le transizioni di fase liquido-vapore guardando la campana di Andrews si ha che spostandosi lungo a iso-termo-barica variando il titolo; se invece ci si sposta lungo le curve iso-titolo si ha che invece varieranno le variabili termodinamiche e manterranno costante la concentrazione. Allora la densità di miscela si sta facendo riferimento alla legge di Amagat.

Impulso della fase α-esima

DEF 2 (Impulso della fase α-esima):

p̅(x, t)_α = ρ(x, t)_αv̅(x, t)_α

Velocità di miscela

DEF 3 (Velocità di miscela):

Σ_α=1^N ρ(x, t)_αv̅(x, t)_α = ρ(x, t) impulso totale e questo ci deve dare

Nota 3: La velocità di miscela NON è una derivata, ma è densità di miscela subito dare un campanello d’allarme perché gli impulsi che sono delle quantità dinamiche sono additive, mentre le velocità che sono grandezze cinematiche non le sommo, ma ci faccio medie pesate (tramite la densità).

Lezione 2 - 08/03/2023

NOTA BENE: questi appunti sono COMPLEMENTARI alle dispense caricate sul portale. Necessitano infatti di un continuo confronto con le notazioni/calcoli fatti sulle dispense.

Meccanica dei mezzi porosi classica

Osservazione 1: Prima di iniziare la seguente trattazione specifichiamo che noi tratteremo una meccanica dei mezzi porosi classica (esiste ad esempio una meccanica dei mezzi porosi relativistica che serve a studiare, per esempio i fenomeni che avvengono nelle stelle). Questo è importante poiché non varrebbe in generale la legge di composizione di velocità di Galileo (che stanno tornando di moda in questi giorni), cioè le velocità possono essere composte galileanamente (sommate e sottratte) a seconda del problema.

Derivata sostanziale di fase

Definizione che generalizza un concetto visto a meccanica dei continui e dei fluidi ed è la definizione di:

DEF 4 (Derivata sostanziale di fase): Supponiamo di avere una funzione (ad esempio scalare) h definita in B × T e chiamo derivata sostanziale di fase α-esima di h:

D_αh = ∂_th + (grad h)v̅_α

in realtà il fatto che α sia l’indice di specifica h, questo non impone che α debba essere l’indice di specifica dell’operatore D, ovvero data la coesistenza delle N fasi della miscela in ciascun punto x ∈ B, t ∈ T, è anche possibile definire la derivata sostanziale di fase β-esima di h; cioè questo oggetto si differenzia dal precedente come

D_βh = ∂_th + (grad h)v̅_β

Si osserva che esiste la seguente relazione tra, ad esempio, D_α e D_β:

D_αh = ∂_th + (grad h)v̅_α = D_βh + (grad h)v̅_β - ∂_th + (grad h)(v̅_β - v̅_α)

Dove v̅_β = v̅_β - v̅_α.

Ora questa cosa che è del tutto generale perché β e α sono due indici generali che vanno da 1 a N, questo diventa molto importante quando si hanno miscele solido-fluido perché ha senso supporre che il solido sia il costituente (la fase) rispetto alla quale studio il moto della fase fluida.

Quindi se v̅_s = v̅_s, dove con v̅_s si indica la velocità del solido e se v̅_f = v̅_f, dove con v̅_f si indica la velocità della fase fluida, allora si avrà che la velocità relativa v̅_f è la velocità di filtrazione cioè descrive il moto relativo di una fase fluida rispetto alla fase solida e questo fenomeno di moto relativo di fluido rispetto al solido prende il nome di filtrazione.

Nota 4: Esiste un’altra definizione di velocità di filtrazione (che vedremo più avanti):

q̅ = φ_fv̅_fs

dove φ_f è la frazione di volume del fluido; allora in questo modo siccome sto moltiplicando una velocità per una densità di volume (che è uno pseudoscalare) allora quell’