1° Gr insiemi
Def intuitiva: collezione di oggetti detti elementi, appartenenza accettazione.
P = “proprietà” di un insieme.
def A = { x : x ha P }
Significa che A e ogni insieme che ha una proprietà P.
A ⊆ B = “A sottoinsieme di B” => ogni elemento di A è anche elemento dell'insieme B.
A ⊆ B def quando A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
A ∪ B def { x : x ∈ A ∨ x ∈ B }
A ∩ B def { x ∈ A : x ∈ B }
Proprietà
Distributiva
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Associativa
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
1° Crr - insiemi
Def intuitiva: collezione di oggetti detti elementi, appartenenza accettazione.
P = "proprietà" di un insieme.
def A = { x : x ha P }
Significa che A e l'insieme che hanno la proprietà P.
A ⊆ B = "A sottoinsieme di B” => ogni elemento di A è dell’insieme B.
A ⊈ B -> A è sottoinsieme di B ma degli elementi di A appartengono all’insieme B.
A = B quando A ⊆ B e B ⊆ A.
def A ∪ B = { x : x ∈ A o x ∈ B }
def A ∩ B = { x ∈ A : x ∈ B }
Proprietà
Distributiva.
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Associativa.
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Insieme universo e complementare
P0def = { A : A ∉ A }
Questo: R ∈ R.
Se R ∈ R ⇒ R ∉ R assurdo.
Se R ∉ R ⇒ R ∈ R assurdo.
U = insieme universo. Tutti gli insiemi sono sottoinsiemi.
A'def = { x ∈ U : x ∉ A } insieme complementare di A.
Leggi di De Morgan
(A ∪ B)' = (A') ∩ (B')
(A ∩ B)' = (A') ∪ (B')
A \ B def = { x ∈ A : x ∉ B } differenza di A e B.
A Δ B defsymm = (A \ B) ∪ (B \ A) Diff. Simmetrica.
Prodotto cartesiano
Prodotto cartesiano.
A x B def = { (a, b) : a ∈ A, b ∈ B } coppie ordinate.
Esempio [2] x [3] = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3) }
A2 = A x A
A3 = A x A x A
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
Proprietà.
Insieme delle parti di A
Insieme delle parti di A.
(A) def = {B: B ⊆ A}
Insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A.
Esempio ({1,2,3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
Funzioni
Def: una funzione f: A → B è un sottoinsieme f ⊆ A × B tale che ∀a ∈ A ⇒ ∃! b ∈ B : (a,b) ∈ f (esserci un solo b).
La funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B tale che ∀a ∈ A ⇒ ∃! b ∈ B : (a,b) ∈ f coppia ordinata.
f iniettiva → ∀x,y ∈ A x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)
f suriettiva → ∀b ∈ B ∃ a ∈ A : f(a) = b (ogni elemento di B è associato ad almeno un elemento di A).
Possono essere elementi di A.
Controimmagine
Controimmagine.
f-1(y) def= {x ∈ A : f(a) ∈ y}
Elemento di a : f(b) = 0.
Immagine
Immagine.
f(x) def = {f(a) : a ∈ x}
(f(a) = 6)
Composizione
Date due funzioni.
f: A → B
g: B → C
Composizione.
Composizione è la funzione g∘f : A → C definita ponendo (g∘f)(a) def = g(f(a)).
g∘f ≠ f∘g
Attenzione.
g∘f x - - o f(x) - - o g(f(x))
f∘g x - - o g(x) - - o f(g(x))
Proprietà della composizione
- F e g iniettiva ⇒ g∘f è iniettiva.
- F e g suriettiva ⇒ g∘f è suriettiva.
- F e g biunivoca ⇒ g∘f è biunivoca.
Identità
Identità.
IdA : A → A definita ponendo IdA(a) def = a.
Una funzione che richiama se stessa.
Inversa di f
Inversa di f.
f-1 = def {(b,a) ∈ B x A : (a,b) ∈ f}
Quindi f(a)=b ⇔ f-1(b)=a.
Proprietà
- F,g,h : A → B.
- F ○ g : A → B.
- (F ○ g) ○ h = f ○ (g ○ h).
- F ○ IdA = IdA ○ f = f.
- F biunivoca → f ○ f-1 = f-1 ○ f = IdA.
Dimostrazioni
- Nota dalla condizione.
- Sia a ∈ A.
- (f ○ g)(h)(a) = (f ○ g) (h(a)) = f(g(h(a))).
- f ○ (g ○ h)(a) = f ((g ○ h)(a)) = f(g(h(a))).
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