Appunti lezioni Laboratorio di disegno e rilievo dell'architettura

Geometria descrittiva e geometria proiettiva

Geometria proiettiva

Tutte le operazioni di geometria proiettiva si basano su proiezione e sezione.

Procedimento

• Dobbiamo innanzitutto scegliere l’oggetto da rappresentare. Prendiamo ad esempio un punto A, poniamolo su un supporto come la retta “r” (in generale, per i punti si utilizzano le lettere maiuscole, mentre per le rette si utilizzano le lettere minuscole), e infine scegliamo un punto/centro di proiezione C.
• Iniziamo da una proiezione: disegniamo una retta che passa per C e per A.
• Passiamo poi alla sezione, ossia l’individuazione dell’intersezione tra la retta proiettiva e la retta r.
• Troviamo quindi il punto A’. Una volta deciso un punto B, facciamo lo stesso procedimento e troviamo il punto B’. Stessa cosa facciamo poi col punto D e troviamo D’.

Altro esempio (due rette parallele)

• Individuiamo il punto di proiezione C e la posizione della retta “r”.
• Parallelismo: due rette parallele si incontrano all’infinito. Si dice che esse si incontrano in un punto improprio, ossia un punto a cui non possono essere attribuite delle coordinate.
• Dove si incontreranno le due rette parallele? Da destra o da sinistra? La risposta è da tutte e due le direzioni, è indifferente.

Geometria descrittiva

Le proiezioni ortogonali si basano sul concetto che la rappresentazione di oggetti possa essere condotta su un piano.

Il piano su cui avviene la rappresentazione lo chiamiamo il punto d’incontro delle mie rette sarà un punto all’infinito. Quando, invece, abbiamo oggetti che necessitano di un terzo piano di proiezione, allora si utilizza 3. Il risultato porta, ovviamente, alle cosiddette proiezioni ortogonali. d = stabilisce la distanza del punto A’ dal piano.

L’unica caratteristica che un punto possiede è la sua posizione nello spazio. La prima e la seconda posizione di un punto devono essere legate da una certa distanza. Questa distanza è detta aggetto, rispetto a e, e quota, rispetto a.

Questi 3 piani individuati sono però infiniti: non rappresentano quindi le facce di un cubo. Diversamente dal primo diedro, nel secondo diedro le proiezioni saranno sulla linea di terra (LT). Può capitare che un punto non si trovi per forza nel primo diedro, ma magari nel secondo, terzo o quarto. Ciò succederà soprattutto parlando delle ombre.

La retta

Per parlare di rette iniziamo col disegnare due punti A e B: entrambi i punti hanno le loro proiezioni A’ e A’’, e B’ e B’’. Se immagino che il segmento si possa allungare otterrò una retta. Le intersezioni di “r” con i relativi piani si dicono tracce (T).

• Una retta si dice che ha una posizione generica quando non ha una proiezione precisa rispetto ai piani di proiezione.
• Una retta si dice che ha una posizione particolare quando ha una posizione precisa rispetto ai piani di proiezione. Nel caso di seguito considerato, la retta è parallela al piano, ossia ha una quota equidistante dal piano.
• Caso di una retta orizzontale
• Caso di una retta frontale
• Caso di una retta di profilo

Proiezioni ortogonali di una retta parallela a 3

• Vediamo a questo punto le rette perpendicolari ai piani.
• Caso di una retta proiettante in 1^ proiezione (perché perpendicolare)
• Caso di una retta proiettante in 2^ proiezione (perché perpendicolare)
• Caso di una retta parallela a LT (linea di terra)

Il piano

Un piano che toglie altri piani, si incontra con essi nelle tracce del piano Tα’, Tα’’, ecc.

• Piano generico
• Piano orizzontale
• Piano verticale
• Piano di profilo
• Piano proiettante in 1^ proiezione

Tutte le prime proiezioni giacciono sulla prima linea Tα’ LT Tα’’ LT⊥.

• Piano proiettante in 2^ proiezione Tα’ LT⊥ Tα’’ LT

Condizioni di appartenenza

1. Regola il rapporto tra un punto e una retta: la condizione necessaria e sufficiente affinché un punto appartenga a una retta è che entrambe le proiezioni del punto appartengono alle proiezioni della retta (P ∈ r). Q’ e Q’’ non possono esistere.
2. Regola il rapporto tra una retta e un piano: la condizione necessaria e sufficiente affinché una retta appartenga a un piano è che le tracce della retta appartengano alle tracce del piano (r ∈ α). S’ e S’’ non possono esistere.
3. Casi particolari:
   • Caso di una retta orizzontale: S’ e S’’ sono sempre parte di una retta orizzontale, ma non appartiene al piano
   • Caso di una retta frontale
4. Regola il rapporto tra un punto e un piano: un punto appartiene a un piano se il punto appartiene a una retta che appartiene al piano (P ∈ α).

Esercizi

• Dati due punti, trovare la retta che passa per i due punti (utilizzo la prima condizione di appartenenza).
• Verificare che due rette abbiano un punto in comune (il punto P è quindi in comune con le due rette).
• Data una retta r costruire due piani passanti per essa.
• Dati due piani e trovare...