Appunti lezioni Costruzioni aeronautiche (approfondimento)

Modellazione solida 3D in ambito ingegneristico

La modellazione dei domini geometrici sarà il punto di inizio del nostro studio.

Seppur essa si distingue dal modello matematico FEM (metodo di calcolo

introdotto dalla Boeing caratterizzato da coordinate di nodi e di connessioni),

utilizzato per sapere come la struttura risponde alle condizioni al contorno o ai

vincoli, risulta essere di fondamentale importanza. Difatti non possiamo pensare

di introdurre direttamente una griglia computazionale a partire da zero.

Il previo utilizzo della modellazione geometrica ci permette di poter costruire il

dominio di calcolo con un oggetto matematico geometrico (curve, linee, superfici

o volumi) per il quale posso stabilire in maniera arbitraria come discretizzarlo.

Difatti il problema del metodo degli elementi finiti, essendo un metodo

approssimato che funziona in base alla soluzione in punti precisi del dominio, è

proprio quella del grado di approssimazione e della scelta dei punti sensibili

(nodi).

Per cui ci occupiamo in primo luogo di creare modelli geometrici che

ospiteranno i modelli discretizzati con i quali operiamo le dovute valutazioni.

Queste problematiche non riguardano solo il campo strutturale ma si riscontrano

anche in altri ambiti come per esempio quello fluidodinamico.

Campi di utilizzo

Modellazione geometrica vs computer grafica

Nella trattazione che seguirà ci

occuperemo di alcuni aspetti

comuni oltre che con il CAD, anche

con la computer grafica. Questa si

occupa dell’apparenza e della resa

visiva che l’oggetto deve avere. Per

cui come l’oggetto si presenta e

come queste differisce o si

mantiene fedele all’originale.

Contrariamente alla modellazione

geometrica che ha l’obiettivo di

riuscire a capire come si comporta

fisicamente l’oggetto sottoposto ad

un sistema struttura (vincoli,

cedimenti, ecc.). Infine gli strumenti

comuni utilizzati in questi ambiti

richiamano anche il virtuale che

considera una simulazione del

comportamento dell’oggetto

sottoposto a determinate

condizioni.

Tuttavia l’obiettivo di cui ci occuperemo è utilizzare il modello geometrico per

effettuare analisi FEM.

Ambienti e strumenti

Strumentazione utile per la gestione della terza dimensione

Nel momento in cui si opera

modellazione 3D per fare FEM si

possono usare degli strumenti che

aiutano a gestire la terza dimensione

come per esempio:

mouse 3D (sistema a 6 gradi di

● libertà)

Scanner 3D (acquisiscono gli

● oggetti tridimensionali)

Sistemi scanso-laser

●

Software per l’analisi FEM

Esistono diverse tipologie di

softaware, ma quello che ci

interessa maggiormente è

Ansys. Questo risulta essere

un ambiente multidisciplinare

con il quale si può operare

qualsiasi tipologia di analisi

(strutturale, termodinamica,

ecc.)

Approcci per la modellazione solida

La modellazione dipende da che tipo di elemento finito si utilizza per

discretizzare gli oggetti. Se c’è il bisogno di modellare oggetti travi formi

(correntini o solette) non considereremo l’oggetto solido correntino in quanto

tale, bensì lo ridurremo ad una trave; questo perché possiamo distinguere tra

un’estensione lineare e una sezione molto piccola. Pertanto ci avvaleremo di

elementi monodimensionali.

Inoltre si sottolinea la differenza che sussiste tra un modello CAD e uno FEM.

Quest’ultimo non rappresenta visivamente la realtà, ma piuttosto sintetizza gli

aspetti geometrici tralasciando la rappresentazione del reale a favore di una

rappresentazione più astratta. Si perde in tal modo la sovrapponibilità di ciò

che si immagina dal punto di vista geometrico con quello che è il modello

matematico.

Come si costruiscono i domini geometrici?

Nel caso tridimensionale si deve immaginare un volume chiuso che rappresenti

un dominio di calcolo. Si fa riferimento a strutture Balch, per le quali non si ha

una dimensione caratteristica che prevale; l’oggetto si estende in tutte e tre le

direzioni con la stessa profondità. Quando parliamo di Balch facciamo quindi

riferimento al volume.

La modellazione solida si distingue in:

Modellazione geometrica poligonale: la frontiera viene suddivisa in oggetti

● poligonali come quadrangoli o triangoli. In genere si predilige il triangolo

poiché esso risulta essere planare. Difatti è caratterizzato da tre punti non

allineati che rappresentano un piano. Contrariamente quella quadrangolare

può essere usato per oggetti che non hanno doppia curvatura; se ciò non

fosse il quadrangolo subirebbe un twist per il quale tre nodi saranno

sicuramente planari ma un quarto nodo esce fuori dal piano (superficie non

piana)

Modellazione volumetrica (approccio matematico:) si basa sulla geometria

● costitutiva solida. Il progetto considerato alla fine sarà un assemblaggio di

primitive semplici, dove la primitiva può essere un cubo, una sfera ecc.

Questo perché gli oggetti appena descritti sono gestibili tramite

disequazioni. Inoltre posso considerare un oggetto somma di due primitive

per esempio la sfera combinata con un cilindro per ottenere geometrie più

complicate. In questa categoria rientra anche l’utilizzo delle superfici

implicite: adatte a simulare oggetti organici. In questo caso si utilizzano

oggetti (sistemi puntiformi nello spazio) che emettono un campo scalare di

una certa intensità ed estensione. Se si considerano più punti vicini si

otterrà una sovrapposizione di questi campi con la quale si ottiene un iso-

superficie di un certo livello. Ciò che si vede è una sorta di bolla che si

somma si fonde con quelle circostanti. In questo modo si possono simulare

oggetti che hanno caratteristiche uniche tra cui la continuità (non hanno

spigoli).

L’approccio che utilizzeremo sarà

definito bottom-up. Se si dovrà

rappresentare un oggetto di forma

particolare, si introdurranno i vertici

degli oggetti puntiformi che si

uniranno con delle linee in maniera

tale da ottenere già un supporto

beem. Ma se queste linee formano

un circuito chiuso si crea una

superficie dalla quale si potrebbe

ottenere un volume o più, che

potrebbero essere combinati per

avere oggetti complessi.

Meccanica dei sistemi continui

Il problema fondamentale è quello di risolvere il comportamento di sistemi

continui con l’utilizzo di equazioni di campo che nel caso della meccanica del

continuo risulteranno essere le equazioni indefinite di equilibrio, il cui alter ego è

rappresentato dalle equazioni di Navier-Stokes per la fluidodinamica.

Le equazioni di campo, che interessano entrambi questi approcci, descrivono

completamente il sistema ma non sono in grado di risolverlo. Pertanto siamo in

grado di descrivere bene un campo strutturale in tutti gli aspetti ma questo non

ci è d’aiuto, poiché nel momento in cui deve essere risolto ritroviamo sistemi di

equazioni differenziali non gestibili. La soluzione risiede, quindi, nella

discretizzazione: trasformare un sistema da continuo a discreto, in maniera tale

da poter risolvere equazioni algebriche e non più differenziali. Nel momento in

cui si effettua questo passaggio si deve tener conto di alcune assunzioni tra cui

il fatto che il sistema originale è stato impoverito, nel senso che un oggetto

tridimensionale come un tavolo è classificato come bidimensionale in cui lo

spessore viene trascurato poiché non ci aspetta che in questa dimensione si

verifichino cose non prevedibili.

Nonostante l’oggetto sia caratterizzato da infiniti gradi di libertà, non tutti questi

influiscono in maniera significativa sul suo comportamento strutturale. Pertanto

si individuano solo alcuni punti significativi in cui si risolve la struttura, ed è qui

che entra in gioco la discretizzazione. Si utilizzerà difatti una griglia

sufficientemente piccola per catturare la fenomenologia che si cerca. In sintesi

c’è bisogno di:

sapere quale comportamento si cerca

◆ sapere con che dimensione caratteristica o griglia studio il

◆ comportamento

sapere cosa aspettarsi se infittisco più o meno una griglia

◆

Pertanto i metodi numerici prevedono una tassellazione dei domini continui che

vengono trattati in un ambito discreto. Inoltre:

• Le partizioni finite dei domini si indicano come Elementi o Celle

• I vertici di ciascun elemento o cella si indicano come Nodi

• L’insieme di nodi ed elementi è detta Griglia computazionale, Modello

matematico o Mesh

Sono qui presentati degli esempi di discretizzazione:

1. nel modimensionale quella che può essere una curva che rappresenta un

oggetto strutturale, nel momento in cui viene discretizzata posso

immaginare che la sua discretizzazione sia data da segmenti. Per cui la

curva iniziale posso rivederla in un numero di elementi finiti che ritengo

opportuno. Avere una geometria ospite inoltre risulta essere di

fondamentale importanza per decidere il grado di infittimento della

discretizzazione

2. Nel bidimensionale si immagina di avere una superficie strutturale che

viene discretizzata in elementi finiti bidimensionali

3. Nel tridimensionale si ha invece un volume strutturale che viene

discretizzato con l’utilizzo di esaedri cioè elementi finiti tridimensionali.

Esempio di modello solido e griglia computazionale

Nell’esempio mostrato

(rappresentativo di una flangia)

l’oggetto ha subito vari tagli tra

cui uno sul piano di simmetria. A

rigore è presente il pezzo

speculare per il quale si ottiene

una fetta ciclica che si ripete n

volte sul tutto il disco.

Questo è un tipo di trattamento semplificativo per il quale anziché analizzare

tutto il disco se si può affermare che l’oggetto ha una sua ciclicità e anche i

carichi a cui è sottoposto sono ciclici a loro volta allora cioè che succede su una

fetta si ripete ciclicamente su tutte le altre. Per cui si isola una fetta ciclica e la si

studia nel dettaglio, a patto però di considerare tutte le condizioni al contorno

che simulano la presenza virtuale della parte che non c’è. Pertanto il modello

FEM viene effettuato solo di questa parte, in modo tale da comporre un modello

minimo che però tenga conto di tutto.

La discretizzazione è stata effettuata in tanti mattoncini. Tuttavia la dimensione

caratteristica di questi non è uniforme; ce ne sono di piccoli,grandi o molto grandi

(questi si estendono anche all’interno dell’oggetto). Questo perché se si vuole

conoscere in maniera più accurata il comportamento strutturale di un dominio

devo campionare quel dominio con punti più vicini. Più vicini sono i punti più ci si

avvicina ad una discretizzazione più precisa. Ciononostante dove ci aspetta di

trovare gli stati tensionali più importanti? Sulla superficie del corpo, laddove si

hanno cambi di curvatura, spigoli e fori.

Per ottenere un buon modello FEM si considera un numero significativamente

elevato di nodi dove ci aspetta di avere stati tensionali più elevati e di rendere

più rada la mesh dov’è queste informazioni sono inutili.

Inoltre l’elemento finito oltre ad essere piccolo non deve essere distorto.

L’elemento distorto è quando si allontana dalla sua forma base. Quella della

figura è un esaedro regolare, la figura per eccellenza. Avendo questo angoli di

90 gradi è caratterizzato dal fatto che le informazioni che arrivano ai suoi 8 nodi

vengono interpretate nel miglior modo possibile nell’interpolazione interna.

L’elemento finito non è altro che un interpolatore, cioè prende ciò che i nodi gli

stanno dicendo e costruisce il campo all’interno laddove non ci sono i nodi. Se

l’elemento si allontana dalla forma originale dell’esaedro questa capacità

interpolativa si affievolisce fino a rendersi inefficace. Per cui l’elemento è

talmente distorto che non è in grado di prevedere il comportamento interno del

dominio

Metodi di creazione della griglia computazionale

Il concetto base di chiunque si occupi di metodi numerici è quello della

costruzione preliminare di un dominio che fa da supporto (geometria di supporto)

e che serve ad ospitare gli elementi finiti. Il vantaggio di poter usufruire di una

geometria ospite è quello di poter decidere in corso d’opera che tipo di riferimento

utilizzare. Posso quindi cambiare i parametri di discretizzazione e utilizzare una

nuova griglia computazionale.

Le griglie computazionali possono essere generate in due modi:

Generazione diretta

●

Con questo metodo si fornisce una lista di nodi ,con le loro coordinate, e una lista

di connessioni. Pertanto si sottolinea come questi nodi sono connessi con un

elemento di una certa topologia, come per esempio un’asta, una trave, una lastra

e così via. La generazione diretta tuttavia è la metodologia più antica poiché non

prevede l’uso di un modellatore geometrico, nel senso che siamo noi stessi che

costruiamo nello spazio i nodi e le connessioni che rappresenteranno

quell’elemento. Questo approccio viene però ancora utilizzato in ambiti non

industriali. Lo si potrebbe usare per lo sviluppo di modelli matematici e non per il

loro utilizzo, poiché si tratta di approcci procedurali

Modellazione solida

●

La modellazione solida si distingue in due filosofie distinte:

- Bottom-up: con questo approccio si intende la costruzione di domini di varia

natura (solidi, 1D, 2D) partendo da entità geometriche semplici. L’entità geometria

più semplice possibile è il punto matematico, cioè un oggetto definibile nello

spazio euclideo tramite tre coordinate (cartesiane, cilindriche, sferiche). Posso

quindi usare dei punti che rappresentano i vertici della mia struttura e a partire da

questi posso introdurre nuove entità geometriche, ossia delle linee che uniscono

questi punti.

Nel momento in cui si hanno delle linee, se l’obiettivo è formare un modello beam

o formato da aste si è già a disposizione di tutta la geometria necessaria. Se si

devono modellare delle travi allora si deve modellare una geometria

monodimensionale, cioè linee (possono essere anche curve).

Se invece l’obiettivo è diverso, a partire da una serie di linee ,che vengono

organizzate per formare frontiere o circuiti chiusi, si possono definire delle

superfici utilizzate per creare elementi di tipo shell (2D). Se invece l’obiettivo è

arrivare ad una struttura Balch (3D), a partire dalle aree se riesco a definire un

guscio chiuso che racchiude un volume, allora questo è disponibile per avere una

mesh 3D.

Top-down: questa metodologia è caratterizzata da una disposizione a priori di

oggetti matematici geometrici preassemblati. Pertanto se devo costruire un

cubo: con il primo metodo devo creare le coordinate degli otto spigoli del

cubo, devo unire questi spigoli con delle linee, ottenere le superfici dal cui

insieme posso poi trovare il cubo. Contrariamente in questo caso si dispone in

partenza dell’oggetto primitivo cubo, che sarà gestito con delle dimensioni che

si assegnano. Tuttavia in questo caso pur possedendo delle forme primitive

queste prese singolarmente non mi permettono di poter creare un oggetto

complesso. Proprio per questo motivo ci si rifà alla miscelazione di queste

forme, seguendo un approccio booleano, per ottenere qualcosa di più

complesso.

Si immagina quindi che questi domini siano concepiti come collezioni di punti.

Quando questi domini distinti hanno la proprietà di poter esssere sovrapposti si

può immaginare di costruire l’oggetto somma dei due, cioè un nuovo oggetto

che segue l’operazione booleana:

In questo caso distinguiamo tre esempi di modellazione ottenuta con approccio

top-down ed operatori booleani: I punti appartengono

I punti appartengono

I punti appartengono all’oggetto A ma non

sia all’oggetto A che

o all’oggetto A o all’oggetto B

all’oggetto B

all’oggetto B In questo caso ho tolto ad A tutti i punti che in precedenza

erano di B. Quest’operazione di “sottrazione” tuttavia non è

definita in algebra lineare, pertanto i software per poterla

utilizzare la definisco come A and not B. cerchiamo di

analizzare più nel dettaglio questa espressione:

Il not determina una negazione. Se considerassimo il

● dominio B preso singolarmente la sua negazione

sarebbe equivalente a dire tutto quello che non è B,

cioè ovunque, tutto il piano infinito

Con and quindi si intersecano tutti i punti di A con il

● piano infinito di prima

Inoltre si considera anche l’operazione di

partizione: cio significa considerare

l’insieme di intersezione, somma e

sottrazione. Pertanto A partizione B

restituisce tre domini. Si può quindi

definire un’operazione di

decomposizione.

Tuttavia qual è l’ipotesi necessaria per far sì che queste operazioni possano

avvenire (restituiscono insieme vuoto)? La condizione necessaria che devono

avere A e B ,per essere definibili dalle operazioni descritte sopra, è il fatto che

devono essere sovrapposti, cioè devono prevedere una intersezione non nulla.

Se i due oggetti fossero disgiunti, non si potrebbe ottenere una intersezione.

In sintesi si possono considerare alcune operazioni secondo questa logica e

altre secondo il metodo bottom up e unire con gli operatori booleani ciò che ho

fatto prima e ciò che ho fatto dopo.

Arrivati a questo punto la parte relativa alla geometria risulta completamente

e interviene quello che è l’operatore di meshing. Questo prende il dominio

solido e lo divide per ottenere nodi ed element