Appunti lezioni Applicazioni avanzate di fisica tecnica

Notazione 23102/2026

Tensoriale bGRANDEZZE ER > SCALARI arN c:· -...,,, TENSORE ORDINE ZERO cartesiana rappresentazione >- E) veñore{ε≡π= GailR"nostro nel 3D generica ORANDEZEE > > VETORALU componente max caso: - -- di j-esimo TENSORE UNO ORDINE matriciale rappresentazione - intero\ #= 祭品 [Aij) tensore*** nel R 3D - TENSORIALI GRANDEZZE nostro max caso: >· - ORDINE TENSORE DUE anche)(posso due 3D DIMENSIONE ORDINE ordine DELLO SPAZIO avere con IO PERAZIONI SERVONO CHE NOIA:

Prodotto interno

PRODOTTO INTERNO · wibi:s'@ azbz+= t ORDIUE ZERO ER上 → IoQ dabERP* : 2 ., sono (R R)do all'ordine ho contratto partita ordine 1 o =e 1AzzbzA1s baAzdㅣ Da ↑+...+}AiibilERD *→ =BER 上 HEUNO ORDINE:* = ApzbzAdd be And bi↓ ++ +...( R")****da all'ordine ho contratto partita ordine 12 sono -e }德录 22AzB 4 AcB2RP D 2 2但 * AijBis 2 22是 AonBon是:ε +→ A AA .* DB +D+++ B 2z: aB. +, ↓ ORDINE R doppia ZERO I E abbassa ROXD ordine di R puntino ogni da un passo -=

Prodotto esterno

PRODOTTO ESTERNO TENSORIO DIADICO ORDINE TRA PRIMO DUE DEL · ]- NebbaabzNube ...}{ tRP□ RP 点 aibj≈ ∞Q :ε* → = = …. Abbe .._diade ***di ordine RR da sogni passo aumenta un + >-目二目 日 25102/ 2026

Operatori differenziali

DIFFERENZIALI OPERATORI : (aumenta l'ordine) GRADIENTE · scalare* 。作τ 仁 εR vaEa , }=vettore · )τ== :RID ( ^, n←τε (diminuisce l'ordine) Divergenza · vettore↑ " . : 器器VQER ; Rε@V …tensore* m{ ←] =,x 5>tR > ← 是 : (mantiene APLACIANO l'ordine) · !X2 tot)) commutativo è non= scalare* 築巖淨“ Rε=vettore A sottintese Sommatorie EINSTEIN CONVENZIONE DI >-↓ ES ‰ 員 bi. Rbi εaiq aib -- = categorizzagli no cui indice di è un unico mutuo uno, dagli tensoriale dipende indici l'ordine indici liberi è in EIR questo => caso zero-mumi/saturi INDICI indici LIBERI ↳ indice stesso si ripete uno 戶 言

Altri esempi

ALTRI ESEMPI : 载; DERD* AizbjERP Airby→ 是上 R是 ε= =∞ ho i indici libero due diversi mipetuta non =: =j ripetuía = muto=j 員Ro *" '* D : AizBisR是 R是 AigBisεε ε是 是 =; entrambi ripetuti aui indici, No due muti ho per scalare Zero)(orduno .GaER indice& ripetuto scalarF ho a mutono e un uno= e. == =会 ERP" *R是 →ε " ← ;azaF2aeR Rd ε= = ∂ ∂xi xixzR ℃8 R=@ ε ε0 tale difficili vettoriali Espressione semplificare notazione è= per Notazione

Notazione compatta semputicata

NOTAZIONE COMPATTA COMPATTASEMPUTICATA notazione ^ notazione manipolazioni V algebriche ESPRESSIONE ESPRESSIONE necessarie IN COMPONENTI SEMPUFICATA

Esempio

ESEMPIO : = 22β Aij。前*RPX& w Aii“>c = } axiax 022 th shwartz 3 .

Esempio

ESEMPIO : ;Ais ; ). (·orj。 AijRP RDxD == = 是 Aija 。 ejε aε ag) ^> ω( ) . .txε; xaxo i(요 ](( ←↑ 크다τ크 . ) .! - . libero = sull'indice derivare solo posso !!qui attenzione non commutare a自口口

Esempio

ESEMPIO : (Va)ai: 籤 a(ta)RD - @Fε xj@ aiaj a@( aj> = + -+( =)) ↑{ è prod interno perché ho non non ripetizione di i

Esercizio casa

ESERCIZIO CASA mumummn (R )F V R≈ ε ∞ @@ E> . .n )caio ;; s+ =Gxi GXj 。 aruzaz xszai= 。 当 t ai「 axiax ”0x ax: t0 aizx ②Garjt( )= 「 axiaxys =。 '。 8 * ") *「 8← -( (( @@上政 .o。 ))V )= (≤ 8 @ V@( ← ←@: √ LVQ 「2 )V VQ) )( R"延 E:= @devo cambiare le componenti la cambiintrinseco perché grandezza TENSORE : nonìz}}{ 些 τ=τ>= : 'โ TiiE ,θ

Primo ordine

PRIMO ORDINE ][:[ ][台 器 ∵] 넌↓ notazioneป :lijV

Secondo ordine

SECONDO ORDINE exam) trasformazione tensoridei (no}lip lig AijApa REGOLE DI TRASF= TENSORI DETA'pqlip bjgAij =八口 ว่ 2103/2026

Continuità termomeccanica

CONTINUITÀ TERMOMECCANICA CONTINUO EQDEL DI: . velocità densità di temperatura campii pressione ,ipotesi continuo del ,· : ...,, ·morfrontierar LV1- volume Omb massa= == ;; Δm elimf(1)=>= &V-↓V 0- piccoli XVI si suff grandi suffiche anche siano assume ma .. ,

Approccio euleriano

APPROCCIO EULERIANO => fissa indeformabile ed fisso spazio al rispetto di definired vado porzioneS maar ;.. .0.S .M i. normale alla Versoretg uscente X ⑪鶖3 ,zooma =惑 보_X> 2 . 」x velocità s locale 4114 += ,(n)lala lo frontierache orientare prima faccio è cosa con zoom)- trasporto/bilancio del(A# responsabile questa solo è>= - ¤Ψ上 - n=1 Ma(t)Jrgdvmm(t) =cambia tempo da data è nel la rapidità cui cambia con :dmm(t) J/d= =dt definizione meramente matematica loro tra tempo essendo volume invertiti indeformabile il fisso ed spazio possono e essere, tra legati Coro perché non ?la nQual 에 )(il questa di variazione Trasporto è avvetto 집 오 causa .=NarIn !했!la contenuta volume vale cilindrico nel massa : n)g .(4dA tempo di nell'unità da attraverso uscita . .Co quanta Mr(t) tall'istante è amap(1 contenuta volume e nel massa ;la t fare derivata significa rispetto il bilancio vederne a- ) da :dt dMr(t) volume negativa nel 0 altrimenti=> se cresce ;北 tutti definito nil uscente quando , positivo i volumi è sommo come per ,versore dovrebbe significar derivata che la un mettere perdo massa = essere neg e'比 am da-(n)

bilancio del corretta equazione che ne consegue : = continuità di massa o/V + f()da a notazione 0 non=> usat= /FndA (tSi il DIGAUSSTh Della Divergenza CEUso :O. .=F Fdi divergenza flusso di NO ELAM Preso diviso 2D domino così un :αX 2 … faccio centrale bilancio il nella cella :ne '齋 indefinisco uscenti ·dxzo en FY F, bilancio bilanciil i netti vedere trasporto devo il è X2Xaper,se su · ,곰 lungo X1 :> xeθ 기 a:dX * ]) + )ェ 望 殿 Xs_ dXr+ d( × z↑ il per avere faccia dxfacciaex flusso lungo X2 : 。 dXd × 22 (OFGF) dxdsulla Bilancio=> cena e: ↓↓ generalizzato della Volume cella E divergenza di nel avrei 3D :auto ( )++ adxadXa × ”FdV tutti termini si controbilanciano si i imelidonoIV prendo Se che comune.. * n dAIF → = .W m最 controbilanci frontiera ho solo nella non/V + f(n) d (sarebhel vettoriale 0e=> fci é campo= /r(cdV (91) applicando vale dGauss scrivere o posso +: . = ^]) [。

Forma integrale della conservazione della massa

INTEGRALE FORMA DELLA dvs4+τ ) 0→ [ =CONS DELLA MASSA. solo motivo questo per+ ? si Ivo(g)dire corretto è condizione locale 0=一 si quindi ottiene : + (gy )EULERIANA LOCALE FORMA 。 0V =↓derivatar culerianci(94) einstein V notazione per :.= u=gui. 縁y Stu( Us( 。8 ) + +:) =8↓deve indice saturare un notazione la si con=> g .1+ + tale evidenzia somma

Der materiale

LAGRANGIAN ADER: は definizione perve ㆁ.+ DER MATERIALE 「 . 4JN 0= lagrangiano Oss. perché un Importante Lcampo lettoriale hose ^, *, 4Oteuleniclooss0t) 4(X t)Y(X t, + 요24 - _,‰ lim= It Dat 4t 10 上 七,_y(x 0t) y(xy0t t)t ++If = , -lim ,1: t4 + 0 motivo profondo decui il principio è la forma L Galileo è necessaria x :,Crelatività) (classica) tutte invariantifisica inerziali sistemi le nei della sono eq· . ↓X3n 7 ci accelerazioni non sono Xj 1r xx2 duetra i> X マ ㅇ∠X 노 VXi E)& (in che termini può dimostrarsi e si dit)f(x: = ,↳ il viola principio al passando in perché d .rs ..cambia motoB t)f(x (in termini L)mentre = , principio = f(1 f(x t)t)vidar il => non =, ,氏 04103/2026

Riassumendo

RIASSUMENDO :- + ( )forma continuità -in 8 ueuleriana 0eq V =. 喩 forma continuità in lagrangiana 性V =+ 0eq ..B.N aurettivo ha illa (4) 21termine per massa sempre =24 . (4) 5(y)Vgenericar una Standard Forma per eq +: =. atta le da forma termine S(4) riconoscere il sorgente posso :sorgente( 4 ) 0>×. la grandezza (1)( φ ) 0 si conserva s- =( φ ) POZZO 0<s- +. la(4) da informazio divergenza Dall'eq continuità quanto di o mi ne=. ,localmente flusso esce : di bilancio che dal avrò più quella entra 통음부* massa esce se un, il discorde negativo flusso perché di al è verso, verso entrata quindi, -( 9 <)ㄷ 0ㆍ ⑦.di bilancio che dal avrò quella meno entra* massa esce se un 장,il positivo flusso perché di concorde al è verso> verso entrata quindi, ae( 9Ve ) >y 0 ㆀat ciò Ottengo localmente,(1) entra che esattamente Fcost 0 => se f* .= =deve uscire

Esempio

ESEMPIO : ho più deflusso im cui un ㅓ^sono{ ^α브di =campo Contano dall'origine più la e velocità α 0, Velocità grande è n ㅜ >2 :- vs (x )tX 0⑩ ==241 22のUz h 」X V 브브 2 t ← α 7=の「 0== の の 3. = 2∂ xz ×Uz & X3… _ _ -∠fatto il indica che che sto perdendo sia mi massa ro je-30PP g(t)soluzione 93 -3a9=> E :+ == =tαs-DX ( ) ×+ e3 α 4 × = o= -Dt 327-soluzione t)f(X dell'eg generale Jo(Xo) soluzione di cont=> e: = .,

Esempio

ESEMPIO :α{ *3(Ψ X =) gole )Scx 0 -, 4(X)scrivere posso come :}{ axeXC の) α±ト メマ= = α X 3 七a{{ 沙砦 ( )Xs Xroe+ : EのXz ( X)+ e20= ext( ×( )Xα)t tX X3 30= =3 * Ct-In x(0)((t)formal 1vettoriale X(0)=> ee .==: dove da dove (t)parte sese soso sono dalla precedente=> P xxt329m) f(t) goe -= - =at tt3 α3の --) ( - ()SCx ( ))So t) 8とt co *x efe e. = .o= .,,

Visione euleriana

VISIONE EULERIANA ESERCIELO CASA :nummer }}= :{rotazione di campo ”rigidar . ;σ …? 。Quanto vale valeV si 1 e,0 conservazione zero- = =plF cost- =94 0=入口

Quantità moto di approccio euleriano

QUANTITÀ MOTO DI APPROCCIO EULERIANO ^”la vale Quanto di motogtin putoun .dm gadvgdVY 4.. = = (n(moto totalegt saradi la data da ,adr=m: =. X 고velocità cui lo data La nel varia è tempo docon mq :..dJm(1dV G) e=Facendo harfrontiera sulla simo zoom :trasportatore transportatorente geaudezza 䝔1) ⑩ ⑩) 当笔 [[d 0dr 0 - …。 。-=↑ α2。 altre cause avvettiva causa À uscente quindi mi bilanciare deco i-esima fuibilanciare conserve della componente di gt moto.in notazione Einstein Che diventardi :-(acquisJa Cuiuj)njdA -av = ∂고 tensore .2o ord>) ㅣ2tH) (o 2)ndv .G .* ,= .c=> - dgrandezza ordine 2° flusso tensoriale Applicando Gauss :) (-(9(aata シ vo(f484)dVdV +...= - eJavこ '」 。→ r+ (。 = …altre le Tra le volume cambia la cui di all'interno Forza cause per sono ung m. .infatti Esterne :, 297 ↓[N]dV - * 3aat ^빼않다ㆁ> arλ 2*quindi E Definiamo il 면tensore SforzIdegli : J 7jon 요る : + 1adVndA9 ar -y ⑤. )y +(r 22。 ia_ n ' indAn d E pereché Q uscente . =**N. Bo 09103/2026

Per Gauss : )_J EndA (d= .or In↓ (d(4) ++ =FSvalida↳ 琵 (formar )locale in ミ94 Q * 9 機←+ = ↳ in generale la conoscoa al contorno condizioneular è la della mett