Appunti lezioni 2 Fondamenti di automatica

19/20 - Quindi

Adex 23SEAze t [Aaext+S y(t) -1(t)yg(t) c(t) == + +- - ( (AoSolt) 0+ = 25t]S[) ({ (e 5)e 2 -- n(t)= + ++ -

Generale risposta forzata

Consideriamo il sistema ancora prima di :(*(t)any"'(t) bry'n'(t) ay(t) 0bou(t) bmu+ =+ +...+. . .CON : Utu(t) to+ 0=· (t) 0=· y , 2(tay(z yy(to) (to) - 0==· = . . .QUNDI (t) ye(t)y(t) ye(t)+y == ,

Proposizione

(UNEARELTIRISPOSTA SISTEMALA UNDIFORZATA( ETEMPO-INVARIANTE GENERICOINGRESSODI MILDADATA :(ut(yso(ty(t) = t)d=- Jt)3s((t)(uy(t) =*· = t)dyso(t =-

Convoluzione di due segnali

E↳ to0ys(t) = I y(t)c(t)S - t20AoSolt)+ , "MIDUENOTA SEGNALCONVOLUZIONELA DI: UNQUANTO INFLUENZASEGNALEUNSURA ALTROPROPRIETA COMMUTATIVAGODE DITEMPONEL :fut(ysolt (t(u(tys)(t) u)(t)(45(a + = =+ =t)d t)d=- -

La risposta forzata

LTISISTEMARISPOSTA GENERICA UNDILA FORZATAE VEVALE A(ut(yso(ty(t) = t)d=-PERCHE VEDEREANDANDO LA SI-A STORIA DELSTEMA : STORIASISTEMADELInscarun TEMPO>t T- +Sot -t) Ys(t+ t)0 0=- -QUINDI :ot 0=Just)= t)deysolt -

TE EINTERVALLOUNSE PRENDIAMO :,STORIASISTEMADELunusr I TEMPOMto t- +-- u(t) 0=u(t) + 0 (t(yso(t(ut(yso(t tJu(t(yso(ty(t) +== -)dit)d t)d-- -toDOVE :to DEL SISTEMASTORIA CHEJultyso(t- GE-=· de INIZIALCONDIZIONILENERAJust(ysolt yf(t)=· -)d-to

ES : un*2y(t) Gy (t)Gy(t)(t) 3u(t)+ ++ =· to D= 20u(t) =M u(t)4 4S y(t)u(t)= = ->O RISPOSTA FEZOTROVARE FORZATALAt E(u(t(yso(t Sy(t) = =-)d Mys(t-t) de-to y(t)4Su(t) = -PERCHE-4= occtJugsolt= -)de- S So(t)y(t)c(t)ys(t) Ao+= - - ↳S y(t)c(t)= . -

Polinomio associato

ASSOCIATOPOUNOMIO :2x 6x 4p(x) += + 1(Vzp(x) Xz 1)0 + == - =2(vaX 1)> =- - = at+(ra(t)((t) (ry(t) Aze -Age-= + = +DERIOV(2 2Aze-atAge-t-(t) = -C(0) As Aa= +(((0) Al-2Aa= -Ta·T Te 27S- -n(t)S y(t) -1ec(t)ys(t) == . --Jaysolt 4) t)dTe 2(tT)(t --- 1y(t) -== -(d -- z(4((e 3taalt(az(= - ---( 2jt4(e 37 1e-= 2edt +- a- 2 +O27(Get( 2t4e3 -- Et2e - zoad= =edz e+- -at)S(3 +yf(t) y(t)4e --= e+- -

Ricapitolando

azyx'(t)any"'(t) bmum'(t)brun(t) 0bou(t)aoy(t) =+ ++ + +...... 0((u(t) =· y' r'(to)* ((t)y'n (t)(to)y(to) -> =y; :...; , y' r' (toy(td) ...0((u(t) +· Ju(t(yso(tyf(t) = t)d=-to [C(t) m(tddyf(t)(t)y(t)=> +=+= y , yuy(t) :...[tysolt-de

Capitolo 3: sistemi a tempo continuo

1) Modello Laplace

Anausi3 diI nel Dominio:. SoluzionePROBLEMA DOMINIODOMINIO NELNEL > "t""t" ERER A25 ] 222 ]-. .~ SoluzionePROBLEMADOMINIO DOMINIONEL NEL>"s"eK K"s"

Trasformata di Laplace

TRASFORMATA LAPLACEDITRASFORMATA UNALAPLACE FUNZIONELA DI DIEf(t) : Sef(t))2(F(s) Stat==L'ANTITRASFORMATA UNALAPLACE FUNZIONEDI DIE iFIS) =2(- (t))f(t) 2 f= Stas

Proprietà

UNEARITA· 2[csta(t) cy2[fz(t)]cefa(t)) c2[falt)]+ =+ =CFz(s)CFf(s) +Traslazione· 2[fIt)] FIs)SE ALORA := ,* f(t)]2(e F(s a)= - 20SE2(f(t)) g(t)F(s) SEtcaE == ,a) tyaf(t SE-ALLORA : e2(g(t)) F(s)=

Cambio SCALAdi :· 2[fIt)] FIs)SE ALORA := ,1F(z)+(at))2( =

TRASFORMATA DERIVATEDI· 2(f'(t)] f(0)SF(s)= -sa f'(0)sf(0)" (t)]2(f F(s)= --:2(f'" f H- So f'(0)(t)] SiS f(0) (0)F(s)= -- - ...

TRASFORMATA INTEGRALDI· [Susau Es2 =

PROPRIETAAltre· 1)"F"2(t"f(t)] ( (s)=· -+ ce[ Sf(u)=· duS (PERIODOfIti E'Se TFUNZIONEUna Periodica· Soctie-stat+(t)]2C = st1 e --lim F(s) O=· S c+lim limf(t) SF(S)=· t S0 c+- linemf(t) SFS=·

Trasformata di segnale

TRASFORMATA SEGNALDI TRASFORMATASEGNALES(t) 13y(t)S - Tay(t)tS -S ·s(t)-e S -n(t)cos(wt)S s(t)- settesin(wt)S -s(t)ecos(wt)S S as(t) -(S-a)2 wa- +Wesin(wt)S s(t) (S-a)2 wa+-e 1f(t)S 1(S a)k +- -

Analizzare un sistema nel dominio di Laplace

SISTEMA NELORA ANALIZZARE UNADPROVIAMOLAPLACEDIDOMINIO azyx'(t)any"'(t) bmum'(t)brun(t) 0bou(t)aoy(t) =+ ++ + +......↓ 25 3. azyx'(t) bme(t)][any"(t)2 bru (t)bou(t)ay(t)+ ++ + +......2[0]( 0)= = azy'(t) ay(t)]2[any"(t)= + +...2[bou(t) bmum(t)]byu(t)== + +...2[ay'(t)] [ay(t)]2[any"(t)) 2= ++ +. . . 2[bmin (t)]2[bult)]=- - -. . .ar2[y'n'(t))a2[y(t)) a2[y(t)]= +++...bo2[u(t)] bm2[un(t)]=- - -. . .

TRASFORMATA HO CHEDERIVATELAPER DI :2[y(t)] y(s)=(1) sY(s)2(y(t)] y(0)= -~: sy" -(0)y1y(0)2(y"(t)) SuSy(s) (0)= - --- . . .sy" -(0)]y1y(0)S(a[sty(s) (0)- - --- . . .a[sY(s) aY(s)y(0)) ++... + - 20134Sum -(0)-5m[su(s) S u(0)= - --- . . .52[sU(s) bu(s)u(0))+... + +-

CONSIDERIAMOORA sy - -(0)]y+y(0)an2s -[y(s) (0) ++... += a[y(0)]+... + Sum -(0)fu(0) 2013un5m[s[n(s) += +... +5 [u(0)]+... +AUREMO : azyx'(t)any"'(t) bmum'(t)brun(t) 0bou(t)aoy(t) =+ ++ + +......↓ 25 3. 125"[anS a]Y(s) [y(s)asan ++ + -...- p(S)[5ms -b bis15 57U(s) [u(s)= + +... + + -O- b(s)p(s)Y(s) b(s)V(s) [u(s)[y(s)> = --y(s) b(s)U(s)[y(s) [n(s)> = +- p(s)p(s)[(s) [y(s) [u(s)= - b(s)V(s)[(s)y(s)= += p(s) p(s)

Funzione impulsiva e funzione di trasferimento

IMPULSIVEFUNZIONECHIAMIAMO DELE RISPOSTE :[(s)H(s) = p(s) FUNZIONECHIAMIAMOE TRASFERIMENTODI5ms 15b 55b(s)w(s) 5== + +... + +- 1p(s) anS 15 aSan do++ +...-=.-SSh an ++ 1- ...atten= TRASFERIMENTODIFUNZIONEZERI DELLAZaZ1 .... TRASFERIMENTODIPOLI FUNZIONEDELLAPrPa . . . .

yf(t)NOTA y(t)y(t): +==↓ 25 .y(s) (s) 2[w(s)V(s)]22 - 1[y(s)] [H(s)] 22 --NOTA +=: ↓ ↓ ↓(t) yf(t)y(t) t= y ,

Antitrasformata di funzioni razionali

RAZIONALANTITRASFORMATA FUNZIONIDI FUNZIONE RAZIONALEGENERICACONSIDERIAMO UNA 15nmSm mys+ +...nm +N(S) + noF(s) == -an-15-1SD(S) daSda do++ +... +Sezaz= w21[F(s)] f(t)2=> - == ta(5-zst1 (5-zalta _[1 (S-zaK2 - ......-pr(" privw2(S (s(s Pa). ..... -- 1)(E =HEOUISIDESVILUPPO DI =[F(s)]2f(t) 2 - ==[ _ 1[F(s)]1 (S (S (S-zr) za) za)K2 k2- -=......- - (S(S (S PrlPr) pa) ...... -- - F(s)=F(s) (S (S (Szr) za) za)= ......- - -(S(S (S PrlPr) pa) ...... -- - In pi+Ra ...= =pr =TR2-2= [F(s))2(t) - === ebitRi[[R Sut]: kf(t)[F(s)][F(s)] -1f(t) k22 --= = =edit St[R= : Els(s-P1)limNOTA Ri =:ES : Ra8 R18F(s) S s ++ =+=· = a)52 S(s25 2S S ++ + 8 4&SF(s) 55Re + === a)8(s +(2)S 8f(s)lim(s a) 3Ras += == -+2+ sal- 34F(s) = - 2S S + 2[r 2[2[F(s))f(t) 42 322 - -- == -2 2)S4S (4S (t)-1(t) 1(t)3 3-= =- - -1-

Nota di Heaviside

ancheVale HEOVISIDENOTA SviluppoLo DI:CASONEL DI ComplesseRADICI E CONIUGATE(we 1)JuePe +Ce= =D(s) 0= Pe (we 1)Ce-Jwe= = 2 RRep 2-1[Re2-1[Re + = +1 peRé2-2[s-2[ 1 1Re2 +-= S- PeReePet S Repert S(t) (t)+= -1 - -1)(E =HEOUISIDESVILUPPO DI[F(s)]2f(t) 2 - == ta(5-zst1 (5-zalta _[1 (S-zak2 -= ......-pr(" privw2(S (s(s Pa). ..... --1[F(s)]k2 -= Fils)F(s) Fa(s) Fr(s) == ++ . . . =RicRio RiRik-mFi(s) + .= (S-pi)W :S- Pi ! Fi(s)[s-pi(2libiRiv I= 1,=. Vi...(1-1) (S-pi(.k Fi(s)limRi1 === 1Vi -, S pi+ Fi(s))[d(s pi(k limRi2 =+= .-2vi -, S pi+ aslins-pilF Rivi-33 =+=-·: ! Fi(s))[(s pi(lin# Rio =+Wi= --1)(V -

QUINDI : =[Fi(s))-F [F(s)) F(s- 2 -2(t) 2====Ri= [RiparareNotevole kf(t)[F(s)][F(s)] -1f(t) k22 --= = == Ri[etSt

ancheVale HEOVISIDENOTA SviluppoLo DI:CASONEL DI COMPLESSERADICI E CONIUGATE(wes1)JuePe +Ce=D(s) 0= Pe (we weCe-Jwe ==Ve-10,k = . . . 2- 1RRe 2-1R[2-1 = +m)[is-pel] [is-peskRE2-22 - 1 1 1Re += k, Repertepet S S(t)(t)Re += i -1,

ES : z(0)z"(t) 3z'(t) 2z(t) 0 a· + + == z'(0) b=2[z(t)) 2(s)=2[z(t)) s2(s) z(0)= -2[z"(t)) sa2(s) Sz(0) z'(d)= - -DIVENTAL'EQUAZIONE :2)2(s)(sa b3a35 as= ++